导数解题技巧

1、学习必备 欢迎下载 导数题的解题技巧 【命题趋向】 导数命题趋势： 导数应用：导数函数单调性函数极值函数最值导数的实际应用 【考点透视】 1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的 定义和导数的几何意义；理解导函数的概念 2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数 的导数 3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点 两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值 【例题解析】 考点 1 导数的概念 对概念的要求：了

2、解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 . 例 1（ 2006 年辽宁卷）与方程 y = e2 x - 2ex + 1(x 3 0) 的曲线关于 y = x 对称的曲线的方程为 A. y ln(1 x ) B. y ln(1 x ) C. y ln(1 x ) D. y ln(1 x ) 考查目的 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解 .同时还考查了转化能力 解答过程 y e2 x 2 ex 1( x 0) (e x 1)2 y ， x 0, ex 1， 即： ex 1 y x ln(1 y) ，所以 f 1( x) ln(1 x ) . 故选 A

3、. 例 2. ( 2006 年湖南卷 )设函数 f (x) = x - a , 集合 M = x f (x) 1时 ,1 x 当 a1 时 ,a x 1. x 1 a; / y x a , y/ x a x 1 x 2 a a 1 2 0. x 1 x 1 x 1 x 1 a 1. 综上可得 M P 时 , a 1. 考点 2 曲线的切线 （ 1）关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x) 在某一点 P（ x,y ）的切线，即求出函数 y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （ 2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线 . 典型例题 学

4、习必备 欢迎下载 例 3.（2004 年重庆卷）已知曲线 y= 1 x3+ 4 ，则过点 P（ 2，4）的切线方程是 _. 3 3 思路启迪 ：求导来求得 切线斜率 . 解答过程： y =x2，当 x=2 时， y =4. 切线的斜率为 4. 切线的方程为 y 4=4（x 2），即 y=4 x 4. 答案： 4x y 4=0. 例 4.（2006 年安徽卷）若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0垂直，则 l 的方程为（ ） A 4x y 3 0 B x 4 y 5 0 C 4x y 3 0 D x 4 y 3 0 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用

5、能力 . 解答过程 与直线 x 4y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0 ，即 y x 4 在某一点的导数为 4，而 y 4x3 ，所以 y x 4 在(1， 1)处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0 . 故选 A. 例 5 ( 2006 年重庆卷 )过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2 y+ 5 =0 相切的直线的方程为 ( ) 2 A. y=-3 x 或 y= 1 x B. y=-3 x 或 y=- 1 x C.y=-3x 或 y=- 1 x D. y=3 x 或 y= 1 x 3 3 3 3 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 .

6、 解答过程 解法 1：设切线的方程为 y kx, kx y 0. 又 x 2 y 2 5 圆心为 2, 1 . 2 1 , 2 2k 1 5 3k 2 8k 3 0. k 1 3. k 2 1 , , k 2 3 1 y x,或 y 3x. 3 故选 A. 解法 2:由解法 1 知切点坐标为 ( 1 , 3 ), 3,1 ,由 2 2 2 2 / 5 / ( x 2) 2 y 1 , 2 x 2 x 2( x 2) 2 y 1 yx / 0, yx / x 2 . y 1 k y / 3, k y / 1 x ( 1, 3) 2 x ( 3,1 ) 2 2 2 2 y 3x, y 1 x. 3

7、 1 . 3 故选 A. 例 6.已知两抛物线 C : y x2 2 x C 2 : y x2 a , a 取何值时 C1 ， C2 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 1 , 思路启迪 ：先对 C1 : y x 2 2x,C 2 : y x2 a 求导数 . 2 2 x 的导数为 2 x 2 ，曲线 C 在点 P( 2 )处的切线方程为 2 ， 解答过程：函数 y x y x1 , x1 2x1 y (x1 2x1 ) 2( x1 2)( x x1 ) 1 即 y 2(x1 1)x x12 学习必备 欢迎下载 曲线 C1在点 Q (x2 , x2 2 a) 2x 2 ( x x 2

8、) 即 a) 的切线方程是 y ( x 2 y 2x2 x x2 2 a 若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线，则式和式都是 l 的方程，故得 x1 1 x2 , x12 x2 2 1，消去 x2 得方程， 2x 2 2x 1 a 0 1 1 若= 4 4 2(1 a) 0 ，即 a 1 时，解得 x1 1，此时点 P、Q 重合. 2 2 当时 a = - 1 ， C1 和 C 2 有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y = x - 1 . 2 4 考点 3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于 函数的单调性，

