勾股定理证明方法

1、【证法1】（课本的证明）aba勾股定理的证明aba、b,斜边长为c,再做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等.即a2 b24 ab 二 c24 1ab2 2整理得a2 b2c2【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的ab面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直 线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上Rt HAE 坐 RtA EBF, / AHE

2、= / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o / HEF = 180090o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH 坐 RtA HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o.又 v / GHE = 90o,二 / DHA = 90o+ 90o= 180oABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a + b )2.(a+b2=4tab+c2. a2+b22 【证法3】（赵爽证明）DbG fcC以a、b为直角边

3、（b>a）,以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH 坐 RtA ABE, / HDA = / EAB v / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = ba ,/ HEF = 900.EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于b a2.4 1ab b -a 2 =c22【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、a2 b2 二 c2.的面积等于 直线上.v R

4、t EAD / ADE =v / AED + / AED +DbabEabb为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形 2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使cA、E、B三点在一条坐 RtA CBE, / BEC./ ADE = 900, / BEC = 900.二 / DEC = 180090o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形,1 2它的面积等于2c .又 v / DAE = 900, / EBC = 900, AD / BC.1 (a + b f ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 2、丿111_(a+bj = 2H_ab+_c2 222 . a2+b2

5、=c2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ,斜边长为c.把 它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.-D、E、F在一条直线上，且RtA GEF刍 RtA EBD, / EGF = / BED ,/ / EGF + / GEF = 90° / BEG =180o 90o= 90o.AB = BE = EG = GA = c ,ABEG 是 / ABC + Rt A ABC / EBD + / BED + / GEF = 90°个边长为c的正方形./ CBE = 90o.坐 Rt

6、A EBD, / ABC = / EBD./ CBE = 90o.即 / CBD= 90o.又T / BDE = 90o,Z BCP = 90o, BC = BD = a BDPC是一个边长为a的正方形 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,贝S2 2 1a2 b2 = S 2 ab,22 1 c = S 2 ab2bcccbDa2 b2【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b （b>a），斜边 长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三 点在一条直线上过点Q作QP/ BC,交A

7、C于点P. 过点B作BM丄PQ,垂足为M ;再过点F作FN丄PQ,垂足为N.t / BCA = 90o, QP / BC, / MPC = 90o,t BM 丄 PQ, / BMP = 90o, BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.T / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC ,又T / BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c ,Rt A BMQ 坐 RtA BCA.同理可证RtA QNF幻RtA AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）【证法9】

8、（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形过A作AF丄AC ,AF交GT于F, AF交DT于R过B作BP丄AF，垂足为P.过D作DE与CB的延 长线垂直，垂足为E, DE交AF于HGac1bHP4536bccQ78 R9 c 2v / BAD = 90o,Z PAC = 900,二 / DAH = / BAC. 又T / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c ,二 Rt DHA 坐 RtA BCA DH = BC = a, AH = AC = b 由作

9、法知PBCA是一个矩形，所以 RtAAPB幻Rt BCA. 即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 RtA BCA , RtA DHA 坐 Rt BCA二 Rt DGT 坐 RtA DHA DH = DG = a，/ GDT = / HDA 又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o,DGFH是一个边长为a的正方形二 GF = FH = a TF 丄 AF , TF = GTGF = b a TFPB是一个直角梯形，上底 TF=ba,下底BP= b,

10、高FP=a + （ba） 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c = S1 S2 S3 S4 S5S8S3S4 =b2 -丄 ab2S5 =S92 1S3 + S4 = b 二 ab S8 b2 s s 2 = b -S1 -S8 把代入，得c2S2b2-SgS9 二b2S2S9= b2a2 a2 b2 二c2 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtA ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为BC2 二 BD ABc,过点C作CD丄AB，垂足是D. 在 ADC 禾口 ACB 中，v / ADC = / ACB = 90o, / CAD =

