专题三空间角3二面角的平面角学案

1、专题三空间角(3)二面角的平面角例题与练习知识梳理:方法一、定义法叫做二面角.公共交线叫做1. 二面角的定义：由两个半平面和一条公共交线所组成的该二面角的 .两个半平面叫做二面角的 答案：空间图形棱面2.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作角叫做二面角的平面角.若记此角为0 ,则0 :垂直于0 ° ,180 ° :903.二面角的平面角的常见确定方法(1)、根据定义法：棱上任取一点0,在两个面内分别作棱的垂线0A 0B / AOB为二面角a -CD-卩的平面角例1、如图2-3-5，四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形,为J5的等腰三角形，试画出二面

2、角0-AB-C的平面角，并求它的度数其他四个侧面都是侧棱长棱的两条射线,这两条射线所组成的 ,当0 =时,二面角叫做直二面角吕解：如图，四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面为正方形, 形中心 0'，取AB中点E 连结0E 0A=0B顶点0在底面上的射影是正方(2)、作棱的垂面法：过棱上一点 二面角a -CD-卩的平面角0作棱的垂直平面 Y ,与两个半平面的交线为 A0 B0 / A0B为 0EL AB.同理,0 ' E丄 AB. / 0E0是二面角 0ABC勺平面角.连结 00 ,在 Rt 00 E 中，0E =1，0E=2/ 0E0 =60 °，故二面角的平面角度数

3、为60变式练习1：(3)、根据三垂线定理法: 于0,连结A0C过面卩内一点A,作AB丄a于B,作BOL CD如图，已知 ABC为正方形，P从平面ABCD且PA=AB求二面角B-PC-D的大小。D(4)、根据面积射影定理法：AA面ABC与面A BC所成的角，这时“ S'cos 0 =S丄平面 A BC, S为 ABC的面积，3为 A BC的面积，0为10方法二、垂面法例 2、三棱锥 S-ABC 中，SAL平面 ABC,ABL BC,SA=AB,SB=BC,E为 SC中点，D为AC上的点，DEL SC,求二面角E-BD-C的度数。证明： SB=BC,E为SC中点， BEL SCDE! SC

4、, SC丄平面 SCL BD/ SAL平面 SAL BD/ SA SC=S BD丄平面SAC DEU 平面 SAC ,DCU 平面 SAC BDL DE,BD丄 DC/ EDC为二面角 E-BD-C的的平面角。且 beA DE=EBDE,且B"平面BDEABC且BDU平面ABCC方法三、三垂法例 3、已知二面角a -AB- B等于 45°，a，DC AB, / CDB=45 . 求CD与平面B所成的角.解：如图，作 CCLB交B于点 O,连接DO则/ CDC为DC与 B所成的角.过点O作OEL AB于E,连接CE,贝U CEIAB./ CEO为二面角a -AB- B的平面角

5、，即/ CEO=45 .a,设 SA=a,则 AB=a,SB=72 a,SB丄 BC,设CD=a，则 SC为等腰直角三角形的斜边，SC=2a,CE空aCOL OE OC=OE2 COa .2作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面a内找一点O作棱AB的垂线，垂足为 E,连接AE,则/3a V3AC为 Rt ABC的斜边,AC/3 a,即 cosN SCA =2a N SCA=300又 DEL SCCO/ COL DO,. sin / CDO=CD / CDO=30 ,即 DC与 B 成 30° 角 . 点评：二面角是本节的另一个重点，C,作另一个半平面B的垂线，垂足为 O,然后通

6、过垂足CEO为二面角a -AB- B的平面角.这一过程要求学生熟记变式练习3:在 Rt EDC中，NEDC =60°二面角E-BD-C的度数为60° 。如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到60 °，10 m堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9温馨提示：作二面角的平面角，离不开“垂直”，因此，在作二面角的平面角之前，要先分析题目 中的线线、线面垂直关系，特别是与棱和半平面垂直的直线和平面，这些线、面往往 就是我们所需要的。/变式练习2：如图，过二面角 a -I

