中值定理与导数的应用20210202070705

1、第三章中值定理与导数的应用理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。1、2、教学目的:4、教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法;3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4

2、、洛必达法则的灵活运用。§3 . 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X0的某邻域U(Xo)内有定义*并且在xo处可导，如果对任意X忘U(Xo).有f(x)虫X0)(或 f(x)孑(X0) r那么 f'(X0)=0.罗尔定理 如果函数y#(x)在闭区间a, b上连续r在开区间(a, b)内可导 '且有f(a)#(b),那 么在(a, b)内至少在一点©、使得f徑)=0 .简要证明：如果f(x)是常函数、则f仪)岂、定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数、则f(x)在(a、b)内至少有一个最大值点或最小值点.不妨设有一最大值点CWa .

3、b).于是f(x)-f©X-f(x)_f0、所以 f '(x)=0.罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数内至少有一点 avib)、使得等式f(x)在闭区间a、b上连续r在开区间(a、b)内可导,那么在(b)成立.拉格朗日中值定理的几何意义定理的证明：引进辅函数令 臥X)寸(x)(a)-f(b)-f(a)(X).容易验证函数可导、且b af(x)适合罗尔定理的条件根据罗尔定理由此得A=f(b)-f(a)bT:护(a) JP(b)=O W(x)在闭区间a、b上连续在开区间(a、b)内cp(X)甘(x)-f(b)-f(a). b-a'可知在开区间(

4、a、b)内至少有一点 S使申泊乂*即匕 f(b)-f(a)亠b-af(b)-f(a)= f 仙 rb -a'f(b)-f(a)f(9(bv).即定理证毕.f(b)-f(a)# '(勺(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立.拉格朗日中值公式的其它形式：设x为区间a、b内一点、x+Ax为这区间内的另一点 Qx>0或也x<0)、则在x、x+ix ( ix>0)或 xPx .X 3x<0)应用拉格朗日中值公式、得f(x+&) +(x) #(X他X)” Z (0< 日<1).如果记f(x)为y .则上式又可写为Ay#(x

5、 他X)” 心X (0< 日<1).试与微分dy#'(x)比较：dy#(x) -Ax是函数增量Ay的近似表达式，而f匕社如)是函数增量Ay的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用.我们证明如下定理：定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 '那么f(x)在区间I上是一个常数.证由假定因为x1在区间在区间I上任取两点X1 .X2(X1<X2).应用拉格朗日中值定理.就得f(X2)h(Xl)斗( 9(X2- Xl)(X1< E< X2).、所以 f(X2)-f(X1)=0、即 f(X2)=f(X1).X2是I上任意两点 '所以上面的等式表明

6、:f(x)在I上的函数值总是相等的'这就是说J(X)I上是一个常数.例 2 .证明当 X乂 时 r x <ln(1+x)vx. 1 +x证 设f(x)n(1 4x).显然f(x)在区间0 *x上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理r就有f(x)-f(0)甘"( n(x-0) 、0<dx。由于f(0) R、f (x) hd、因此上式即为1 +xln0 +x) =1% .又由0v鼻.有* 如(1+x)<x .三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程(a致勺)；X =F(x) V =f(x)表示、其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线、那么在曲线

7、C上必有一点xM、使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB、曲线C上点x=©处的切线的斜率为dX "F(© "弦AB的斜率为f (b) f (a)F (b) F 于是f(b)-f(a) _f 徇F(b)F(a)"Fe -柯西中值定理如果函数f(x)及 F(x )在闭区间a , b上连续.在开区间(a,b)内可导,且F '(x)在(a.b)内的每一点处均不为零、那么在(a、b)内至少有一点匕、使等式f(b)f(a) _f 疋)F(b)-F(a)"FU -成立.显然、如果取F(x)=x、那么F(b)-F(a)才-a F 

