高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷新人教A版选修4_5

1、第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷（三）（时间：90分钟满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设aiw a2W a3w a, biw aw5w bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和,乱序和的大小关系为（）A.反序和 乱序和顺序和B.反序和=乱序和=顺序和C.反序和w乱序和w顺序和D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2.已知 m2+n2=2, t2+s2=8,则 | mt+ ns| 的最大值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案 B解析（ m2+ n2）（ 12+ s2） >（ mt+ ns）2,. 2（mt+ ns） &l

2、t;2X8= 16,I mt+ ns| <4.当且仅当ms= nt时，等号成立.1 13.已知a, b, c为正数，则（a+b+c）的取小值为（）a十b cA. 1B. 3C. 3D. 4答案 D11斛析（a+b+c） + - a+b c=（屈）2+（加22+2>、a+ b , a=b + 必12= 22= 4,当且仅当a+b= c时取等号.4.设a, b, c为正数，a+b+4c=1,则,+加+2加的最大值是（）A. 5B. 3C. 2 3D.-23答案 B解析 1 = a+ b+ 4c =(#)2+ hjb)2+ (2 m)21cccccc= §( +(班)+(2m)

3、 (1 +1 +1 )一 一 一 21n(qa+qb+2yc)3(#+ bjb-2 2*C)5.函数 f ”)=，r2W3,即当且仅当a=b=4c时等号成立.cos2x+cosx,则f（x）的最大值是（A. 3B. 2C. 1D. 2答案 A解析 由 f (x) = yj 1 cos2 x + cosx, 得 f (x)=也.sin 2x + cos xv 5 2+1 sin2x+cos2x =4.登口当且仅当 cosx=6.设a, b, c均为实数，则a+ b+ c一言2E的最大值为（11A. ¥B.答案 B2221 1解析由(a + 2b + 3c) 1 +-+- >2 3

4、a T + 2b2b -+ >/3c ,2,即(a2 + 2b2+3c2) ?>(a+b+c)2,62a+b+c22 da2+2b2+3c26.a+ b+ca2+ 2b2 + 3c27.已知 a, b, xi,X2C R+, ab= 1,xi + X2= 2,则 M= ( axi + bx2)( bxi + ax2)与 4 的大小关系是（）A. Ml>4B. Mk 4C.阵 4D. MC4答案 C解析(axi + bx2)( bxi + ax2)=k yaxi）2+（，bX2）2 （，bxi）2+（，ax2）2 > ab( xi + X2) 2 = (xi + X2)

5、2= 4.8.已知x+y + z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为(A.条.江部.6 11 1111 11答案 D解析 ,. (2 x2+3y2+z2) 1 . 1 一 ，、2.2+§+ 1 >( x+ y+z) =1,-2x2 + 3y2+z2>-6.11当且仅当 卓=卑=彳时，等号成立./2飞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9 .函数丫=5巾1 +>/10-2x的最大值为 .答案6 .13解析 由柯西不等式，得 y = 5yx - 1 + / 5 x<752+2 ,x1 + 5 x =*727X2= 6V3,当且仅当545Hx =，2

6、 x1 ,127即x=-277-时，等号成立.10 .如图，在矩形 OPACfr, a1 <32, bi<b2,则阴影部分的矩形面积之和 空白部分 的矩形面积之和.解析 由题图可知，阴影部分的面积等于3小1+32b2,而空白部分的面积等于31“+ab,根据顺序和反序和可知，答案为.11 .已知 0vx<1,0 vy<1,则函数 f(x) =Mx2+y2 +/ 1-x 2+ 1-y 2的最小值是答案 2解析由三角不等式，得qx + y2 + ' 1 - x 2+ 1 - y 2Zx x1 2+y y1 2 = V2.当且仅当x=l x, y=ly,即x= 1, y

7、 = 1时，等号成立.故f(x)的最小值为J2. 2212 .设a=(2,1,2) , |b| =6,则a-b的最小值为,此时b=答案18 (4 , 2, 4)解析根据柯西不等式的向量形成，有| a - b| < | a| b| ,I a - b| < yj -2 2+ 12+ 22X 6= 18.当且仅当存在实数 k,使a=kb时，等号成立.a的最小值为一18,此时 b=2a=(4, -2, 4).三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13.设a, b, c是正实数，且, 一 2 2 2a+b+c=9,求-+工+一的取小值.a b c一,2 2 2斛(a+b+o a

8、+b+c=(*)2+(邓)2+(加)2 当且仅当a=b=c= 3时等号成立.2 2 2,口，,a+b+ c的取小值为2.14. (2017 江苏)已知 a, b, c,d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明：ac+ bd< 8.证明由柯西不等式，得(ac+bd)2w( a2+b2)( c2 + d2),因为 a2+b2=4, c2+d2= 16,2所以(ac+ bd) <64,因止匕ac+ bd< 8.15.已知二次三项式 f(x) = ax2+bx+c的所有系数均为正数，且a+b + c=1,求证：对于任何正数 Xi , x2,当 XiX2= 1 时，必有

9、 f (Xi) f (x2) >1.22证明 f (X1)f (X2) =(ax1+bxdc) ( ax2+bx2+c)>a( xiX2)2+b X1X2+c2=f 2( *7x1X2) =f 2(1) = 1.故 f (X1)f (X2) >1.16 .已知 x2+2y2+3z2=18,求 3x+2y+ z 的最小值.解(x2+2y2+ 3z2) 32+ p +1 91 99(3 z+ 2y+ z) 2< (x2+ 2y2+ 3z2)2213+2 + -3=12,3>3x +1J2y ,212 + yj3,3= (3 x+2y +z),2淄W3x+2y+zW2后

10、 当且仅当x2=9y2=81z2,即x一誓 y=-¥,，3x+2y + z的最小值为一2 .3.17 .求三个实数x, y, z,使得它们同时满足下列方程：2x+3y+z= 13,4 x2+ 9y2+z22x +15y+3z=82.解将两个方程相加，得(2x)2+(3y+ 3)2+(z+ 2)2= 108,又第一个方程可变形为2x+(3y + 3) +(z+2) = 18,由及柯西不等式，得(2 x) 2+ (3 y + 3)2 + (z + 2)2 > ；2 x+ (3 y + 3) + (z + 2) 2,3即108>；X 182=108,即柯西不等式中的等号成立. 3所以 2x=3y+3=z + 2 = 6,故 x= 3, y = 1, z = 4.22218.设 x, y, zC R,且f+y5+，1，求 x+