9、 以“导数”为工具，能对其进行全面的分析， 为我们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法， 进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法 .复习时，应高度重视以下 问题 : 1. 求函数的解析式 ; 2. 求函数的值域 ; 3.解决单调性问题 ; 4.求函数的极值（最值） ; 5.构造函数证明不等式 . 典型例题 例 7（ 2006 年天津卷）函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开 区间 (a,b)内有极小值点（ ） A1 个 B2 个 y y f

10、(x) C3 个 D 4 个 考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 b 的应用能力 . 解答过程 由图象可见 ,在区间 ( a,0) 内的图象上有一个极小值点 . O a x 故选 A. 例 8. 设 y f ( x) 为三次函数，且图象关于原点对称，当 x 1 时， f ( x) 的极小值为 1， 2 求出函数 f ( x) 的解析式 . 思路启迪 ：先 设 f ( x) ax3 bx 2 cx d(a 0) ，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程： 设 f ( x) ax3 bx 2 cx d (a 0) ，因为其图象关于原点对称，即 f ( x) f ( x)

11、，得 ax 3 bx 2 cx d ax 3 bx 2 ， cx d b 0，d 0，即f ( x) ax3 cx 由 f ( x) 3ax2 c， 依题意， f ( 1) 3 a c 0 ， f (1 ) 1 a c 1 ， 2 4 2 8 2 解之，得 a 4 ， c 3 . 学习必备 欢迎下载 故所求函数的解析式为 f ( x) 4x 3 3x . 例 9.函数 y2 x 4x 3 的值域是 _. 思路启迪 ：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数 的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 解答过程：

12、由 2x 4 0 得， x 2 ，即函数的定义域为 2, ) . x 3 0 1 1 2 x 3 2x 4 ， y 4 2 x 3 2 2x 4 x 3 2x 又 2 x 3 2 x 4 2x 8 ， 2 x 3 2x 4 当 x2 时， y 0 ， 函数 y 2 x 4 x 3 在 ( 2, ) 上是增函数，而 f ( 2) 1， y 2 x 4 x 3 的值域是 1, ) . 例 10（ 2006 年天津卷）已知函数 f x 4x3 3x2 cos 3 cos ，其中 x R, 为参数，且 0 2 16 （ 1）当时 cos 0，判断函数 f x 是否有极值； （ 2）要使函数 f (x)

13、 的极小值大于零，求参数 的取值范围； （ 3）若对（ 2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 f x 在区间 2a 1,a 内都是增函数，求实数 a 的取值范围 考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础知识， 考查综合分析和解决 问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程 （）当 cos 0时， f ( x) 4x3 ，则 f (x) 在 ( , ) 内是增函数，故无极值 . （） f ( x) 12 x2 6 x cos ，令 f ( x) 0 ，得 x1 0, x2 cos . 2 由（），只需分下面两种情况讨论. 当 cos 0 时，

14、随 x 的变化 f (x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表： x ( ,0) 0 cos cos cos ) (0,) 2 ( , 2 2 f (x) + 0 - 0 + f ( x) 极大值 极小值 因此，函数 f ( x) 在 x cos 处取得极小值 f( cos ) ，且 f ( cos ) 1 cos3 3 2 2 2 4 16 . cos ) 0，必有 1 cos 23 ) 0，可得 0 cos 3 . 要使 f ( 4 (cos 2 2 4 由于 0 cos 3 ，故 6 2 或 3 11 . 2 2 6 当时 cos 0 ，随 x 的变化， f (x) 的符号及 f

15、( x) 的变化情况如下表： x ( , cos cos cos ,0) 0 (0, ) ) 2 ( 2 2 f (x) + 0 - 0 + f (x) 极大值 极小值 因此，函数 f ( x)在 x 0 处取得极小值 f (0) ，且 f (0) 3 cos . 16 若 f (0) 0 ，则 cos 0 .矛盾 .所以当 cos 0 时， f (x) 的极小值不会大于零 . 学习必备 欢迎下载 综上，要使函数 f (x) 在 ( , ) 内的极小值大于零，参数 的取值范围为 ( , ) 3 11 ) . ( , 6 2 2 6 （ III ）解：由（ II ）知，函数 f (x) 在区间

16、( , ) 与 ( cos , ) 内都是增函数。 2 由题设，函数 f ( x) 在 (2a 1,a) 内是增函数，则 a 须满足不等式组 2a 1 a 或 2a 1 a 1 cos a 0 2a 1 2 由（ II ），参数时 ( , ) (3 ,11 )时， 0 cos 3 .要使不等式 2a 1 1 cos 关于参数 恒成立，必有 2a 1 3 ， 6 2 2 6 2 2 4 即 4 3 a . 8 综上，解得 a 0 或 4 3 a 1. 8 所以 a 的取值范围是 ( ,0) 4 3,1). 8 例 11 (2006 年山东卷 )设函数 f(x)=ax (a+1)ln( x+1)，

