第六章6.2.2向量的减法运算

1、知识点一相反向量1 .定义：与向量。长度相等,方向相反的向量,叫做4的与反向量,记作一2 .性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：。+(一。)=(。)+。=(3)若G,力互为相反向量，则。=一6b = -a,。+力知识点二向量的减法1 .定义：向量G加上力的相反向量，叫做。与力的差，即。一力=。+ ( 一力)，因此减去一个向 量，相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2 .几何意义：在平面内任取一点。，作殖="，OB=b,则向量。一b=而，如图所示.3 .文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为厘

2、直，被减向量的终点为空的向量.思考 若明力是不共线向量，kz+川与匕一人的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，设晶=m历=8,根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义, 有沆=。+力，诙=。一力因为四边形0AC8是平行四边形，所以以+力1 = 1沆1, a-b=BA, 分别是以04, 0B为邻边的平行四边形的两条对角线的长.思考辨析判断正误，L相反向量就是方向相反的向量.（X ）提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.2 ,向量林与丽是相反向量.（J ）提示恭与放大小相等、方向相反.3a-b=ba< X 提示向量减法不满足交换律.4.两个相

3、等向量之差等于0.（ X ）提示两个相等向量之差等于0.一、向量的减法运算 例1如图，已知向量a, b, c不共线，求作向量a+Ac.解 方法一 如图，在平面内任取一点0,作晶=。，施=，则无=g+6再作诙=c, 则宿=。+力一C.方法二 如图，在平面内任取一点。，作万!=，AB=b,则无=。+d 再作通=c,连 接0C,则诙=。+力一c.反思感悟求作两个向量的差向量的两种思路可以转化为向量的加法来进行，如。一儿 可以先作一儿 然后作。+（一。）即可.可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量 的终点，指向被减向量的终点的向量.跟踪训练1如图所示，0为A8C内

4、一点，OA=a, OB=b,无=。,求作：b+ca.解方法一以无，历为邻边作uOBOC连接0。，AD,则历=励+沅=8+c, AD=db-OA=b+c-a.方法二作诙=无=从连接A。，则公=沅一苏=c，Ab=AC+CD=ca+b=b-ca.二、向量减法法则的应用例 2 (1)化简：(AD-BM)+BC-MC)=.答案AD解析 原式=45+/诵+病一证=国)+证一疝?=崩.(2)如图，P,。是ABC的边8c上的两点，且丽=无，则化简B+/一崩一恁的结果 为()A.OB.BPC.PQD.PC答案A解析 猫+公一成一恁=（族一办）+（危一而尸丽+无=无一丽=0.反思感悟（1）向量减法运算的常用方法（

5、2）向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和.起点相同且为差.解题时要注意现察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.跟踪训练2如图，已知。为平行四边形A8C。内一点，OA=a, OB=b, OC=c,则。力=答案 a-c-b解析由已知历=比,则 赤=醇+崩=亦+诙=昼+ 沅一济=g+c儿1 .在ABC中，若就=a, BC=b,则鼻等于（）AaB.a+bC.baD.ab答案D解析 CA=BA-BC=a-b.2 ,化简口一 »+的+豆等于（）X.QP B.OQ C.SP D 而答案B解析 原式=（5>+而）+（西+豆尸的+0=丽.3 .己知在四边形ABCQ中，DB-DA=AC-AD9则

6、四边形ABC。一定是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形答案A解析 由加一房=公一助，可得魂=比，所以四边形A5CD一定是平行四边形.4 .下列等式成立的个数是（）a+=+a：（）ab=bai 0-。=一。：一（-4）=4;领+ （ 4） = 0.A.5 B.4 C.3 D.2答案B解析由题意知，成立.5.（多选）下列各向量运算的结果与公相等的有（）AAOOCBAO-OCC.OA-OCD.OC-OA答案AD解析由题意知，AD正确.课堂小结-1 知识清单：向量的减法运算.向量减法的几何意义.2 .方法归纳：数形结合.3 .常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.答案B3 .下列各式中，

7、恒成立的是（）A.AB=BAB.a。=0C.AB-AC=BCD.AB-CB+CA=Q答案D解析 选项 d 中，Ab-cb+ca=Ab+bc+ca=ac+ca=o.4 .（多选）下列四个式子中可以化简为筋的是（）AJc+cb-BDBAC-CBC.OA + OBD.OB-OA答案AD5 .如图，在四边形ABCD中，设恭=4, AD=b, BC=c,则比等于（A.ab+cB 力-m+c）Ca+cD6-g+c 答案A 解析 DC=AC-=AB+BC-AD=ac-b=a-b+c.6.0B-0A-0C-cb=.答案AB解析 di-d-dc-cb=（di-dA）-（dc+cb）=ABO=AB.7 .若菱形A

8、5CO的边长为2,则前一为+诙1=答案2解析局一通+而1=筋+就+(?&1=4)1 = 2.8 .在边长为1的正三角形ABC中，成一就I的值为答案V3解析如图，作菱形A8CD,则两一前1 =府一屐)1= DB=y3.9 .如图，已知。，b,求作。一尻11 .若成1=5, IACI=8,则I正I的取值范围是()A.3,8B.(3,8)C.3J3D.(3,13)答案c解析 Tl或1=公一施|且|由?|一筋|区公一篇区公|十篇|,，3W府一恭IW13,，3WI或1W13.12 .平面上有三点A, B, C,设 1=篇+就，=卷一比，若m, n的长度恰好相等，贝W)A.A, B, C三点必在同

9、一直线上B.ZXA3C必为等腰三角形且NA8C为顶角A3C必为直角三角形且NA8C=90。D.A4BC必为等腰直角三角形答案C解析如图所示，作DA8CO,则前+就=危，AB-BC=AB-AD=DB.Vlml=l/L ：.AC = DB.：.ABCD为矩形，A3C为直角三角形，ZABC=90°.13 .己知万1=。，OB=b,若 1a1=12, I无 1 = 5,且NAO8=90。，则/一"=.答案13解析 Tl万11= 12, I励 1=5, NAO8=90。，苏F+|砺2 =丽, .丽=3.,：6a=(i, OB=b.：.a-b=OA-OB=BA9 ：.a-b=BA=3.14 .如图所示，0是平行四边形A5CQ的对角线AC, 8。的交点，设恭=，DA=b. OC= c.证明：b+ca=OA.证明 b+c-a=DA + OC-AB=CB+dC-AB=OB-AB=OB+BA = OA.15 .设点M是线段8c的中点，点A在直线BC外，且I反1=4,筛+启=篇一行，则而 答案2解析 以A氏AC为邻边作平行四边形ACQ&由向量加减法的几何意义可知，AD=AB+AC. CB=AB-AC.9：AB+AC=AB-AC9：.AD = CB.又由C=4, M是线段5c的中