8、9;(x)=、因而柯西中值公式就可以写成：f(b)-f(a)斗 2(b-a) (a<b).这样就变成了拉格朗日中值公式了.§3. 2洛比达法则0或兰未定型（基本），不能用商的极限运算法则0处另外仟，之0，00，述0,述比都是未定型，可以转换为基本未定型彳 0十处1、或一0处洛必达法则：设当XT a时，函数f（x）及F（x）都趋于零在点a的某去心邻域内，（X）及F（x）都存在且FTx）h0出議存在（或为无穷大）那么limf(x)=limfx)Fg TF'(x)证明：利用柯西中值定理证明（略）+ ,xsin x求丨=limT1 - cosx例1:解一:2=lim =2XT

9、12-X2解二:x22x= lim=lim =2T1-cosx XT sinx例2:求（30）1解:, ln Xx1 cxim迹:尹=!25屮丽 7例 3: limnX(a >1,n >1), X Xjtca解：lim xJ杆anx=lim xJ轮a Ina=limX_jfccn(n - 1)x2ax In a=0例 4： lim Jx 1X_十 z In z2jx2 -12x解：lim+-'limI xln X 7 1 +ln X2 1(1+1 nx)=+oC例 5: lim X-xhx I(XT)ln X解: limXTxlnx=lim 1 一阮一1 I (X 1)ln

10、 XXTlnx +口X-xln X= limI xln x + x -1-l nxTI ln x + 1 +1X"2厉I ce(1cosx)例 6: limXTX2(J1 +x2 -1)X/"2的e(1-cosx)X解：lim J r =lim exT0、,2 儿厂二2 八XT0x2(j1 +x2 -1)21-cosxX2(J1 + x2 -1)xtlimCOst=7林斤斤-1)1t2= lim =1 Tjt2洛必达法则不是对所有未定型都适用伽 7，- X sin X例 7： lim J杯 X +sin X不存在（振荡）1 -cosx=lim J 幻 +cosx洛必达法则失

11、效,sin X1 l = lim =1朽*丄sin X1 +XX +-X例8： ximex 二X丄 _x 解：xm Jx-Xe e-X=lim xXe + eX .-X还原.e +e=lim J悬e -e洛必达法则失效/ 丄-2x1 +e伽 c ，- COSX例 9： ijm2-先验证是否为未定型亠.-sin XHlim XT 2x2、其它未定型CC 3Cvu V=斗u v例 10: limlnx (a0)解：原式=lim lnX = lim =limT+_a "X1 =0兀例 11: lxtanx-亍secx)兀xsin X解：原式=lim2X 另cosxsi nx+xcosx ,

12、 =lim= -1-sinxvy =u= evlnu,limuv =elimvlnu例12:|Xlim 亠X 心D十lim /In X解：原式=8+In X= ex>limo=eT=e =1§3 .3函数单调性一、函数单调性的判定法如果函数y#(x)在a *b上单调增加(单调减少).那么它的图形是一条沿 x轴正向上升(下 降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的)、即yV'(X)总(yV'(X)兰0).由此可见r函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来、能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数yh(x)在a.

13、b上连续、在(a.b)内可导.(1) 如果在(a、b)内f仪)>0、那么函数yh(x)在a、b上单调增加；(2) 如果在(a、b)内f仪)<0、那么函数yh(x)在a、b上单调减少.证明 只证(1).在a、b上任取两点X1、X2(X1 <x2八应用拉格朗日中值定理-得到f(x2 ) f(X1 )斗'(©)(X2 * ) (X1 V r<X2 ).由于在上式中、X2T1>0、因此、如果在(a、b)内导数f '(X)保持正号、即f '(x)>0、那么也有f (勺R .于是f(X2 ) h(X1 ) h '(勺(X2 X1

14、 )>0、f(X1 )Cf(X2 ),这函数注例解y寸（X）在ab上单调增加.:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.1判定函数yrn-sin X在0*2:1上的单调性.因为在（0 .2 JI）内y-cos x >0 r所以由判定法可知函数yi上OS x在0*2ji上的单调增加.例2讨论函数ywx1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？x解 y'w -1 .函数y=qX伙_1的定义域为（乎 七C）.因为在（壬0）内y'<0、所以函数ywXf_1在（乎0上单调减少；因为在（0、母）内y刃、所以函数y=eX F_1在0、+）上单调增加.例3 .讨论函数y =晾的单调性