17、其中 a -1，求 f(x) 的单调区间 . 考查目的 本题考查了函数的导数求法 ,函数的极值的判定 ,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 由已知得函数 f (x) 的定义域为 ( 1, ) ，且 f ( x) ax 1 (a 1), x 1 （ 1）当 1 a 0 时， f ( x) 0, 函数 f (x) 在 ( 1, ) 上单调递减， （ 2）当 a 0 时，由 f ( x) 0, 解得 x 1 . a f (x ) 、 f (x) 随 x 的变化情况如下表 x ( 1,1) 1 ( 1 , ) a a a f (x) 0 + f (x) 极小值 从上表可知 当

18、 x ( 1, 1 ) 时， f ( x) 0, 函数 f ( x) 在 ( 1, 1 ) 上单调递减 . a a 当 x ( 1 , ) 时， f ( x) 0, 函数 f (x) 在 ( 1 , ) 上单调递增 . a a 综上所述：当 1 a 0时，函数 f ( x) 在 ( 1, ) 上单调递减 . 当 a 0 时，函数 f (x) 在 ( 1,1 ) 上单调递减，函数 f ( x) 在 ( 1 , ) 上单调递增 . a a 例 12（ 2006 年北京卷）已知函数 f ( x) ax3 bx2 cx 在点 x0 处取 得极大值 5，其导函数 y f ( x) 的图象经过点 (1,0

19、) ， (2,0) ，如图所示 .求： （） x0 的值； （） a,b, c 的值 . 考查目的 本小题考查了函数的导数 ,函数的极值的判定 ,闭区间上二次函数的最值 , 函数与方程的转化等基础知识的综 合应用 ,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 解法一：（）由图像可知，在 ,1 上 f x 0 ，在 1,2 上 f x 0，在 2, 上 f x 0 , 故 在 ，1），（ 2，+ 上递增，在 (1,2) 上递减， f (x) （- ） 学习必备 欢迎下载 因此 f x 在 x 1 处取得极大值，所以 x0 1 （） f ( x) 3ax2 2bx c, 1） 5

20、， 由 f（ 1） =0，（f 2） 0，（f 3a 2b c 0, 得 12a 4b c 0, a b c 5, 解得 a 2,b 9,c 12. 解法二：（）同解法一 （）设 f ( x) m( x 1)(x 2) mx 2 3mx 2m, 又 f ( x) 3ax2 2bx c, 所以 a m ,b 3 m, c 2m 3 2 f ( x) m x3 3 mx2| 2mx, 3 2 由 f (1) 即 m 3 得 m 6, m 2m 5, 5， 3 2 所以 a 2, b 9,c 12 例 13（ 2006 年湖北卷）设 x 3 是函数 f x x 2 ax b e3 x x R 的一个

21、极值点 . （）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b ），并求 f x 的单调区间； （）设 a 0 ， g x a 2 25 ex .若存在 1 , 2 0,4 使得 f 1 g 2 1成立，求 a 的取值范围 . 4 考查目的 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 . 2 3 x 解答过程 （） f (x) x (a 2)xba e , 由 f (3)=0 ，得 32( a 2)3 ba e33 0，即得 b 32a，则 f (x) x2( a 2)x 3 2aa e3 x x2 (a2)x 33a e3x (x3)(xa+ 1)e3 x.

22、 令 f (x) 0，得 x13 或 x2 a1，由于 x 3 是极值点，所以 x+a+ 1 0，那么 a 4. 当 a3 x1，则 在区间（， 3）上， f (x) 0 ，f (x) 为增函数； 在区间（ a 1，）上， f (x) 4 时， x23 x1，则 在区间（， a 1）上， f (x) 0 ，f (x) 为增函数； 在区间（ 3，）上， f (x) 0 时， f (x)在区间（ 0， 4上的值域是 min(f (0) ，f (4) )， f (3) ， 0，3）上的单调递增，在区间（ 3，4）上单调递减，那么 f (x) 在区间 学习必备 欢迎下载 而 f (0) （ 2a 3）

