数论历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案

1、数论部分n2018A四、(本题满分50分)数列An定义如下：ai是任意正整数，对整数 n之1, an中与4互 i 1素，且不等于ai,a2,，.an的最小正整数，证明：每个正整数均在数列an中出现。证明：显然2 =1或者a2 =1.下面考虑整数 m 1,设m有k个不同的素因子， 我们对k归纳证明 m在以中出现记Sn =aI+a2+十an, n21.k=1时，m是素数方哥，记 m = pa,其中a0, p是素数.假设m不在an中出现.由于an各 项互不相同，因此存在正整数 N ,当n之N时，都有an p。.若对某个n之N , p | Sn ,那么p与 Sn互素，又a1，a2,，a中无一项是pa,

2、故有数列定义知an书Ep,但是an pa,矛盾！因此对每个n N ,都有p|Sn.又p|Sn-可得p|an书，从而an书与Sn不互素，这与an书的定义 矛盾！假设k2,且结论对k-1成立.设m的标准分解为m = pFp,p,假设m不在aj中出现，于 是存在正整数N/,当n至N/时，都有an a m .取充分大的正整数久，B21P口，使得 M 1 n 2卜工 max, oM - p1 p2pk 1 1 _n _N/ an .我们证明，对n之N/,有an书M.对于任意n之N /,若3与p p2L pk互素，则m与Sn互素，又m在现，a2，.an中均未出现，而 an + m,这与数列的定义矛盾，因此

3、我们得到：对于任意n N/, Sn与p1P2i pk不互素* ,若存在 i (1 i k -1)，使得 pi |Sn ,则(an+,Sn )=1，故 pi |an4t,从而 an由丰 M (因为 p |M)。 若对每个i ( 1 i k -1 ),均有pi | Sn ,则由中知，必有pk | Sn.于是pk | an+ ,进而 pk |Sn +an + ,即 pk |Sn+.故由中知：存在 i0 (1 i0 Wk1),使得 pi0 |Sn +，再由 Sn书=Sn n及前面的假设pi |Sn，可知pi0 |an书，故an由声M。因此，对n之N/+1,均有an# M，而M = pF P2Pk翁an

4、,故M不在Qn中出现，这与假设矛盾！因此，若m有k个不同的素因子，则 m 一定在数列an中出现.由数学归纳法知，所以正整数均在数列lan中出现。2018B四、(本题满分50分)给定整数a22。证明：对任意正整数 n ,存在正整数k,使得连续n 个数ak+1, ak +2,，ak +n均是合数。证明：设i1 i2 - ir是1,2,，n中与a互素的全体整数，则1 Mi 1,故a + i j有素因子Pj.我们有 M,a)=1 (否则，因pj是素数，故Pj | a ,但科| a+ij ,从而Pj | ij ,即a与i j不互素，与ij的取法矛盾).因此，由费马小定理知，ap,三1(modpi)现取

5、k =(p1 1 Kp2 -1(pr 1 )+1 ,对任意 j =1,2,，r ,注意到 k 三 1(mod pj -1),故有 ak +i j = a + 三 0(mod pj).又 ak+h a + ijpj,故 ak+为合数。综上所述，当k =g 1Ip2 1(pr 1)+1时，ak+1, ak+2,，ak+n均是合数。2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是答案：75解析：考虑平稳数abCo若b=0,则a=1, cW 0,1,有2个平稳数；若b =1 ,则aw1,2, cW 6,1,2h有2M3=6个平稳数；若bw 2,8，则a

6、, M 屯1,b,b+1,有7 M 3M 3 = 63个平稳数；若b=9,则a,cw18,9,有2 M2 =4个平稳数;综上可知，平稳数的个数为 2+6 +63 + 4= 75。2017B 8、若正整数a,b,c满足2017之10a之100b之1000c ,贝U数组(a,b,c)的个数为答案：5742017. 一一解析：由条件知c =2 ,当c =1时，有10 Wb W20 ,对于每个这样的正整数b,由100010b a W 201知，相应的a的个数为202 -10b ,从而这样的正整数组的个数为20(102 2) 11= 572 ，工(202 -10b) -(b=40220172017当 c

7、 = 2时，由 20 Mb ，知，b =20 ,进而 200 a (a1a2 +a2a3 +a3a4)2,等号成立的充分必要条件是a1 = a2 = a3 ,即a1,a2,a3,a4成等比数列.于是问题等价于计算满足a?a3a4日田2e314三1,2,3,-，100的等比数列为,a2,a3,a4的个数.设等比数列的公比q01,且q为有理数.记q =,其中m,n为互素的正整数，且 m*n. m先考虑n m的情况.3此时a4 =a( n )3 = &：,注意到m3, n3互素，故l = 03为正整数.相应地，a,a2, a3, a4分别 m mm一 3223n .等于m l,m nl,mn l,n

