2015年高考全国卷1理科数学(解析版)资料

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷1至3页，第n卷3至5页。2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设复数z满足巨z=i,则|z|二1-z(A)1(B)J2(C)曲(D)2【答案】A解析1试题分析；由也二i得，y上=(中)；,故。,故选区1-z1+j考点：1.复数的运算；2.复数白模.

2、(2) sin20cos10-con160sin10=(A)(B)彳(C)-2(D)g【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=1,故选D.2考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式(3)设命题P:3nN,n22n,则P为(A)VnN,n22n(B)3n=N,n22n(C)VnN,n202n(D)3nN,n2=2n【答案】C【解析】试题分析：p:vnwN,n2E2n,故选C.考点：特称命题的否定(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.

3、648(B)0.432(C)0.36(D)0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为_223C30.6M0.4+0.6=0.648,故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式2(5)已知M(X0,y。)是双曲线C:y2=l上的一点，Fi、F2是C上的两个焦点，若MF1mf20,则yO的取值范围是(7,也)32 2(C) (3272)3(B) (-g, *(D)(.雪,哈【答案】A析】2h成题分析工由题知片(-J5出(o),等-*=1，所以丽丽(一后一期(后一工口，-，。)1y；1父0，解得一g4/A.考点：向量数量积；双曲线的标准方程(6)九章算术

4、是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【答案】B1解析】试题分析：设圆锥底面半径为j则1*2区分=吕=1=竺，所以米堆的体积为上乂卜3乂(竺广乂5=网，A34339320故堆放的米约为把41.62*22,旅选民1Q考点：圆锥的体积公式(7)设D为RA

5、BC所在平面内一点BC=3CD,则()4A4-A(A)AD=-3令 2k n nx+t=0.01,22是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,m=m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01，是，循环，2执行第3次，S=S-m=0.125,m=m=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01，是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,m=m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01，是，循环，2执行第5次，S=S-m=0.03125，m=m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2执行第6次，S=S-m=0.015625,m=m=0.

6、0078125,n=6,S=0.015625t=0.01，是，循环，2执行第7次，S=S-m=0.0078125,m=m=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01，否,输出n=7,故选C.考点：程序框图(10) (x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为(A)10(B)20(C)30(D)60【答案】C【解析】试题分析：在(x2+x+y)5的5个因式中，2个取因式中X2剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2的系数为C；c3c；=30,故选C.考点：排列组合；二项式定理(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正

7、视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20JI,则r=【答案】B试题分析:由正视图和偏知，该几何体是手球与半个圆柱的组合体，圆柱的半程与球的半径都为：,1圆柱的高为二-其表面和为1一黛4行+mx2r十析+22广=5m+4尸=1$一;二再解得片二方-予B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a；1,若存在唯一的整数xc使得f(x0)0,则a的取值范围是()日IS3!UBH：。aa&aaA.-7，1)b.-7,-)c.7,-)d.7，1)【答案】D【解析】试题分析：设g(x)=ex(2x1),y=axa,由题知存

8、在唯一的整数小,使得g(x0)在直线y=ax_a的下方.11因为gx)=e(2x+1),所以当x-万时，g(x)-5时，g(x)0,1.-1所以当x=时，g(x)max=-2e2,2当x=0时,40,直线y=axa恒过(1,0)斜率且a,故第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f(x)=xln(x+Va+x2)为偶函数，则a=【答案】1t解析】试题分析：由题知y=+4工？)是奇函数，所以1口(工+山+尸)+1口(-兀+&+/)=ln(

9、fl+xa-za)=laa=0,解得叮=1考点：函数的奇偶性22(14)一个圆经过椭圆工+幺=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准164方程为。【答案】(x_3)2y2=2524【解析】试题分析：设圆心为(a,0),则半径为4一|a|,则(4|a|)2=|a|2+22,解得a=,故圆的方程为(x_3)2y2=25.24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程x-1_0(15)若x,y满足约束条件jx-y0,则工的最大值为xy-4_0x【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，义是可行域内一x点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1与原点连线的斜率最大，故卫的x最大

10、值为3.考点：线性规划解法(16)在平面四边形ABCDfr,/A=/B=/C=75,BC=2则AB的取值范围是【答案】屋：6r2,J6+V2)【解析】试题分析：如图所示，延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，/B=/C=75,/E=30,BC=2由正弦定理可得-B=-BE,BP2-=-BEv,解得BE=6+v2,平移AD,当D与Csin-EsinCsin30sin75重合时，AB最短，此时与AB交于F,在ABCF中，/B=/BFC=75,/FCB=30,由正弦定理知,七遇FC,即告=蔡,解得BF5.”,所以AB的取值范围为(0,a：+an=4Sn+3.(I

11、)求an的通项公式：(II)设&:，求数歹I%的前n项和【答案】(I)2n+1(II)1164n6【解析】试题分析：(I)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；(n)根据(I)数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.试题解析：(I)当n=1时，a2+2a=4&+3=4ai+3,因为ana0,所以a1=3,当n22时，a2+ana；anq=4S+34Sn-3=4an,即(an+anG(anan.)=2(an+an4),因为an0,所以an-an-i=2,所以数列an是首项为3,公差为2的等差数列