23、e3 1 0 ， f (3) a 6， 0 ，f (4)（ 2a 13） e 那么 f (x) 在区间 0， 4上的值域是 （ 2a 3） e3， a 6. 又 g (x) (a2 25)ex 在区间 0， 4上是增函数， 4 且它在区间 0， 4上的值域是 2 2 25 4 ， a 25 ，（ a ） e 4 4 ? 25? 1 ? 2 ? 2 25? 由于 a 2 2 1 ? 3 0 + - a+ 6 0 ? 4 ? 4 2 ? 4 ? 0 a 0 时， f(0) 为极大值 C、b=0 D 、当 a0 时， f(0) 为极小值 11、已知函数 y=2x 3+ax2+36x-24 在 x=2

24、 处有极值，则该函数的一个递增区间是 () A、（ 2，3） B 、（ 3， +） C、（ 2，+） D 、（ -，3） 学习必备 欢迎下载 12、方程 6x 5-15x 4+10 x 3+1=0 的实数解的集合中 ( ) A 、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素 二、填空题 13.若 f(x0)=2, lim f ( x0 k) f ( x0 ) =_. k 0 2k 14.设 f(x)=x(x+1)( x+2) ( x+n), 则 f(0)=_. 15.函数 f(x)=log a(3x2+5x 2)(a 0 且 a1)的单调区间

25、_. 16.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 _时它的面积最大 . 三、解答题 17.已知曲线 C： y=x3 3x2+2 x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 (x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标 . 18.求函数 f(x)=p 2x2(1-x) p(pN + )，在 0， 1内的最大值 . 19.证明双曲线 xy=a2 上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数 . 20.求函数的导数 (1) y=(x2 2x+3)e2x; (2) y= 3 x . 1 x 21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3

26、m/s 墙脚 1.4 m 时，梯子上端下滑的速度 . 2 2 2 2 2 n 1 * 22.求和 Sn=1 +2 x+3 x + +n x ,(x0,nN ). 23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间 . 24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点 . 试确定常数 a 和 b 的值； (2) 试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由 . 25.已知 a、 b 为实数，且 b a e,其中 e 为自然对数的底，求证： b a a b . 2 ax 2=0 的两根为 、 ( )

27、,函数 f(x)= 4x a . 26.设关于 x 的方程 2x x2 1 (1) 求 f( )f( )的值； (2) 证明 f(x)是 ， 上的增函数； (3) 当 a 为何值时， f(x)在区间 ， 上的最大值与最小值之差最小？ 学习必备 欢迎下载 【参考答案】 一、 1.解析： y=esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y(0)= e0(1 0)=1. 答案： B 2.解析：设切点为 (x0 ,y0),则切线的斜率为 k= y 0 ,另一方面， y=( x 9 )= 4 ,故 x 0 x 5 ( x 5) 2 y(x0)=k,即 4 y0 x0 9 或 x

28、02+18x0+45=0 得 x0 (1)=3,y0 (2)=15,对应有 y0 (1)=3,y0 (2)= 15 9 3 ,因此得两个切点 (x0 5) 2 x0 x0 ( x0 5) 15 5 5 A( 3，3)或 B( 15, 3 ),从而得 y(A)= 4 5 (35)3 lB:y= x . = 1 及 y(B)= 4 1 ,由于切线过原点，故得切线： lA :y= x 或 ( 15 5) 2 25 25 答案： A 3.解析：由 lim f (0) = 1,故存在含有 0 的区间 (a,b) 使当 x(a,b),x0 时 f (0) 0,于是当 x(a,0)时 f(0) 0,当 x(

29、0,b)时， f(0) x 0 x x 0,这样 f(x)在 (a,0)上单增，在 (0,b)上单减 . 答案： B 2 nn3 2 n-1 2 n -1 2(1 x) nx,令 f 得 x1=0,x2=1,x3= 2 ,易知 fn(x)在 x= 4.解析：fn(x)=2 xn (1 x) x (1 x) =n x(1 x) n(x)=0, 2 n 2 时取得最大值，最大值 fn 2 2 2 2 (1 2 n ( 2 ) n+1 . 2 n ( 2 n )= n ( 2 n ) ) =4 2 n 2 n 答案： D 5、 B 6、A 7、 B 8、D 9、 B 10、 C 11、B 12、 C

30、 二、 13.解析：根据导数的定义： f(x0)= lim f ( x0 ( k ) f (x0 ) (这时 x k ) k 0 k lim f ( x0 k) f ( x0) lim 1 f (x0 k) f ( x0 ) k 0 2k k 0 2 k 1 lim f (x0 k ) f (x0 ) 1 f (x0 ) 1. 2 k 0 k 2 答案： 1 14.解析：设 g(x)=( x+1)( x+2) (x+n),则 f( x)=xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg(x), f(0)= g(0)+0 g(0)= g(0)=1 2 n=n！ 答案： n! 15.解析：函数的定义域