8、 l ,它们均为正整数. 这表明，对任意Z定的q= 一1,满足条件并以q为 m3.公比的等比数列 a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式 n l E100的正整数l的个数，即100-3 , n由于53 100,故仅需考虑q =2,3,3,4,这些情况，相应的等比数列的个数为 23里 +里 +吗 +里 +里=12 +3+3+1 +1=20.8272764644e2自冏.当n3,数列 匕0定义为a1=2,an =an+ ,西三n =2,3，这里lx】表示不小于实数x的最小整数。一 n证明：对n =3,4，p 1,均有n |（pan+1）成立。证明：首先注意到，数列 右门是整数数列。对 n用数

9、学归纳法。当n = 3时，由条件知a2 = 2 + p ,故pa2 +1 = （p+1f,又p与p + 2均是素数，且 p a 3 ,故 必须3| p +1 ,因此3| pa2 +1,即n =3时，结论成立。故叫p, +告卜pa。1 p k -1k -1对3 n p -1,设k =3,4，n1时结论成立，即k | pak+1 ,此时|pak/I= pak, 一 kk故对3nEp1时，有/ p n -1/ p n -1 p n -2pan 4 1 = pan 1 =- pan4 1H =n 7n T n -2p n-1 p L2 p 3 pa2 1 二 2n(p 1)Cp.n -1 n -23(

10、p n)( p 2) p n显然 n| (p +n)(p +2)(pan4+1) , 因为n +mt 1=义 +t _ it + yL? _m m |m m IL m J m _ mJ m |Lm m因此，当整数n1,n2满足n1 =n2 (mod12 )时,1n11+ 卜Vj n1l + h LI I + J”J5 I + J |24612 2 4612、., ,，-n 1 f n 1 fn 1 f n ,容易验证，当正整数满足 1MnW12时，只有当n=11时，等式十1 十1+一 =3才成24612立.而2016 =12X168 ,故当1 Mn M2016时，满足1口 : + /工： 口+

11、 1：口 = 3正整数n的个数为168. 246122016B、（本题满分40分）非负实数x1，x2，x2016和实数y1，y2,，y2016满足：一 22（1）x +yk =1, k =1,2，2016 ；（2） y+丫2+y2016是奇数.求x1 +x2 +x2016的最小值.解析：由已知条件（1）可得：xk ZXk2= （1yk2）=2016y之2016|yk|.k:1kmk 卫k3km2016不妨设 y1,|,ym 0,ym+,|,y2016 W0,0 WmE2016，则工 yk m,-Z yk m -1 ,并且 _ yk 2015 -m, k 卫k m 1m2016令 yk=m1+a

12、,- yk =2015m+b,则 0 a,b 1,于是 k 1k m 12016m2016“ yk = yk yk =m-1 a1;2015 -m b k 1 k 1 k m 1=2m -2016 a -b, 2016由条件（2）知，Z yk是奇数，所以ab是奇数，这与0a,b1矛盾. k 土m20162016m2016因此必有 ykMm-1,或者 一ykE2015m,则 yk =Zyk- Zyk2015.k k =m：kz!kz!k zm 12016于是结合得、xk _1. k a又当 X1 x2 HI X2015 0, X2016 =1，y1 = y2 =1 II =y2015 =1丫20

13、16 =0 时满足题设条件，且使得不等式 等号成立，所以X1 +X2 +HI+X2016的最小值为1 .2016B二、（本题满分40分）设n,k是正整数，且n是奇数.已知2n的不超过k的正约数的个数为奇数，证明：2n有一个约数d ,满足k d E2k证明：记 A = Q|d|2n,d 是奇数，0cdMkh A = 0 | d |2n , d 是偶数，0dkL 则A1 B =4，2n的不超过k的正约数的集合是 AU B证明：记 A=d |d |2n,0 d Wk,d是奇数, Bd |d | 2n,0 d Wk, d是偶数，则 API B =2n的不超过k的正约数的集合是 AU B.若结论不成立，我们证明A = B .对dWA,因为d是奇数，故2d |2n,又2d E2k,而2n没有在区间（k,2k中的约数，故2d Ek,即 2d WB ,故 A | B .反过来，对d w B ,设d =2d 则d n , d 是奇数，又dEck,故dw A,从而B b ),使a2-b2=qn, 2ab= pm , a2+b2 =r .或 a2-b2 = pm , 2ab = qn, a2+b2 = r.若 2ab = pm ,得 p =2 , a |2m ,