15、.解：函数的定义域为（比*母）.当时*函数的导数为才电$（X丸）、函数在x=0处不可导.当x=0时、函数的导数不存在.因为xG时、所以函数在（二,0上单调减少；因为X卫时、所以函数在0,均上单调增加.如果函数在定义区间上连续 、除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续、那么只要用方程f（X）国的根及导数不存在的点来划分函数f（x）的定义区间*就能保证f '（X）在各个部分区间内保持固定的符号.因而函数f（x）在每个部分区间上单调.例4 .确定函数f（x）=2x39x2+12x3的单调区间.解这个函数的定义域为：（W、母）.函数的导数为：f （x）=6x2 18x比2 = 6（x1）（x

16、-2）.导数为零的点有两个：X1 =1、X2 =2 . 列表分析：(严11 * 22严）f (x)+f(x)/函数f（x）在区间（W和2、七C）内单调增加、在区间1 *2上单调减少.例5 .讨论函数y -X3的单调性.解函数的定义域为七勺.函数的导数为：y'=3x2 .除当x=0时./=0外、在其余各点处均有 y'>0 .因此函数y理3在区间（严0及0 *七C）内都是单调增加的.从而在整个定义域：（严 范）内是单调增加的. 在xP处曲线有一水平切线.一般地*如果f （x）在某区间内的有限个点处为零*在其余各点处均为正（或负）时*那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调

17、减少）的 .例6 .证明：当XA1时、2奴A3-1 .x证明：令f (x)=2仮(3)'则Xf(X)坂 _1). Jx X2 X2因为当x：>1时f '(x)>0r因此f(x)在1, 4)上f(x)单调增加*从而当x1时f(x)f(1). 由于 f(1)T、故 f(x)>f(1)m、即2 仮 _(3丄)>0 、X也就是2依 >3-1 (x>1).X§34函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义：定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义rX0耳a, b).如果在X0的某一去心邻域内有 f(x)<f(x0)r

18、 则称f(X0)是函数f(x)的一个极大值；如果在X0的某一去心邻域内有f(X)寸(X0)、则称f(X0)是函数f(x) 的一个极小值.设函数f(x)在点X0的某邻域U(X0)内有定义、如果在去心邻域U(X0)内有f(X)<f(X0)(或f(x)>f(X0)、 则称f(X0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).、使函数取得极值的点称为极值点.如果f(xo)是函数f(x)的一个极大值、那只是就X0附；如果就f(X)的整个定义域来说*f(X0)不- 1定是最函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极大值和极小值概念是局部性的近的一个局部范围来说J(X0)是f(x)的一个最大值大值

19、.关于极小值也类似.曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线极值与水平切线的关系：在函数取得极值处 的地方,函数不一定取得极值.且在X0处取得极值,那么这函数在X0处的导定理1 (必要条件)设函数f(x)在点X0处可导 数为零、即f'(X0)n.证 为确定起见，假定f(X0)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义X0的某个去心邻域内、对于任何点X J(x) <f(X0)均成立.于是<X0时当f(x)-f(X0)4XX0因此f(X0)=iim fg fg)工0；xf -X-Xo>X0时f(x)-f(fX-Xo因此f(xo)=lim ；(x)f(xo)Q

20、;X)中X-Xo从而得到f '(Xo) = o .简要证明：假定f(xo)是极大值.根据极大值的定义r在xo的某个去心邻域内有f(X)<f(Xo).于fruxoriim ux)-叫、JX)x-Xo同时f (xo) =f*Xo) = lim f (x)-f (Xo)切 r X)十x-Xo从而得到f (Xo) = o ,驻点：使导数为零的点(即方程f'(x) = o的实根)叫函数f(x)的驻点.定理1就是说：可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来、函数f(x)的驻点却不一定是极值点.考察函数f(x)k3在x=o处的情况.、在Xo的左右邻域内可导.f'(x