31、是 x 1 或 x 2,f(x)= log a e .(3x2+5x 2)= (6x 5) log a e , 3 3x2 5 x 2 (3x 1)( x 2) 若 a 1,则当 x 1 时， log ae0,6x+5 0,(3x1)( x+2) 0,f(x) 0,函数 f(x)在 ( 1 ,+)上是增函数， x 2 时， f(x) 3 3 学习必备 欢迎下载 0.函数 f(x)在 (, 2)上是减函数 . 若 0 a 1,则当 x 1 时， f(x) 0,f(x)在 ( 1 ,+)上是减函数，当 x 2 时， 3 3 f(x) 0,f(x) 在 (, 2)上是增函数 . 答案： (,2) 1

32、6.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h，那么 h=AO+BO=R+ R 2 x 2 ,解得 x2=h(2R h),于是内接三角形的面积为 S=xh= (2Rh h2 ) h (2Rh3 h4 ) , 从而 S 1 (2Rh3 1 h 4) 2 (2Rh3 h4 ) 2 1 ( 2Rh3 1 h2 (3R 2h) h4 ) 2 (6Rh2 4h3 ) 2 3 (2R h) h . 令 S=0,解得 h= 3 R,由于不考虑不存在的情况，所在区间 (0,2R) 2 h (0, 3 R) 3 R ( 3 ,2R) 2 2 2 S + 0 S 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当 x

33、= 3 R 时，等腰三角形面积最大 . 2 答案： 3R 2 三、 17. 解：由 l 过原点，知 k= y0 (x00),点 (x0,y0)在曲线 C 上， y0=x0 3 3x0 2+2x0, x0 y0 02 3x0 2 6x+2,k=3x02 6x0 =x +2,y=3x +2 x0 又 k= y0 ,3x02 6x0+2=x02 3x0+2,2x023x0=0,x0=0 或 x0= 3 . x0 2 由 x0,知 x0= 3 , 2 y0=( 3 3 3 2 3 3 .k= y0 = 1 . ) 3( ) +2 = 2 2 2 8 x0 4 l 方程 y= 1 x 切点 ( 3 ，

34、3 ). 4 2 8 18. f ( x) p 2 x (1 x )p 12 (2 p)x , 令 f (x)=0 得， x=0， x=1 ，x= 2 , 2 p 在 0， 1上， f(0)=0 ， f(1)=0 ， f ( 2 ) 4( p )p 2 . 2 p 2 p f (x ) max 4( 2 p ) 2 p . p 学习必备 欢迎下载 19.设双曲线上任一点 0 ， y0 ）, P（ x ky |x x 0 a 2 x 0 , 2 切线方程 y y a 2 (x x 0 ) , 0 2 x 0 令 y=0 ，则 x=2x 0 2a 2 令 x=0 ，则 y . x 0 S 1 |

35、x | y | 2a 2 . 2 20.解： (1)注意到 y 0,两端取对数，得 2 2x 2 2x+3)+2x, ln y=ln( x 2x+3)+ln e =ln( x 1 y ( x2 2x 3) 2 x2 2x 2 2 2( x2 x 2) y x2 2x 3 2x 3 x 2 2x 3. y 2( x2 x 2) y 2( x2 x 2) (x 2 2x 3) 2 x . x2 2x 3 x2 2x 3 e 2( x2 x 2) e2 x . 两端取对数，得 ln|y|= 1 (ln| x| ln|1 x|), 3 两边解 x 求导，得 1 y 1 (1 1 ) 1 1 , y 3

36、 x 1 x 3 x(1 x) y 1 1 y 1 x 3 . 3 x(1 x) 3x(1 x) 1 x 21.解：设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米 ,则 s=5 25 9 t 2 ,当下端移开 1.4 m 时， t 0= 1 4 7 , 3 15 又 s= 1 1 (25 9t2) 2 ( 92t)=9t 1 , 2 25 9 t 2 所以 s(t0 7 1 =0.875(m/s). )=9 15 25 9 (7)2 15 22.解： (1)当 x=1 时， Sn=12+22+32+ +n2= 1 n(n+1)(2 n+1), 当 x1 时， 1+2x+3x2+ +nxn-1 = 1 (n 1) xn nx n 1 ,两边同 6 (1 x) 2 乘以 x,得 22 n (n 1) x n 1 nx n 2 x+2x +3x + +nx = x 两边对 x 求导，得 (1 x)2 Sn =12+2 2x2+32x2+ +n2xn-1 = 1 x (n 1) 2 x n ( 2n 2 2n 1) x n 1 n 2 x n 2 . (1 x)