11、/ BAC , ADC s ACB 同理可证, CDB s ACB，从而有AD : AC = AC : AB , 即 AC2 = AD AB 2 2 2AC BC FAD DB AB =AB , 即卩 a2 b2 = c2【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、 CD.过 C 作 CL 丄 DE, 交AB于点M，交DE于点L.v AF = AC , AB = AD , / FAB = / GAD , FAB 坐 GAD ,1 a FAB的面积等于2 GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM的面

12、积二a2.同理可证，矩形 MLEB的面积二b2. v正方形ADEB的面积c2 二a2 b2a2 b2=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别 为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用 数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o, / TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b, Rt HBT 坐 RtA ABE . HT = AE = a.5QRaA GH = GTHT

13、 = ba. 又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o, / GHF = / DBC DB = EB ED = b a, / HGF = / BDC = 90o,Rt HGF 坐 RtA BDC.即 S S2 过Q作QM丄AG，垂足是 M由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtA ABE 幻 Rt QAM 又 RtA HBT 幻 Rt ABE所以 RtA HBT 幻 RtA QAM 即 S厂 S5.由 Rt ABE 坐 RtA QAM，又得 QM

14、 = AE = a，/ AQM = / BAE v / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE , / FQM = / CAR又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a , Rt QMF 坐 RtA ARC.即 S4 = & .2c = SiS2S3S4S5a2 = Si + Se b2 = S3 + S7 十 S8S7 S2S4Se22=c【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a 为半径作圆，交AB及AB的

15、延长线分别于D、E,贝S BD = BE = BC = a因为/ BCA =90o,点C在。B上，所以AC是。B的切线.由切割线定理，得AC2 =AE *ADc （如图）过点A作AD / CB，过点B作BD / CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆根据 多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有22a b = SiSeS3S7S8=SiS4S3S2S5b2AB DC = AD *BC AC *BD , AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 =BC2 +AC2，即 c2 =a2 +b2, a2 b2 = c2.【证法1

16、3】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边AB = c作RtA ABC的内切 切点分别为D、E、F （如图），设。O的半径为rAE = AF，BF = BD，CD = CE，AC BC -AB E.AE CE BD CD - AF BF=ce cd = r + r = 2r,a b -c = 2r ,a b = 2r c.(a +b $ = (2r +c ),a2 b2 2ab = 4 r2 rc c2S.gBC = 2ab2ab =4S.abc ,1SABC - S.AOB ' S.BOC ' S 'AOC12r

17、c c r=2 =4 rrc 匸4S A BC，4 r2 rc = 2ab a2 b2 2ab 二 2ab c2，【证法14】(利用反证法证明) 如图，在RtA ABC中，设直角边 c,过点C作CD丄AB，垂足是D.又1cr2r2 rc1 1 ar br2a2AC、b2 =c2.BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为假设a2 b2=c2，即假设AC2 BC2=AB2，则由AB2 = AB AB 二 AB AD BD = ab *AD AB * BD可知 ac2=abad，或者 bc2=abbd即ad : AC工AC : AB，或者 BD : BC 工BC : AB在厶ADC禾口 ACB中,v

18、/ A = / A,若 AD : AC 工 AC : AB ,/ ADC 工/ ACB 在 CDB 禾口 ACB 中，v / B = / B,若 BD : BC工 BC: AB ,/ CDB 仁 ACB 又 v / ACB = 90o, / ADC 工 90o,Z CDB 工 90o.这与作法CD丄AB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假设不能成立. /. a2 b2 =c2.【证法15】（辛卜松证明）为（a+b$ =a2+b2+2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方2 1 2a b 4 ab c2形ABCD的面积为2= 2ab c2.二 a2 +b2 +2ab =2ab+c22丄-22 a b c .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为 为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状， 上用数字表示面积的编号（如图）在EH = b上截取ED = a,连结DA、 则AD = cv EM = EH + HM = b + a , ED = a , DM = EM