圆中的最值问题

1、圆中的最值问题【考题展示】题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点 A的坐标为（3 , 0），点B为y轴正半轴上的一点，点 C是第一象限内一点，且 AC=2设tan / BOC=m贝U m的取值范围是题2 （2013年武汉元调）如图，在边长为1的等边 OAB中，以边AB为直径作O D,以O为圆心OA长为半径作O 0, C为半圆弧AB上的一个动点（不与A B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a +b的最大值.（有修改）题3 （2013年武汉四调）如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以 P为圆心，PA长为半径的圆P交射线

2、ABAC于DE两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为题4 （2013年武汉五模）在 ABC中，NA=120。, BC =6 .若 ABC的内切圆半径为 r，贝U r的最大值为.（有修改）AE=DF连接CF交BD于点G,题5 （2013年武汉中考）如图，E, F是正方形 ABCD勺边AD上两个动点，满足连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 2，则线段DH长度的最小值是【典题讲练】类型1 （相关题：题5）1.1如图，边长为a的等边 ABC的顶点A, B分别在 距离的最大值是.x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点 C到原点O的1.2在直角坐标系中, 在正x轴上运动时， 应满足什么条件. ABC满

3、足，/ C=90°, AC=8, BC=6点A, B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始 ,求原点0到点C的距离0C的最大值，并确定此时图形点B随着在正y轴上运动(下图)1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形 上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点(1) 当A在原点时，求点B的坐标；(2) 当0A=0C寸，求原点 0到点B的距离0B(3) 在运动的过程中，求原点 0到点B的距离0B的最大值,ABC / C=90, AC=BC=2 点 A C分别在 x 轴、y 轴 C在y轴正半轴上运动.并说明理由.1.4边长为2的等边 ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动, 到原点0

4、的最大距离为.顶点B在射线0D上移动，/ AOD=45 ,则顶点C，动点P从A点出发沿半圆弧 AB向B点运动(点1.5如图，O 0的直径为4, C为O 0上一个定点，/ ABC=30C作CP的垂线CD交PB的延P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点 长线于D点.(1)在点P的运动过程中，线段 CD长度的取值范围为 ;（2）在点P的运动过程中，线段 AD长度的最大值为1.6如图, 丄AB于点B定长弦CD在以AB为直径的O O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点 C作CP P,若CD=3 AB=8则PM长度的最大值是 .1.7如图，在 Rt A

5、BC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2 M为BD的中点,在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是类型2 （相关题：题4）2.1如图，已知 AB是O O的弦，C是O O上的一个动点，连接 AC BC, / C=60°,O O的半径为2,则 ABC面积的最大值是2.2如图，已知直线MN经过0 0上的点A点B在叫连OB交0 0于C点，且点C是OB的中点，AC护若点P是O O上的一个动点，当 AB/1时， APC的面积的最大值为2.3如图，半圆 0的半径为1, AC丄AB, BD丄AB,且AC=1, BD=3, P是半圆上任意一点，则封闭图

6、形ABDPC面AB=5,则斜边上的高的最大值为2.5如图，若Rt ABC的斜边AB=2内切圆的半径为r，贝U r的最大值为2.6则线段EF长度的最小值是如图，在 ABC中，AB=10, AC=8 BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与 CB, CA分别相交于点 E, F,2.7如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线AB经过点A(- 4, 0)、B(0,4), OO的半径为1 (O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作OO的一条切线 PQQ为切点，则切线长 PQ的最小值为2.8如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(-(1)探究线段EF长度为最小值时，点 D的位置,请画出图形;(2)求出该最小值

7、.备用圍3,- 2) , O A的半径为1, P为x轴上一动点，PQ切O A于类型3 (相关题：题3)3.1 如图， ABC中，/ BAC=60 , / ABC=45 ,AB=V2, D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画O O分别交AB AC于E, F,连接EF.3.2如图，在 ABC中，已知 AB=5 BC=8 AC=7动点P、Q分别在边AB AC上，使 APQ的外接圆与 BC相1,则 Ag+cD=AC BD则四边形ABCDA,过A引互相垂直的弦 PQ RS求PQ+RS取值范围.4.5如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点, 则O O半径的最小值为.以AC BC为边作等边 AC