21、)<o、那么函数f(x)在Xo处取定理2 (第一种充分条件)设函数f(x)在点xo的一个邻域内连续(1) 如果在xo的某一左邻域内f"(x)>o、在Xo的某一右邻域内 得极大值；f'(x)>0、那么函数f(x)在xo处取(2) 如果在xo的某一左邻域内f"(x)<o、在Xo的某一右邻域内 得极小值；如果在xo的某一邻域内f'(X)不改变符号、那么函数f(x)在 xo处没有极值.定理2 (第一种充分条件)设函数f(x)在含xo的区间(a, b)内连续、在(a, x。)及(xo, b)内可导.(1) 如果在(a, xo)内 f'(

22、X)刃、在(xo, b)内f那么函数f(x)在xo处取得极大值； 如果在(a,xo)内f'(X),在(xo,b)内f'(x)>o,那么函数f(x)在xo处取得极小值；如果在(a, xo)及(xo, b)内f'(x)的符号相同 '那么函数f(x)在 xo处没有极值.定理2"(第一充分条件)设函数f(x)在xo连续、且在xo的某去心邻域(Xo_&xo)5xorXo花)内可导(1) 如果在(xo-6rXo)内f仪) r在(xo.xo+q内f'(x)<：or那么函数f(x)在xo处取得极大值；(2) 如果在(xo-Xxo)内f ge

23、o、在(xo.xo+q内f'(x)>o、那么函数f(x)在Xo处取得极小值；(3) 如果在(Xo-6.Xo)及(Xo、Xo+6)内f'(X)的符号相同、那么函数f(x)在 Xo处没有极值.定理2也可简单地这样说：当X在xo的邻近渐增地经过 Xo时、如果f '(X)的符号由负变正、那 么f(x)在Xo处取得极大值；如果f (x)的符号由正变负、那么f(x)在Xo处取得极小值；如果f '(X)的 符号并不改变 '那么f(x)在 Xo处没有极值(注：定理的叙述与教材有所不同).确定极值点和极值的步骤：(1) 求出导数f '(X)；(2) 求出f(

24、x)的全部驻点和不可导点；(3) 列表判断(考察f '(X)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况.以便确定该点是否是极值点、如果是极值点、还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)；(4) 确定出函数的所有极值点和极值.例1求函数f(X)=(x_4)3F(x+1)2的极值.解(1)f(x)在(严七C)内连续r除X亠1外处处可导 '且f ；令f (x)T、得驻点x=1 X亠1为f(x)的不可导点；(3) 列表判断X(工X)(1*1)1(1严)f (x)+不可导0+f(x)/0-3扬/极大值为f( 一1) =0、极小值为f.定理3 (第二种充分条件)设函数f(x)在点X

25、0处具有二阶导数且f (X0)=0、 f ”(X0)和、那么(1)当f ”(X0)<0时、函数f(x)在X0处取得极大值；(1)当f ”(X0)>0时函数f(x)在X0处取得极小值； 证明 在情形.由于f ”(X0)<'按二阶导数的定义有厂/ rf(x) f(X0)f (XoTlim<0 .?X0X X0根据函数极限的局部保号性、当X在X0的足够小的去心邻域内时、f(X)-f WXXo但f(Xo)n、所以上式即f (x) c<0 .XXo从而知道*对于这去心邻域内的X来说J '(X)与Xo符号相反.因此r当X-Xo<0即x<X0时f &

26、#39;(X)>0 ；当X£o>o即x>X0时f '(x)<o .根据定理2 J(x)在点Xo处取得极大值.类似地可以证明情形(2).简要证明：在情形.由于f ”(xo)<O* f '(xo)n、按二阶导数的定义有L(xo)=lim Hx)f*)=iim 込<0.XfX X0Xf X X0根据函数极限的局部保号性、在X0的某一去心邻域内有込<0.XX0从而在该邻域内、当X<X0时、f'(x)>0；当X>X0时、f'(x)<0.根据定理2 f(x)在点x0处取得极大值.定理3表明、如果函数

