高中数学讲义圆锥曲线中的面积问题

1、微专题72圆锥曲线中的面积问题、基础知识:1、面积问题的解决策略：(1)求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)。(2)面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异” ，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值

2、的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式(证明详见“圆锥曲线的性质”)22,贝 U SVPF1 F2b2 tan 2x y(1)椭圆：设P为椭圆 22 1 a b 0上一点，且 F1PF2 a b(2 )双曲线：2为椭圆与a2 y b21 a,b 0 上一点，且 F1PF2Sb2 -JSVPF1 F2bcot 2二、典型例题:例1:设E, F2为椭圆1的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,uur uuuu当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1 PF2的值等于思路：由椭圆中心对称的特性可知P,Q关于原点中心对称，所以 VPF1F

3、2与VQF1F2关于原点对称，面积相等。且四边形 PF1QF2可拆成VPF1F2与VQF1F2的和，所以四边形 PF1QF2的面,一. 一_ 1 _一 .积最大即VPF1F2面积最大，因为SVPF1F2 - F1F2 yp c yp,所以当yp最大时，vpff2面积最大。即P位于短轴顶点时，VPF1F2面积最大。由2 y2 1可知a 2,b 1,c J3 ,所 4以P 0,1下13,0 ,F2 ,3,0uuir uuuur,进而计算出PF1 PF2的值为2答案：2例2：已知点P是椭圆16x2 25y21600上的一点，且在x轴上方，Fi,F2分别为椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为4、/3 ,

4、则VPF1F2的面积是（A. 32,3B. 24、3C. 32.2D. 24.2思路：将椭圆化为标准方程为22 1 ,进而可得c 6,所以Fl 6,0 ,F2 6,0，计 100 64算VPRF2的面积可以以 F1F2为底，Py为高，所以考虑利用条件计算出P的纵坐标，设16x2 25y 1600P x, y ,则有 kPF2 y4g ,所以 y-473可解得 y 4 J3 或x 6x 6y 064、319（舍去），所以 SVPF1 f211F1F2 y 12 4.32224,3答案：B例3:已知F为抛物线y2x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于uuu uuux轴的两侧，OA OB 2,则VAB

5、O与VAFO面积之和的最小值是（）A. 2B. 317.2C. 8D. 、10uuu uuu思路：由OA OB 2入手可考虑将向量坐标化,设 A。y1，B x2, V2 ，则 Mx?yy 2 ,进而想到可用韦达定理。所以设AB与x轴交于M m,0直线AB : x ty m。联立方程2y xx ty my2 ty m 0 , 所以丫佻2 22.m 0,xx2小y m , 所以由2 ,不妨设A在x轴上方，如图可 信 ：SVABOSVAFO10M 21 CLV1 V2 O OF2、2,消元后可得:ySVABOSVAFOVl 一8V1y1一 y1y2，由 y1y22 可知82j9y1 3,等号成立当且

6、仅当 8y14y1 一,所以 SvaboSvafo的取小值为x)x2 y1y2 2 可得：mm23答案：B 例4:抛物线y2例5：以椭圆L 4x的焦点为F ,准线为l ,经过F且斜率为J3的直线与抛物线在 X轴上方的部分相交于点 A, AK l ,垂足为K ,则VAFK的面积是（）A. 4B. 3.3C. 4.3D. 8思路：斜率为 J3可知直线的倾斜角为，从而可得 KAF , 33所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1 ._ 一SVAKF - AK AF sin,由抛物线性质可得 AK AF ,所 2 3以只需求得焦半径 AF| ,即只需解出A点横坐标。利用几何关系可一，一1得Xa|o

7、f|fm|OF|2AFI ,另一方面，由焦半径公式可1得：AF Xa 1,所以可得方程：XaOF 2Xa1Xa3,从而 | AF|Xa1 4,所以 SVAKF 1 AF 2sin- 4732 3答案：C 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为 直线的倾斜角 一，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运3算更为简单。（2）本题的Xa也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下:由抛物线方程可得：F1,0,设l：y J3X 1,联立方程:y2 4X23 3 X 1 4x ,整理可得:y .3 x 13x2 10x 3 03 X

8、或2.3 y-xa 33（舍）2 31的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ,其左右焦点分别为 F1,F2,3已知点M的坐标为 2,1 ,双曲线C上点P x0,y0 x00,y0 0 满足uuur uuuuuuuur uuuuPFi MF1F2F1 MF1uuur.uuuur ,贝U svpmf1SVPMF2 等于（PF1A. 2B. 4C. 1D. 1思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标,1的顶点为3,0 , 3,0 ,即为F1,F2的坐标，椭圆的焦点为2,0 , 2,0 ,所以双曲线中a 2,c 3,进而b 居uuur uuuuuuuur uuuuPF1 MF1F2F1 MF1观祭u

9、utF-lAjuu可联想到投影，即PF1IF2F1uuuu uuuruuur uuurMF1在PF1的投影与 MF1在F2F1的投影相等，由几何关系可得F1M为 PF1F2的角平分线。由 M 2,1 ,F2 3,0可得kMF2F2M平分PF2F1 ,从而M 为VPF1F2的内心，且内切圆半径r yM 1。从而-1 SVPMF1SVPMF22 PF12pf2-r |PF1 |PF2答案：A例6:已知点P为双曲线2 y0,b 0右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，且F1F2b2一,I为二角形 aPF1F2的内心，若 SVIPF11 2 2A. 2B. 2.3 1 C.思路：由三角形内心的