8、D和等边 BCE O O外接于 CDE类型4 （相关题：题2）4.1如图，点 C在以AB为直径的O O上, CDLAB于P,设AP=a PB=b.（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10,求ab的最大值，并求出此时a, b的值.（参考2.4、2.5 ）4.2如图，半径为2的O O有两条互相垂直的弦 AB和CD其交点E到圆心O的距离为C©4.3如图，O O的半径为2，点P是O O内一点，且OP#，过P作互相垂直的两条弦 面积的最大值为.点P作O O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是类型5 （相关题：题1）5.1如图，已知 A、B两点的坐标分别为（-2 ,

9、 0）、（0, 1） , O C的圆心坐标为（0, -1），半径为1 , D是O C上的一个动点，射线 AD与y轴交于点巳则 ABE面积的最大值是5.2 如图，Rt ABC中，/ C=90°,/ A=30°, AB=4,以AC上的一点 O为圆心 OA为半径作O O,若O O与边 BC始终有交点（包括 B C两点），则线段AO的取值范围是 .5.3如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=6, BC=8 D为AB边上一点，过点 D作CD的垂线交直线 BC于点E, 则线段CE长度的最小值是.5.4在坐标系中，点 A的坐标为(3, 0)，点B是y轴右侧一点，且

10、AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且 CB 丄AB于点B,则tanNACB =m，则m的取值范围是.类型66.1如图，CD是O O的直径，点CD=4时，求：(1) AP +BP的最小值.(2) AP-BP的最大值.AA是半圆上的三等分点， B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当6.2如图，已知圆 O的面积为3 n, AB为直径，弧 AC的度数为80°,弧BD的度数为20°,点P为直径ABB, P(a, b)为O A上的一个动点，请分别探 b - a的最大值；6.3如图，AB CD是半径为5的OO的两条弦，AB=8 CD=6 MN是直径，AB丄MN于点E, C

11、D! MN于点F, P 为EF上的任意一点，贝y PA+ PC的最小值为 .BC=2cm F是弦BC的中点，/ ABC=60 .若动点 E以2cm/s的速度从 A点出发沿着AtB方向运动，设运动时间为t (s),连接EF、CE当t为秒时，CE+EF最小，其最小值是6.5四边形 ABCD内接于圆，已知/ ADC=90 , CD=4, AC=8 AB=BC设0是AC的中点.(1) 设P是AB上的动点，求 OP+PC勺最小值；(2) 设Q, R分别是AB AD上的动点，求 CQR勺周长的最小值.B与O 0相离，OAII 若在O 0上存在点于点A, 0A=5 0A与O O相交于点P, AB与O O相切

12、于点B, BP的延 Q使 QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O 0的半径r的取值范补充练习(与例题类型不完全对应)1.如图，已知直线I 长线交直线I于点C,/ A=30o , BC=6cm点0从A点出发，沿 AB以每秒J5 cm的速度向B点方向运动，当点 0运动了 t秒(t > 0)时，以0点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F 两点，过E作EG1 DE交射线BC于G.(1)若点G在线段BC上，则t的取值范围是(2)若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是3.如图，O M O N的半径分别为 2cm, 4cm,圆心距MN=10cm P为O M上的任意一点，Q为O N

13、上的任意一点, 直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为 a,当P、Q在两圆上任意运动时，tanNa的最大值为.O为矩形ABCD的中心，以 D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一 个动点，连接 AP OP则 AOP面积的最大值为 .,AC=8, BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点 P、 Q,则线段PQ长度的最小值是.6.如图,过A在等腰 Rt ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动(点E不与点A重合)，D、E三点作O 0, OO交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 .7.如图，A B两点的坐标分别为(2 , 0)、(0, 2) , O C的圆心的坐标为(-1 , 0)，半径为1,若D是O C上的 一个动点，线段 DA与y轴交于点£,则 ABE面积的最小值是 .AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边AB上，PQ切O