7、-卩内的一点P作PAL a，PB丄卩，A、B为垂足.已知PA=5, PB=8, AB=7,则此二面角的大小为 ;答案：-3方法四、射影法例4、如图，设E为正方体 ABCAi B C D的棱CC的中点，则平面 ABE和底面Ai B C D所成的角的 余弦值为.PB,则PB即为二面角的棱.解法一：如图，延长P温馨提示1. 此题属无棱二面角问题(已知图形中没有二面角的棱)，对于此类问题，一般有两种方法可(i )(2)不作出二面角的棱，而是直接用面积射影定理解之.本题就分别采用了这两种方法求解.2. 以上两种方法是解决无棱二面角的一般思路，比较两种方法不难发现：方法一其实可分为两步：第一是找出二面角的

8、棱；第二是作出二面角的平面角并求之.而方法二并不需要知道二面角的平面角具体是哪个角，只要计算两个三角形的面积即可.比较可以发现：方法一解法流畅，但多了一个寻找二面角平面角的过程；方法二思路简洁，但有时计算可能稍繁.S，即多边形在平面3. 面积射影定理：cos e =可以推广到任意放置的三角形以及多边形的情况，S(锐角)的余a内的射影面积与多边形面积的比，等于多边形与多边形所在平面所成二面角的平面角弦.过C作CQ1 B P交PB于点Q连结EQ EC丄面Ai B C D，由三垂线定理可得 EQ! PB,故/ EQC即为二面角的平面角变式练习4：r设正方体的棱长为 2，则在 EQC中, EC= i

9、,C C=2U5,EQ=2575在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中 , / ABC=90 ,SA丄面ABCD,SA=AB=BC=2A求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.故平面ABE和底面A B CD所成的角的余弦值为 cos e =£卫EQ解法二：连结 AiCi,显然 AiBCi是 ABE在底面内的射影.设正方体的棱长为 2，贝y AB=2j2，B E=J5, AE=3. cos/ ba/Bi 2+AE2-biE2=22ABi 识E./ BiAE=45° .$ Bi AE =丄-2/2 ”3 sin45* = 32 SA i B i Ci =2,故平面ABE和底面A

10、i B C D所成的角的余弦值为cos e =込=2SiAE3专题一空间角（3）二面角的平面角专项练习1.过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则此二射线夹角和二 面角的平面角的大小是（A.相等G.相等或互补B.D.互补以上都不对A6.正四棱锥相邻两侧面所成的二面角一定是（A.锐角B.直角 G. 钝角D.2、如图，正方体夹角的余弦值（ABCD-ABGD1中，求平面 AiBD与平面 GiBD的 ）.A. ! B.4C.D.7.如图所示,过正方形 ABCD勺顶点A引P从平面ABGD若 PAAB则平 面ABP和平面GDP所成的二面角的大小为 .DAG中,3.正方体AiMN所成的角的正弦值是（N分别是

11、棱AiBi和AiD的中点，则截面）B.D.4.正四面体侧面与底面所成的二面角的大小余弦值A. ! B.4D.5、如图，在四面体 ABGD中,BD= 72a.AB=AD=GB=GD=AG=a,则二面角A-BD-G的大小为(A. 30 ° B. 60° G.i20D. 908、 如图，已知直四棱柱 ABGD-AiBiGiD的底面是菱形，且/ DAB=60 ,AD=AA, F为棱BB的中点，M为线段 AG的中点. 则平面 AFG与平面 ABGD所成二面角的大小Cl9.（2006等于2,则二面角江苏南通调研）如图，正三棱柱ABG- AiBiCi的各棱长都D为AG的中点，F为BB中点，且FD丄AG.F AG G的大小为.;G10.(2004浙江高考)如图所示，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=J2,AF=1,M12.(2006北京海淀模拟)如图，直三棱柱 ABC-ABC中，ABAC=AA=a,2是线段EF的中点.(1)求证AM/平面BDE求证AML平面BDF;求二面角A DF- B的大小.J211.如图所示，正三棱柱ABC-