10、性质可得到三边的距离相等，所以而2 1 D. 2Svipf2svif1f2成立,则 的值VIPF1,VIPF2,VIF1F2的 高SVIPF1SVIPF2SVIF1F2PF1PF2F1F2IPF1I IPF2I确定a,c的关系即可。 a解：Q I为三角形PF1F2的内心SVIPF11c产r,SSviPF1SvIPF2SviF1 F2PF1|PF2|F1F2F1F2IPF1|PF2uuurPF1PF22a, F1F2Q P在双曲线上，且F1, F2是焦点2cc即为离心率a由 F1F222可得：2c aa2ac c2 a2,两边同时除以a2得:e2 2e 1 0,解得 e2 2.221 一 一 1

11、 一 21PF2 JSVIFzFi|F2F1r答案：C2 X例7：已知点A 0, 2，椭圆E :y a上1 b2b 0的离心率为,F是椭圆2E的右焦点，直线AF的斜率为2.33O为坐标原点(1)求E的方程l的方程(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当VOPQ面积最大时，求22 3-解：（1）设 F c,0 kAF - c 73c 3c 32 c222Q e a 2 b a c 1a 2. 32E:41一思路：首先设 PQ : y kx 2, P x1,y1 ,Q x2,y2 ,由图像可得 Sv0PQ 3do PQ | PQ ,考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k

12、表示出dO PQ, PQ ,从而8VopQ也可用k进行表不：SV0PQ4.4k2 34k2 14， 一,再利用均值不等式4k2 34=4k2 3即可得到最大值。等号成立的条件“k2 3_4_4k2 3即为k的值。(注意直线与椭圆相交,所以消元后的方程0)(2)设直线PQ :Xi,yi ,Q X2,y2联立方程可得:y kX 222x 4y22X2 4 kX 24 ,整理后可得:4k21 X216kx 12 0 ,因为方程有两个不等实根16k248 4 k2 10解得:史或k2SVOPQ2doPQPQdo PQ2 k2=1PQk2X1X2. 1 k2X12x24X1X2由方程4k2 1 X216

13、kx120可得:X1X216k4k21,X1X2124k-代入1PQ可得:PQ1 k264 k2 484k2 14.4k2 34k2 1SVOPQ二4.4k2 34k2 14、4k2 34k2 142-4 k _3_4;4k2 344?14k 3由均值不等式可得：4k2_44k22. 4k23 .4k4 3 4等号成立条件：.4 k2 3. 4k24k2 3 4SVOPQ1 此时 k2l的方程为y凡2或y 21,过右焦点2F的直线l与C相交于22x y例8：已知椭圆C： 2L 1 a b 0的离心率为 a2 b2A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点。到l的距离为(1)求椭圆C的方程(2)若P

14、,Q,M ,N是椭圆C上的四点，已知uurPF与uuuFQ共线，uuur uurMF与FN共线，且uuur LULTPF MF 0 ,求四边形PMQN面积的最小值设 F c,0，则 l :dO la 2,b2(2)由(1)uur可得：F 1,0 ,因为PFuuur MFPFMFSPMQNMN PQ设 P x” ,QX2, y2 , PQ：y联立方程可得:3x24y2 12k x 1消去X可得:3x2 4k2 x2112整理后可得:24k2 38k2X24k2 12PQ1 k2X1X2144k2 1444k2 312k2 1-4k2 31,以一替换中的k可得:kMN1122 1k24记312k2

15、3k212SPMQN1-MN PQ 21 12 k2 * 1 12k2 12222 4k2 33k2 4721 42k 2k12k4 25k2112k272 12 k2k2 21 k225设u k21-,可得u k22,SPMQNu 272 12u 2512u 25288u 2 时Smin19例9：在平面直角坐标系 xOy中，已知点A1,1 ，P是动点，且三角形 POA的三边所在直线的斜率满足k0PkOAkPA(1)求点P的轨迹方程(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且uuirPQuuuOA，直线OP与QA交于点M ,问:是否存在点P使得VPQA和VPAM的面积满足Svpqm2SVPAM ?

16、若存在，求出点P的坐标, 若不存在，请说明理由。直接利用条件列出等式化简即可(1)思路：本题设点 P x,y ,且O,A已知,解：设P x,y1,1 ,0 0,0 可得:kOP, kOAxy【y 1一 1,kPAkOAkPA 可得:1整理后可得:所以P的轨迹方程为yx 0,x(2)思路：从图中可得VPQA和VPAM的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比,即SVPQM2SVPAMQA 2AMuuuruuuuuir uur再由 PQOA可得 PQ/OAQA 2 AM OP 2OM ,由O,P,M共线再转成向量关系则只需求出M的坐标即可解出P的坐标解：设 P x1, x2 ,Q x2, x2uu

17、irQ PQuuuOAuuur uuuuPQ / OAkPQkOA1 ，2XiX2Xi1 x2XiX21X2X2XiQA: yXi因为OP：X1XXi可解得XmX1XQ SVPQM2qad P QM , SVPAM-|AMdPQM 且 SVPQM2SVPAMQA2 AMuuur uii Q PQ / OAQA2 AMuuuOP 2 OM ,即 OPuuuu2OMXP2Xm 1P 1,1所以存在符合条件的P 1,1若直接从IBC , AC长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体,SVBCFSVACFIBC AC 并进行线段的转移，可过 A,B分别引准线的垂线，从而将BCACdB ldA,只需联立直线抛物线方程求出A点横坐标即可。解：由y22x可得pBF则 SVBCF SVACFX2,E 221d BC 21d AC 2X232 ,设F到直线AB的距离为d过A,B分别引准线的垂线BCAC设 AB : yBCACAP,BQAP / BQBQAPX2,P 2 P 2X2Xi1212整理后可得