27、f(x)在驻点X0处的二导数f”(X0)#0、那么该点X0 一定是极值点、并且 可以按二阶导数f”(Xo)的符来判定f(xo)是极大值还是极小值.但如果f”(xo)n*定理3就不能应用.讨论：函数f(x)i4*g(x)a3在点X是否有极值？32提示 f(X)虫X f 10)=0 f "(X) =12x f "(0) W .但当 x<0 时 f '(x)<0 * 当 x>0 时 f '(x)>0 * 所以 f(0) 为极小值.2g '(X)书X 、 g (0)£ ； gg ”(0)T .但 g(0)不是极值.例2求函数

28、f(x)=(x2/)3州的极值.2 2解(1)f (x)Mx(x -1).(2) 令 f (x)=0、求得驻点 X1=-1、X2=0 .X3=1 .2 2(3) f 7x)=6(x -1)(5x -1).(4) 因'(0) £ >0、所以f (X)在x=0处取得极小值r极小值为f(0)=0.(5) 因f”(1)甘”(1)=0、用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内f '(x)<0、所以f(x)在1处没有极值；同理f(x)在1处也没有极值.二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中.常常会遇到这样一类问题 ：在一定条件下.怎样使“产品最多”、“

29、用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题、这类问题在数学上有时可归结为 求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.极值与最值的关系：设函数f(x)在闭区间a、b上连续、则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得、如果最大值不在区间的端点取得、则必在开区间(a、b)内取得、在这种情况下*最大值一定是函数的极大值.因此*函数在闭区间a*b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理、函数在闭区间a、b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.最大值和最小值的求法：设f(x)在(a *b)内的驻点和不可导

30、点(它们是可能的极值点)为X1 .X2厂.Xn*则比较f(a) f(x 1)、f(Xn)f(b)的大小、其中最大的便是函数 f(x)在a .b上的最大值、最小的便是函数f(x)在a.b上的最小值.2解叶曲 f(x)%3例3求函数f(x)Wx在£ *4上的最大值与最小值.X 可122,4x%2)'xS，1)52,4)xW，2)在(£ *4)内f(x)的驻点为3x=3 ；不可导点为x=和x=2 .由于f(£) =20 f(1) Of(2)=4 f(2)Of(4)=6、比较可得f(x)在X亠3处取得它在3、4上的最 大值20 r在x=1和x=2处取它在£

31、; *4上的最小值 0 .例4 工厂铁路线上 AB段的距离为100km .工厂C距A处为20km *AC垂直于AB .为了运 输需要、要在AB线上选定一点 D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3: 5 .为了使货物从供应站 B运到工厂C的运费最省*问D点应选在何处?解 设 ADrn (km)、贝U DB=100-x、 CD = J202 +x2 = J400 +x2设从B点到C点需要的总运费为 y .那么y=5kCDkDB (k是某个正数 八y =5kJ400+x2 +3k(10x) (0 冬M00).现在、问题就归结为:x在0 J00内取何值时目标函数

32、 y的值最小. 先求y对x的导数：y=k(籃 2 -3)- CD = J400 +x2訥00 +x2解方程yT、得xW5(km).Lf1由于 y|x£N00k*y|xm5£80k*y|x*0 =500kf+ * 其中以 y|xT5=380k 为最小* 因此当AD m=15km时*总运费为最省.例2工厂C与铁路线的垂直距离 AC为20km, A点到火车站B的距离为100km.欲修一 条从工厂到铁路的公路 CD.已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5.为了使火车站B与工厂C间 的运费最省，问D点应选在何处？解 设AD m (km) rB与C间的运费为y ,则y=5kCD 七kD

33、B =5kV40门贡 t3k(100x)gMlOO)、其中k是某一正数.由y'k(加冷一3)丸、得-15-由于 y|xze=400k, y|xd：5=380k *y|x创0=500kjl+'，其中以 y|xzd5=380k 为最小、因此当Y 5AD =xn5km时，总运费为最省.注意：f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点xo r并且这个驻点xo是函数f(x)的极值点、那么、当f(xo)是极大值时J(xo)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(xo)是极小值时f(X0)就是f(x)在该区间上的最小值.、往往根据问题的性质就可以断定函数 .这时如果f(x)在

