高中数学数列知识点解析

1、高中数学第三章数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题. 03.数列知识要点数列的定义数列的有关概念项项数数列的通项通项等比数列的定义L数列与函数的关系等差数列的定义等差数列的通项等比数列的通项等差数列的性质等比数列的性质等差数列的前

2、n项和等比数列的前n项和等差数列等比数列定义an 1andan 1/c、q(q 0) an递推公 式an an 1 d，an am n mdn man anW an amq通项公 式an ai (n 1)dn 1an aq (a1,q 0)中项an k an kA. 2(n, k N , n k 0 )Gankank(ankank 0)(n, k N , n k 0 )前n项 和Snn(ai an)2n(n 1)Sn na1 d2nai(q 1)Sna1 1 qn a1 anq-(q 2)1 q1 q重要性 质*am an ap aq (m, n, p,q N , m n p q)一一*am

3、anap aq(m, n, p,q N , m n p q)1.等差、等比数歹U：等差数列等比数列定义an为A P an 1an d(常数)an为G P nq(常数) an通项公 式an = a1 + ( n-1 ) d= ak + ( n-k )d=dn + a1-dn 1n kanaqakq求和公 式n(a1an)n(n 1)Snna1d22d 2d2n(a1 2)nna(q 1)sna(1 qn)aanq/ 八- d(q1)1 q1 q中项公 式A=c推广：2an = an m Hn m222G ab。推广：anan m an m性 质1若 m+n=p+q则 am anap aq若 m+

4、n=p+q 则 aman apaq。2若kn成（其中kn N）则aj也为。若心成等比数列（其中kn N）,则akn成等比数列。3 Sn,S2nSn,S3nS2n 成等差数列。sn , s2nsn, s3nS2n 成等比数列。4an a1 am an /、d(m n)n 1m nn 1 ann m anq， q(m n)aam5看数列是不是等差数列有以下三种方法:anan 1 d（n 2,d为常数）2anan 1 an 1（ n 2）an kn b （ n, k为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法:anan 1q（n 2,q为常数，且 0） anan i an i （ n 2 , ana

5、n 1 an 1 0）注：i. b Jac，是a、b、c成等比的双非条件，即 b 而 =、b、c等比数列.ii. b 70c （ac0） 一为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. b 一为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. bw辰且ac 0一为a、b、c等比数列的充要注意：任意两数 a、c不一定有等比中项，除非有ac0,则等比中项一定有两个23 ) 13 23n31n(n 1)an cqn（c,q为非零常数）.1）成等比数列.s1a1 (n 1)sn sn 1 (n 2)正数列 an成等比的充要条件是数列 logxan 数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an 注:an a n 1

6、 d nd a d （ d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常 数列也是等差数列）一若 d不为0,则是等差数列充分条件）.等差an前n项和Sn An2 Bn d n2 a1 - n - 9可以为零也可不为零一为等差 222的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件； 若d不为零，则是等差数列的充分条件.非车常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2 一2 .等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍 &,S2k Sk,S3k S2k；S奇an若等差数列的项数为 2nn N ，则S偶S奇 nd, 二一；S 偶a n 1若等差数列的项数为 2n

7、1 n N ，则S2nl 2n 1 an,且S奇S偶an,匡 S偶 n 1代入n到2n 1得到所求项数3 .常用公式：1+2+3+n = 12 22 322 n n 1 2n 1 n 13 23 33 n3注:熟悉常用通项：9, 99, 999, an 10n 1; 5, 55, 555, an 5 10n 1 . 94 .等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为 a,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列，公比为1 r .其中第n年产量为a(1 r)n 1,且过n年后总产量为：2n 1 aa (1 r)na a(1 r) a(1 r) . a(1

8、 r).1 (1 r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r ,每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 r)n元.因此，第二年年初可存款：12%J2J 、10、 a(1 r)1 (1 r)12a(1r)a(1r)a(1r). a(1r)=.1 (1 r)分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.m mmm 1m 2m x 1 r 1ar 1ra 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x a 1 r x mr1 r 15 .数列常见的几种形式： an 2 pan 1 qan (p、 q为二阶常数)用特证根方法

9、求解.具体步骤：写出特征方程x2Px q(x2对应an2,x对应an1),并设二根x1,x2若x1x2可设 an.cxnC2x2,若 x1x2可设 an (c1 C2 n)xn ;由初始值a1,a2 确定 C1,C2.an Pan 1r (P、r为常数)用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数nan； an C1 C2Pn 1 (公式法)，C1,C2转化为an 2 Pan 1 qan的形式，再用特征根方法求由a1 ,a2确定.转化等差，等比：an 1 xP(an x)选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) rr.P 1an (a1L-)Pn 1)(a1 x)Pn 1 xP 1 P

10、1Pan Px xn 1 n 2P a1 P rPr用特征方程求解：an1 Pan r相减, an Pan 1 ran 1 a n Pan Pan 1a n 1 (P 1) a n Pan 1 .由选代法推导结果:CiC2a1annC2P6 .几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn,在d 0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有 两种方法：一是求使an 0,an i 0,成立的n值；二是由Sn n2利用二次函数的性质求 n的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1 -3-,.(

11、2n 1),.2 42n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差di, d2的最小公倍数.2 .判断和证明数列是等差 (等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，a驹证anan 1()为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法：验证an 12an 1an an2(a21 anan 2)n N 都成立。am 03 .在等差数列 an中，有关Sn的最值问题：(1)当a10,d0时，满足的项数am10am 0 ,m使得sm取最大值.(2)当a10时，满足的项数m使得sm取最小值。在解am 10含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。(三)、数列求和的常用方法1 .公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。c ，、2.裂项相消法：适用于 其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数；部anan 1分无理数列、含阶乘的数列等。3