数学分析试题及答案

1、) 数 学 分 析 期 终 考 试 题叙述题：(每小题5分，共15分)1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann可积的充分必要条件计算题：(每小题7分，共35分)1、 x3 1 xdx12、求x2 (y b)2 b2(0 a b)绕x轴旋转而成的几何体的体积123、求募级数 (1 -)n xn的收敛半径和收敛域 n 1 n4、25、 f(x,y,z) x xy2yz , l 为从点 P0(2,-1,2)到点(-1 , 1 , 2)的方向,求 fl(P0)三讨论与验证题(每小题10分，共30分)/ 22、.1(x y )sin51、已知 f (x, y) 'x2 y20

2、该点可微工人n21田乙什乙工2、讨论级数ln n1一1的敛散性。n 1 n 1x 0, y0,验证函数的偏导数在原点不连续,0但它在n n 1 xx3、讨论函数项级数(-一)n 1 n n 1x 1,1的一致收敛性。四证明题：(每小题10分，共20分)f(x)dx收敛，且f (x)在1a,+ 8)上一致连续函数，则有lim f (x) 0x2 设二元函数 f(x,y)在开集D2R内对于变量 x是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件:f(x,y)_ ''f (x, y ) Ly''y'.''.其中(x, y ),(x, y )

3、D, L为常数证明f(x,y)在D内连续参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合 S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。2 设函数项级数Un(x)满足(1) Un(x)(n1,2,)在a, b连续可导a)Un（x）在a , b点态收敛于S（x）b)' ， 一，一一一u （x）在a , b 一致收敛于(x)则 S(x) =Un(x)在a , b可导，且1ddx nUn(x)1Un(x) n 1 dx3、有界函数f （x）在a ,b上可积的充分必要条件是,对于任意分法，当max( xi)0 时 Darboux1 i n大和与Darboux小和的极限相等

4、1、Vl x (2 分)x31xdx230 (1t3)t3dt468(5分)2、a22x ,y2（2分）所求的体积为:,2 2、，(Yi y2 )dx2 2,2 a b(5分)3、解:由于lim(n(1(1 1)n_一广n 1)n)n11(1 -2-)nn 1-11，一收敛半径为e1（4分），当 x e-时,e(1 1)n(1)n(e1)n0(n所以收敛域为1 1、一,一）（3 分）4、则y 0.122x y22x y 1lxmy 0(x2(.1 x2y2)(1 x2 y21)(. 11)y2 1)呵(1y 0y2 1) 2 (7 分)5、解:设极坐标方程为fx(2, 1,2)2,fy(2,1

5、,2)0.fz(2, 1,2)(4分)fl (2, 1,2)(3分）解、fx1 2x(sin 2 x1-2- x01 cos-2)y x y1-cos-2- y x丁当趋于（y0, 0)无极限。所以不连续，同理可的fy也不连续,2分)2、解：limn2 n ln 2 n2n2 1(5分)2收敛，所以原级数收敛n 1 n 15分)3 、解：部分和Sn（x）n 1xx( 3 分)0, 取Nn 1 aX 1Sn(X) X ，所以级数一致收敛(7分)n 1 n四、证明题(每小题10分，共20分)1、证明：用反证法若结论不成立，则0 0, X.a, x0X ,使得 f(X0)0 , (3分)又因为在f

6、(x)在a, 8)上一致连续函数，、'''''0(0,1), x ,x a ,只要 x x'、''、0一一0,有 f(x) f (x ) 一，(3 分)于是2A。a,令XA。1 ,取上述使f (x0)0的点x° X,不妨设f (x0) 0 ,则对任意满足xx0f (x)dxf (x0) 0取A和A分别等于x022x00- 0有，由Cauchy收敛定理,2f (x)dx不收敛，矛盾(4分) a2、证明：(x0,y0)D ,由 Lipschitz 条件f (x, y) f(x0,y0)f (x,y) f(x,y0)f(x,y

7、0) f(x0,y°)L y v。f(x,y0) f (x0,y0)(1) , (6分)又由二元函数 f(x, y)在开集D2R内对于变量x是连续的，(1)式的极限为0, f(x, y)在(x0,y0)连续，因此f(x,y)在D内连续(4分)(二十二)数学分析期末考试题叙述题：(每小题5分，共15分)1 Darboux 和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3 Euclid 空间计算题：(每小题7分，共35分)limnn. n!n2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、I ne xxndx( n是非负整数)n 04、设u f (x2 y2 z2,xyz), f具有二阶连续偏导数

8、，求x5、求f(x) e的募级数展开式三 讨论与验证题：(每小题10分，共20分)1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反cos nx .2、讨论级数cosnx(0 x )的绝对和条件收敛性。n 1 np四证明题：(每小题10分，共30分)分)f (x)在0 ,+°°)上连续且恒有 f (x) >0,证明g(x)tf (t)dt 在0 , +00)上单调增加f出设正项级数nxn收敛，xn单调减少，证明lim nxn1nf (x, y)-y-,证明：lim f (x, y)不存在x yx 0y 0参考答案1、有界函数

