沪教版(上海)高二数学第二学期-13.5复数的平方根和立方根-教案

1、复数的平方根和立方根【教学内容】在学习了复数的加、减、乘、除四则运算和乘方运算的基础上，进一步学习复数的开方。课本从复数的开方是乘方的逆运算引入的复数平方根和立方根的定义。 由复数的平方和复数相 等从而得到复数的平方根。由于求复数的立方根需要进一步的复数知识， 所以课本只给出了立 方根的定义和1的立方根的简单的性质。【教学目标】理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用。【教学重难点】复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根 基本性质。【教学过程】(一)情景引入1 .

2、复习复数相等的定义；2 .复习复数乘法和乘方的运算法则。(二)学习新课我们引入虚数的目的之一就是为了解决负数开平方的问题。问题1:请同学们根据前面所学的知识，回答 1,-1的平方根分别是多少？1 .复数的平方根通过同学们的讨论，知道在实数集 R内开方是乘方的逆运算。同样在复数集 C内，如果 a bi ,c di (a,b,c,d R)满足：(a bi)2 c di则称a bi是c di的一个平方根。例题选讲例1、求下列复数的平方根(1)37 24i说明：(1)从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根都有相应的两个复数;(2)复数的平方根一般不要记为 无。变式1、求下列复数的平方根(1) 4i

3、(2) 3 4i解：(1)设a bi (a ,b R)是4i的平方根，则(a bi)2 4i , 22a2 b2 2abi 4i ,由两个复数相等的条件，得:2a2abb2 04，解得:a 2J * J_/ 或b 2a 、2b 友°所以,4i的一个平方根是2 V2i ,另一个平方根是(2)设a bi (a,b R)是3 4i的平方根，则(a bi)2 3 4i ,22_a b 2abi 3 4i ,由两个复数相等的条件，得2a2abb2 34 ，解得:a 2a 2或，b 1b 1所以,4i的一个平方根是2 i ,另一个平方根是说明：设置本例题的目的是加深对平方根求法的理解，也可作为课

4、堂练习用2 .复数的立方根类似地，若复数Zi , Z2满足z3 Z2 ,则称乙是Z2的立方根。求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识。下面我们研究 1的立方根。例题选讲例2、设1胆i ,求证：22（1） , 2 ,1都是1的立方根；（2） 12 0说明：任何一个复数的立方根都对应三个复数，其中一个为实数，另二个共腕虚数。例3、利用1的立方根，求复数64的立方根解：设z为64的立方根，则：z3 64z 1或或2z 4或4或4 2所以64的立方根分别为4或4或4 2说明：本例题是为了配合课本后的练习而设置的，目的是能求比较简单的复数的立方根。 例4、计算下列各式的值解：（1）(2) (13.82i), 13.逆(一 一i)223i)6 2(13i)61 3i)6( 12 223 22i)13.一 一i ；222i）6（2）6（1 百i)6 64。22说明：本例题是为了配合课本后的练习面设置的，目的是加强对1的立方虚根