导数计算公式

1、导数公式一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y=尸(x) =c: (2)y=尸(x) =x; (3)y= f(x) =x; (4)y= /(x) =:； (5) y= fx) =x.问题：上述函数的导数是什么？提示: Zky 勺叶x)/x) c-c I x=0, ：.y yI im =0.11中3) ?-142 =泰.3 c j-1=ax2)(x) =1, (GO)，=2xf 件 /V函数(2) (3)均可表示为y=/(aQ)的形式，其导致有何规律?提示：(X) =1尸，(/，=2一:W =(*2)基本初等函数的导数公式原函数导函数尸(x) =c(c为常数)f (x)=0f(x) =

2、xq ( q Q*)f (x)=qxif(x) =sin xf (x) =COS Xf(x) =cos Xf (x) = s i n xf(x) =ax(x) =ax!n af(x) =exf (x) =exf (x) = logaxf (x)x In af(x)=!n xf (x)=- X二、导数运算法则已知 f(x) =x.g(x) W问题1: Hx), g(x)的导数分别是什么？问题2:试求0(x) =*+1，(x) =x1的导致. XX111一 X提示：,片(叶心)+后以一卜+力+布西,J , /. O (x) = hm/=lim 1 J = X x(x+ X)Al。 X Aw0 L

3、x(x+ x)_1 一二.同理 V (X)=1+C. XX问题3: 0(x), (x)的导数与Hx), g(x)的导数有何关系？提示：0(x)的导数等于尸(x),以x)导数的和，“(X)的导数等于五(x), g(x)导数的差.导数运算法则1 . f(x)g(x)y = f (x)土/ a2 .尸(x)g(x), = f (x)g(x) + Hx)，(x)=/（X）鼠 X）一4 X），（x）欧初2(g(x)羊 0)题型一利用导数公式直接求导W 1求下列函数的导数：(1)y=10x; (2)y=lg X； (3) j = log, x ；2(4) y ; (5) y = fsin + cos- -

4、1.22,1解(1)/ =(109, =10ln 10;/ =(lg x)z =r:xln 10/T=-焉：=（蛇 xln -3；(5) V y =4%X xsin -+cos -1 -1 =sin2+2sin|-cos|-+cos2-1 =sin x, (s in x) / =cos x.练习求下列函数的导数:(1)y=尸;七卜；(3)y= lg 5; (4) y=3lg/x; (5) y=2cos2-1.解：/ = (；，=1：)；=一/=一/”; (2)/ =、舄=飞=一1一10： (3)lg5是常数函数，/ =(lg 5)7 =0;.y=3lg/=lgx, / =(lgx)=1看;(5

5、) Vy=2cosz11 =COS X,，=(cos x)，= sin x.题型二 利用导数的运算法则求函数的导数例2求下列函数的导数:xxe, 1(1)y=x3 e”; (2)y=xsin-cos-; (3)y=x + log3x; (4)y=;22e 1(1)，= (%)7 ex+(eOz =3xV+xV=V(3 + x)e:(2) ;y=x-；sin x, yr = x 一；(sin x) =1；cos x./ = (x2 + Iog3x)z = (x) 7 +(log3X) =2x4xn 3,(4)y z(e，+1y (e,1)(e+)(e1)e(e -1)一(e+1)e(ef-2e(

6、ef练习求下列函数的导数:,、 COS X(1)y=;(2) y= xs in x+“；(3) y=:(4) y=g x1_-2-cos X(cos x)， cos x . (x)，-x s i n xcos xxsin x+cos x2X(2)，= (xsin x) + (a/x) z =sin x+xcos x+=.(3)3中%1=产=,” 1-X X 1X 1X4(1x)，4(1x)2 -(1-x)21f 1 I 12(4)，= lg x-2 =(lg x) H z =777+ I x 7x) xr 10 x题型三导致几何意义的应用例3(1)曲线p=-5e+3在点(0, 2)处的切线方程