34、定义区间内部只有一个驻点 是否是极值、就可以断定f(Xo)是最大值或最小值.d的圆木锯成截面为矩形的梁应当指出、实际问题中 且一定在定义区间内部取得f(X)确有最大值或最小值r而X0 *那么不必讨论f(X0)例6把一根直径为能使梁的抗弯截面模量 W (W =丄bh2)最大？6.问矩形截面的高 h和宽b应如何选择才解b与h有下面的关系：h2d 七 2、因而W =訥92 廿)(0<b<d).这样 W就是自变量b的函数 上的变化范围是(0*d).现在、问题化为:b等于多少时目标函数 W取最大值？为此、求W对b的导数：W =6(d2£b2).解方程W得驻点由于梁的最大抗弯截面模量

35、一定存在 、而且在(0、d)内部取得；现在、函数W Wwd2-b2)在6(0 0)内只有一个驻点、所以当b=&d时W的值最大.这时、h2 =d2_b2 =d2 -d2 =2d2 ”33h=J3d - dhbE:逅:1 .解：把W表示成b的函数：W =1bh2 =1b(d2b2) (0<b<d).6 6由 W '=1(d2 U3b2) =0 彳得驻点 b /3剤.6由于梁的最大抗弯截面模量一定存在*而且在(0 .d)内部取得；现在函数 W在(0 d)内只有一个驻点b=Qd 、 所以当b时、抗弯截面模量 W最大、这时h = J?d3.5曲线的凹凸与拐点定义设f(x)在区

36、间I上连续x 1、X 2、恒有 3、如果对I上任意两点X1 +X2 f(X1)+f(X2)那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有f(X| +X2)f(X|) +f (X2)f (丁)2'那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义设函数y#(x)在区间I上连续r如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.凹凸性的判定：定理 设f(x)在a Q上连续、在(a、b)内具有一阶和二阶导数、那么(1) 若在(a、b)内f ”(x)>0、则f(x)在a、b上

37、的图形是凹的；若在(a、b)内f ”(x)<0、则f(x)在a、b上的图形是凸的.简要证明 只证(1).设 0X2X1 .xa *b、且 xi42、记 x0 =XX2 .由拉格朗日中值公式,得f(Xi)f(Xo)=f (dxiXo) = f 齿) , Xi<q<Xo . f（X2）-f（X0）=f （勺）（X2 _X0）=f "r r X0 <2VX2 ,两式相加并应用拉格朗日中值公式得f（X1）+f （X2）Zf （X0）4 f 很）-f U） X2/即f（f（X2hf（xr+X2）、所以f（x）在a b上的图形是凹的.拐点：连续曲线y甘（X）上凹弧与凸弧的

38、分界点称为这曲线的拐点.确定曲线y（x）的凹凸区间和拐点的步骤：（1）确定函数y#（x）的定义域；求出在二阶导数'（x）；（3）求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；判断或列表判断、确定出曲线凹凸区间和拐点；注：根据具体情况（1）（ 3）步有时省略.例1 .判断曲线yTn X的凹凸性.解；/=!、=.XX2因为在函数y=ln X的定义域（0内、y"<0、所以曲线y=ln x是凸的. 例2.判断曲线y肢3的凹凸性.解：y'=3x 2 *y''=6x .由 y''=0、得 x=0 .因为当x<0时*y”<0、所以曲线

39、在（乎0内为凸的；因为当x>0时$”>0 '所以曲线在0,范）内为凹的.3.求曲线y=2x 3七x2-2x+14的拐点.2 :y=6x 怡xV2 ,y"=12x 托=12（x+2）-因为当xc2时y'<0 ；当x>*时.所以点（2'20i）是曲线的拐点.43例4.求曲线y书X -4X +1的拐点及凹、凸的区间 .解：函数y=3x 4Yx3+1的定义域为（严七C）; y'=12x3T2x2 y "=36x2-24x=36x（x-2）；3解方程、得x, =0、X2=2 ；3(4) 列表判断：(严0)0(0* 2/3)2/3(2/3 严)f ”(x)+00+f(x)21n,11/27在区间 匕 0和2/3