空间点线面之间位置关系知识点总结(新)

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系符号表示为：设同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!第一章空间几何体(一)空间几何体的结构特征(1)多面体由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。(2)柱，锥，台，球的结构特征1.1 棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 棱柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围

2、成的几何体叫圆柱.2.1 棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2.2 圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥。3.1 棱台一一用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台3.2 圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 (二)空间几何体的三视图与直观图1 .投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2 .三视图一一正视图；侧视图；俯视图

3、；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 回三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3 .直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。4 .斜二测法：在坐标系x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变，平行于 y轴(或在y轴上)的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=匚原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积S = 2 Ttrl + 2 < 2圆锥的表面积S rl r2圆台的表面积Srl r2 Rl R2球的

4、表面积s 4 r2一一 n R21.扇形的面积公式S扇形 -lr (其中l表示弧长，r表示半径) 36022、空间几何体的体积柱体的体积V S底h锥体的体积V 1s底h43台体的体积V ，S上 Js上S下S下)h 球体的体积V - R332.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的 2平面的回法及表小(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成45,且横边画成邻边的2倍长(如I(2)平面通常用希腊字母a、0、丫等表小，如平面a、平面B等，也可以用表小平面的平行四边形的四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AG平面ABC四。3

5、三个公理：(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为AC L、BC L => L 匚 | aAC aBC a公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A B C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 AC a、BC a、CC a。公理2作用：确定一个平面的依据(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示为：PC a n B => a n B =L，且PC L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位

6、置关系1空间的两条直线有如下三种关系：什而古姥J 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线1平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。a、b、c是三条直线a / b 、=>a / cc / b j强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a'与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与 O的选择无关，为简便，点 O 一股取在两直线中的一条上；

7、两条异面直线所成的角9 (2 ,)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a±b;两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内 有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可期 a a来表示a 匚 aa Ca=Aa/a2.2 .直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平

8、行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a ab 匚 B J=>a / aa / b J2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a 匚| B 、b匚| Ban b = P L 8 11aa/ a b / a ,2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这

9、条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a / a 、a 匚 B a / ba C B = b 1作用：利用该定理可解决直线间的平行问题2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：a / 0a A = = aB C = = b2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L，a ,直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线 L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的

10、两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形-l- B 或 a -AB- B3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。本章知识结构框图2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!、公式:第三章直线

11、与方程1.求过点（2,3）,并且在两轴上的截距相等的直线方程。解：截距不为0时，设两轴上的截距都为a,则有直线方程为:1.若直线的倾斜角为（90 ）,则直线的斜率k=tan将（2,3）带入上式可得：a 5,所以直线方程为：-y5 51,2.过点耳（为）和P2（x2,y2）的直线的斜率为:y2 y1x2 X即：x y 5 0；3.若不平行于y轴的两直线l1 /l2,则K=k2；若两直线l1I2,则k1k2 =J11 ；两轴上的截距都为0时，则直线过原点（0,0）,由两点式可得:4.直线的点斜式方程:ykxbyy1xXy2y1X2x1xy1abAxByC0,y y。 k(x X0)5.直线的斜截式

12、方程:6.直线的两点式方程:7.直线的截距式方程:8.直线的一般式方程:-y00，即：3x 2y 03 02 0综上所述：满足条件的直线方程为：*丫50或3*2丫0.（注：做本题时要分截距为0和截距不为0两种情况，切不可直接将方程设为-1 1,因为用该方程时，要求截距不为 0。） a b2.已知直线11 : x my 6(1) I1 和 I2相交；(2) l19.对于两直线l1 ： Ax(1)若 A1B2A2B10, I2 :(m 2)x 3y 2m 0 ,求满足下列条件的 m值:l2 ；(3) I1/I2； (4) li和 12重合; A此时，斜率为一，截距为BByC10和 l2：4x B2

13、y C200,两直线相交;（2）若A1B2 A2B10,两直线平行或重合;（3）若A1A2 B1B2 0,若两直线垂直。10.点（x1, y1）和d, y2）的中点坐标是（Xx2 y1y211.若 P(xhy1)和 Pad.),则:pP2VCx1 x2)(y1 y2)12.点（x0,y0）到直线Ax By C 0的距离为:Ax0 By° C,A2 B21.过点（a,b）,且平行于x轴的直线方程是:y b;2.过点（a,b）,且平行于y轴的直线方程是:三、典型习题:同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!解：（1）A1B2A2B10,即:(2)即:(3)即:1 3 (m1 (m 2)(4)检验：m

14、2) mA A2B1B2AB2A2B10,(m2) m1时,l1: x y3寸，11 : x 3y解得:0,解得:解得:6 0,l2 ：6 0,l2 : xMm3x 3y3y 62 0,此时，两直线平行，所以,0,此时，两直线重合综上所示：m 1时两直线平行；m 3时两直线重合.第四章圆与方程圆与方程2、1圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r2.特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是：x2 y2 r2.2、2点与圆的位置关系：1 .设点到圆心的距离为 d,圆半径为r：(1)点在圆上=d=r;(2)点在圆外 0d>r;(3)点在

15、圆内 =dv r.位置关系满足以下关系：相切 d=r A=0 (2)相交 d<r A>0;(3)相离 d>rA <0。2、5两圆的位置关系设两圆圆心分别为Oi , O2,半径分别为门，r2,O1O2d °(1) d 1 2外离 4条公切线；(2)dr1 r2外切3条公切线；(3)r1r2dr1r2相交2条公切线；(4)d|r1r2内切1条公切线；(5)0 d r1 r2内含 无公切线；2.给定点 M(xo,yo)及圆 C：(x a)2 (y b)2 r2 .222 M 在圆 C 内(x0 a) (y0 b) r M 在圆 C 外(xo a)2 (yo b)2

16、r2(x° a)2 (yo b)2 r2外离外切相交内切内含2、6圆的切线方程：圆x2 y2 r2的斜率为k的切线方程是y kx V1 k2r过圆x2 y2 Dx Ey F 02、3圆的一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0上一点 P(x0,yO)的切线方程为：x°x y°y D土2x°E-yy F 0 .一般方程若点(x ,y0)在圆上,则(x - a)(x0 - a)+(y - b)(y。- b)=R2.特别地，过圆x2 y2 r2上一点P(xO,y0)的切线方程为x°x y°y r2.当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，

17、其中圆心-,且，半径r.D2 E2 4F2当 D2 E2 4F当 D2 E2 4F0时，方程表示一个点0时，方程无图形(称虚圆)y y0 k(x1 x0)若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 |b y1 k(a x1) ,联立求出k 切线方程.R R2 1注：(1)方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是:B 0且 A C 0且 D2 E2 4AF 0.圆的直径或方程：已知A(xi,y1)B(x2 ,y2)(x xi)(x x2) (y y)(y y2) 02、4直线与圆的位置关系:22直线 Ax By C 0与圆(x a) (y b)2 一.一一 ,r的位置关系有三种Aa Bb C(