12、,所以an=2n+1；(H)由(I)知，bn =(2n+1)(2n+3)=2(2n+1 2n+3)，所以数列bn前n项和为.111、11、，2n 1 - 2n 3b1b2bn=o(o一!(-J(23557考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法(18)如图，四边形ABCDfe菱形，/ABC=120,E,F是平面ABCDC一侧的两点，B已平面ABCDDF，平面ABCDBE=2DFAE!EG(1)证明：平面AECL平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】(I)见解析(R)3【解析1试题分析,（1）连接BD,设BDPAC二G,连接EG,EG,EF,在羲形

13、ABCD中，不妨设GB=1易证EG1AC,通过计算可证EG1FG,根据线面垂直判定定理可知KGi平面AFC,由面面垂直判定定理知平面AFCi平面AEC;（口）以G为坐标原点，分别以南，前的方向为二轴，y轴正方向，|无|1为单位长度，建立空间直角坐标系G.利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值试题解析:（I）连接即，设BDAACX,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中，不妨设GB：1,由ZABO120,可得AG=GC=/,由BEJ.平面ABCD,AB-BC可知,AE=EC）又TAE工EC,，EG二技EG1AC,在RtZXEBG中，可得BE=血，故DF二也2在RtAFDG中，可得FG=

14、包.2在直角梯形BDFE中，由BX2,BE=,DF=也可得EF二还.22EG2+FG2=EF2,EG!FG.ACAFG=G.EGL平面AFC.EG面AEG平面AFC1平面AEC.,6分（II）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GG的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz,由（I）可得A（0,v3,0）,E（1,0,2-亚)，F (-1,0,出)，C(0,J3,0),.AE=(1,v3,V2),CF=(-1,2AE*CF故cos:AE,CF|AE|CF|所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 叵.312分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力

15、，推理论证能力（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位:千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 安 4 F 心 。4- Fl Ik u . auu 0 口口 L w 。，6|4呻昌号 也4W3* * 5 4君小 _l 1 nw =- wi8 i 1xywn工(xi-x)2坦nZ(wi-w)2idn(xix)(yiy)imn工(wi-w)(Yi-y)i446.656.36.8289.81.61469108.8表中W1=x1,（I）根据散

16、点图判断，y=a+bx与y=c+dvx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（R）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（m）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（H）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（U,V1）,（出，（Un,Vn）,其回归线V=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：n，(Ui-u)(Vi-v)P=-n,出=v_guv(Ui-u)2i1【答案】(I)y=c+d、I适合作为年销售

17、y关于年宣传费用x的回归方程类型(H)y=100.6+68vx(m)46.24t解析】试题分析:(I)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为抵台的康数；II)令川=6，先求出建立下关于w的线性回归方程，即可y关于工的回归方程；ED(1)利用关于才的回归方程先求出年销售量,的预报值，再根据年利率z与ay的关系为z=0.2y-x即可年利润I的预报值；(ii)根据(II)的结果知，年利润工的预报值，列出关于二的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.俄题解析工(I)由散点图可以判断，,=适合作为年销售7关于年宣传费用x的回心方程类型，2分8_二(年刈6cn)令*=6，先建

18、立关于的线性回归方程，由于/(叫-彳怖,二=-2w=563-68X6,8=100.6.，下关于卬的线性回归方程为y三100.6+68m?,y关于x的回归方程为y=100.6十68JX.,6分(EI)(i)由(II)知，当犬=49时.年销售量，的预报值7=100.6+689=576.6,2=5766x02-4966.32.9分,(H)根据(口)的结果知，年利润z的预报值5:0,2(100.6+6/-x=r+13.6+20,12,二当右二耳二6a即天二4624时，：取得最大值2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分II考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；

19、应用意识(20)(本小题满分12分)2在直角坐标系xoy中，曲线C:y=与直线y=kx+a(a0)交与M,N两点，4(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H)y轴上是否存在点P,使彳3当k变动时，总有/OPM=/OPN?说明理由。【答案】(I)4成-y-a=0或、/Ox+y+a=0(U)存在【解析】试题分析：(I)先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.(II)先作出判定，再利用设而不求思想即将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PMPN的斜率之和用a表示出来，利用直线PMPN的斜率为0,即可求出a,b关系

20、，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：(I)由题设可得M(2v,a,a),N(-22,a),或M(-272,a),N(2点a).1 2.y=1x,故y=x-在x=272a处的到数值为、0,C在(2*；2a,a)处的切线方程24为ya=0),讨论h(x)零点的个数33535【答案】(I)a=-；(n)当aa或a一一时，h(x)由一个零点；当a=-一或a=-一444445 3时，h(x)有两个手点；当a1,x=1,0x1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：(I)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(%)=0,，()=0,即31x；ax0014,解得x0=-3x2a=023因此，当a=一时，x轴是曲线y=f(x)的切线.,5分4(n)当xw(1,)时，g(x)=Inx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,h(x)在(1,+8)无零点.,5一.5当x=1时，右a之一一，则f(1)=a+之0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0，