7、为.在平面直角坐标系x勿中，点P在曲线C:片=M一10*+13上，且在第一象限，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点。的坐标为解析(1)/ =-5e*,.所求曲线的切线斜率=/ |*=o=5/= 一 5,.切线方程为 y-(-2)=-5(x-0),即 5x+y+2 = 0.(2)设点。的坐标为(X。，必)，因为，=3f一 10,所以3必一10 = 2,解 得即=2.又点P在第一象限，所以加=2,又点夕在曲线C上，所以 出=3 10X2 + 13 = 1 ,所以点，的坐标为(2,1) . (1)5x+y+2 = 0 (2,1)练习 若曲线fx) =acos x与曲线g(x) =x?+bx+1

8、在交点(0,而处有 公切线，贝a+ b=.解析：f (x)= asin x, g (x) =2x+6,曲线式(x) =acos x与曲线g(x) = x + bx+1在交点(0,而处有公切线， r(0)=a=g(0)=1,且/(0)=0= (0)=6, a+b=1.答案：11.切线方程的求法典例 已知aR,函数升3=39+3一3a+3,求曲线y=(x) 在点(1, H1)处的切线方程.解 由已知得/(x)=3f6x+3a,故/(1)=3-6+3a=3a-3,且1)=1 -3 + 3a-3a+3 = 1.故所求切线方程为 y-1 = (3a-3) (x- 1),即 3 (a1) xy+43a=0

9、.一、已知斜率，求切线方程.此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点， 进而求出切线方程.例：求与直线x+4y+1=0垂直的曲线(x) =291的切线方程.解：所求切线与直线x+4y+1=0垂直，所以所求切线的斜率=4.设切点坐标为(&,必)，则f(X。)=4m=4,即Xo=1.所以切点坐标为 (1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y 3 = 0.二、已知过曲线上一点，求切线方程.过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该 点在切线上来确定切点，进而求出切线方程.例：求过曲线尸(x)=f-2x上的点(1, 一 1)的切线方程.解:设切

10、点坐标为(&, y0),所以(xo) =3必一2,且必=尸(幻=状一2两所以切线方程为yy0= (3必一2) (x一先)，即 y (xo2xo) = (3xj2) (xxo).因为切线过点(1, -1),故一1 (Xo 2X0)= (3必-2) , (1-Ab)即2芯一3必+1=0,解得Ab=1或&=故所求切线方程为xy2 = 0或5x+4y1 =0.三、已知过曲线外一点，求切线方程.这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切 点，从而求出切线方程.例：已知函数x)=f3x,过点4(0,16)作曲线y=x)的切线，求切 线方程.解：由题意知点4(0, 16)不在曲线x)=M

11、_3x上，设切点坐标为(凡, yo).则f (幻=3必一3,故切线方程为 yy)=3(xo1) (xXo).又点4(0,16)在切线上，所以 1 6(Xo3Ab) =3(Xo 1)(0 Xo),化简得心=一8,解得力=一2,即切点为次一2, -2),故切线方程为9x-y+16=0.课后练习1 .给出下列结论:(cos x) =sin x：11若,则/ =一: xxA. 0B. 1 C. 2D. 3解析:（0V 2x所以错误；=7-=丫=一2尸，所以错误;所以正确.答案：B其中正确的个数是（）2 .函数y=sin x cos x的导数是（）A. y/ =cos2x+sin xB. yf =cos

12、zxsi n xC. y =2cos x s i n xD. y/ =cos x s i n x解析： / = (sin x cos x) =cos x cos x+sin x ( sin x)= cos2%s i n x.3 .若尸(x) = (2x+a)2,且/(2)=20,则解析：x)=4V+4ax+a2, /(x) =8x+4a,，/(2) =16+4a=20, Aa=1.答案：14 .已知曲线v=M+ay+1在点(-1,占+2)处切线的斜率为8,则a=解析：/ =4f+2ax,因为曲线在点（-1, m+2）处切线的斜率为8,所以 yr |x=-i = -42a=8,解得 a=-6.八菜：一65 .求下列函数的导数:1+二X X- 1+cos X(2) y=- /(3)y= (4”-x) (e,+1).1 1A1?解：(1) Vy=x x+-+- =x3+1+-,=3x -5. XX)XX(1 +cos xY ，一(1+cos x)(x2)z xsin x2cos x2(2) y -4=5xx(3)法一：_r=(4*x) (