9、f(x)定义在a,b上，给一种分法ax0x1Mi sup f(x),x 1,xJ m inf f(x),xi 1,xi,则 S(P)Mi xi,S(P)nmi xi分别称i 1P为相应于分法 的Darboux大和和 Darboux小和。2、0. N a使得 mnmf dx3、Rn向量空间上定义内积运算x,yxi%xn yn构成Euclid空间2、一n、n!1、由于 lim ln解：两曲线的交点为(所求的面积为:(-2x3、解:InIn4、5、Io +nn! (1分)lim 一 ( ln i) n ln n) n nlimn1ln xdx0(7分)2, 2),ndxx n 1x dx = nIu

10、 .=2 f1x yzf2 (3 分) x解：由于余项rn(x)(0,0), ( 2 分)(5分)1e xxndx +02x(2zfnx 彳e xn10(n(n 1)!e xxndx(6 分)xyf12) yf2yz(2zf21),(3分)所以ex 1xyf22)2 x x 一 2!(4分)n!(4三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 页（6分）133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本1352、解：当p 1时，级数绝对收敛，（4分)当 0 p 1 ,由 Dirichlet定理知级数收敛，但cosnxn pcos2 nx 1 cos2nxpp- pnp 2np 2np| co

11、s nx |发散，即级数条件收敛（4分），当p0时，级数的一般项不趋于 0,所以级数不收敛（ 四、证明题（每小题10分，共30分）2分)1证明：g （x）xxf(x)0 f(t)dtf (x)x0tf (t)dtxf(x)0(xf(t) tf (t)dt所以函数单调增加（2分）x(0-2f(t)dt)（oX2、f(t)dt)0 (8 分)2 证明：m, n m,有（n m）xm 1xn xm由此得nxnxm, （4分）由级数收敛, m可取定m0使得xm,又limn,故n0使得nnxn2 ，得证（2分）分）3、证明:叙述题：nm0n0时，有一 n2, （4分）于是当mn n0 时,!im0f(x

12、,y)y x. x lim x 0x21 l," f (x, y)2y x2一 xlim i3x 0x2x2（二十三）数学分析期末考试题（每小题5分，共微积分基本公式 无穷项反常积分 紧几合计算题：（每小题7分，共1、x2 dt15分)35分)01 t41 1dx4x2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、求n4、设U5、 limx 0y 0n(n1xeyz2）xn的收敛半径和收敛域1 xy 1xy讨论与验证题：（每小题1 讨论 f (x, y)y ,求偏导数和全微分10分，共30分）x2y2(x y)2的二重极限和二次极限1 一，所以lim f (x, y)不存在(102x 0

13、y 02讨论dxe0 xp In x的敛散性3、讨论函数项 fn（x）证明题:设 f (x)（每小题10分,连续，证明0n n 1 、x x (0共20分）f(u)(x u)du1）的一致收敛性。x uf (x)dxdu00y (x2 y2)满足 y x x y参考答案、1、设f（x）在a,b连续,F（x）是f （x）在a,b上的一个原函数,b贝 U 成立f (x)dx F (b) F(a)。a2、设函数f （x）在a,）有定义，且在任意有限区间a, A上可积。若极限limAAf (x)dx 存在,a则称反常积分收敛，否则称反常积分发散3、如果S的任意一个开覆盖 U 中总存在一个有限子覆盖，即

14、存在k中的有限个开集Uii1,k满足 Ui 1S ,则称S为紧集1、d dxdt-1-t4dx1 x4dt"Ct42x ,八(7分)8,1 x2、解：两曲线的交点为所求的面积为:12(2 *2 7x )dx1,1),(2分)lim n n(n 2)域为（-1,1） （3分）U yz=e xu yz=xze y(3分)5、解:1m y 01 xyxy三、1、解、由于沿 y分）lim limx 0 y 0一(5 分)21 ,收敛半径为U yz1 =xyez(1 xy1 (4分），由于4 分）dukx趋于（0,0)时,x 1时，级数不收敛，所以级数的收敛yzdx (xzeyz1)dy (xyeyz e z)dz1)(. 1 xy 1)xy(. 1 xy 1)lim(x,kx) (0,0)(7分)(x y)21,所以重极限不存在（512 22x y (x y)0，呵蚂222x y (x y)0,(5分)10 p 1 ,由于 x 2 10(x0)xp ln xe dx0 xp ln x4分）；p 1 ,由于12 ix 2 1x p.x In x(x）（4分）故dx收敛, px In xdx,发散（2分）。xln x3、lim fn(x) 0 f(x)(3 分)， nlim (n)n(1 n)