勾股定理16种证明方法

1、勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）ba做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即2 2 1 2 1 a b 4 ab 二 c 4 ab，【证法2】（邹元治证明）整理得以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v Rt HAE 坐 Rt EBF, / AHE =

2、/ BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE,GDaabHbaXZJbv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98. 又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为a + bJ912（a + bf =4 汉一 ab +c 2 .【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,的正方形，它的面积等于以c为斜Ca2

3、- b2(a + b )2边作四个全等的直角三角形，则每个直角 lab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 900.2 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于（b_a）.4 x ab +（b a f =c2 2 . a2 +b2 =c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以

4、c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面abB三点在一条直线上积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、AbE a bv Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形,1 2 c 它的面积等于2./ EBC = 90o,又 v / DAE = 90o, AD/ BC ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于AAA (a+bf = 2汉一 ab+ c2222 a2 +b2 =c2.【证法5】（梅文

5、鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c.把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于 点p八、v D、E、F在一条直线上，且Rt GEF幻Rt EBD, / EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90°, / BEG =18(090o= 90o./ AB = BE = EG = GA = c , ABEG是G个边长为c的正方形.fl / ABC + / CBE = 90o./ Rt ABC 坐 Rt EBD, / ABC = /

6、EBD / EBD + / CBE = 90o.即/ CBD= 90).又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o, BC = BD = a . BDPC是a bH a同理，HPFG是一个边长为 设多边形GHCB的面积为2 1 b -S 2 -ab, 21=S 2 ab2 , a2 +b2 =c2个边长为a的正方形.b的正方形.S,则【证法6】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形， c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形, 直线上.E过点Q作QP/ BC交AC于点P. 过点B作BML PQ垂足为M；再过点 F作FNL PQ垂足为Nv / BCA = 90o ,

7、QP/ BC / MPC = 98 ,v BM 丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是一个矩形，即/ MBC = 9对v / QBM + / MBA = / QBA = 90o ,/ ABC + / MBA = / MBC = 98 , / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o , / BCA = 90o , BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA同理可证Rt QNF坐Rt AEF设它们的两条直角边长分别为Lia、 b (b>a) 使 E、A、，斜边长为 C三点在一条Pb的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C B三点cK从而将问题转化为【证

8、法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、在一条直线上，连结BF CD 过 C作 CL± DE交AB于点M交DE于点L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = / GAD FAB 坐 GAD1av FAB的面积等于2 GAD勺面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM勺面积二a同理可证，矩形MLEE的面积v正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在Rt ABC中，设直角边 点C作CDL AB垂足是D在 ADC和 ACB中,v /

9、ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC ADCs AACBAD： AC = AC : AB,即 AC2 = AD AB.同理可证， CDBs ACB AC2 BC2AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过从而有 BC BDAB2= (AD +DB )AB =AB ，即 a2+b2=c2.a、b （b>a）,斜边长为c.过A作AF丄AC AF交GT 垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为【证法9（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 于F, AF交DT于R.过B作BP!

10、 AF,E, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o,Z BCA = 90o,AD = AB = c , Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt BCA ,Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA.又 v / DGT = 90o,

11、Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b a) 用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为2c Si S2 S3 S4 S5.+ S3+S4 = 1 b + (b-a )】 a+(b-a 9 _ b2-abv 2 = 2 ,S5 - S8 S92 1S3 S4 = bab - Sg2 3428 = b -Si-Sg

12、.把代入，得C2 二 Si S2 b2 -Si -S8 Sg S92=b +S2 P = b2 +a2. a2 b2 二 c2.【证法10】（李锐证明）面积的编号（如图）.v / TBE =/ ABH =90o, / TBH =/ ABE又v / BTH =/ BEA =90o,BT = BE=b , Rt HBT 坐 Rt ABE设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、 b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A E、G三点在一条直线上.用数字表示 HT = AE = a . GH = GT HT = b a. 又 v / GHF + /

13、BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF坐 Rt BDC 即 S7 二 S2.过 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S厂 S5.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90o,Z B

14、AE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a,Rt QMF坐 Rt ARC 即 S4 二 & .c2=S1S2 S3 S4S5b2 = S3S7S8S7二 S2S8 二 S5S4二 S62 2a b = S1S6S3S7S8二5 S4S3S2S52=C ,即 a2 +b2 =c2.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半 径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,贝S BD = B

15、E = BC = a .因为/ BCA = 90o, 点C在。B上，所以ACM© B的切线.由切割线定理，得AC2 =AE *AD在Rt ABC中，设直角边 BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）.过点A作AD/ CB过点B作BD/CA则ACBE为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB *D AD *BC AC *BD ,AB = DC = c , AD = BC = a ,DBaar.AC = BD = b ,AB2 二 BC2 AC2，即 C2 =a2 b2 , a2 +b2 =c2.【证法13】（作直角

16、三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 切点分别为D E、F （如图），设。O的半径为r.v AE = AF , BF = BD, CD = CEAC BCAB 二 AE CE 亠BD CD AF BFr + r = 2r,CE CD =a b -c =2r,a +b =2r +c.a b 2 = 2r c 2a2 b2 2ab = 4 r2 rcS.abc - 2ab2ab = 4S ABC ,又1cr21 -ar 2AB = c.作Rt ABC的内切圆O O,1 br2S.abc = Saob ' S.boc ' S.aoc12

17、r c c r=2 =24 r rc = 4S ABC4 r2 rc 二 2aba2 b2 2ab =2ab c2【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ABC中，设直角边点C作CDL AB垂足是D假设a2 b2=c2 ,即假设 AC2 BC2=AB2,则由AB2 =AB *AB = AB ad bd =AB *AD AB * BD2r rca2 b2 二 c2AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c ,过可知 AC2 式 ABAD,或者 BC2 式 ABBD.即 AD： AO AC AB 或者 BD： BO BC AB在厶ADC和 ACB中 ,v / A = / A,若 AD: A

18、O AC AB,贝S/ AD字/ ACB 在厶CDB和 ACB中 ,v / B = / B,若 BD BO BC AB,则/ CDBZ ACB又 / ACB = 90o, / AD字90o,/ CD字90o.这与作法CDLAB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假设不能成立. a2 +b2 =c2.【证法15】（辛卜松证明）baAoc-aba2b2ab设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 （a+b"a +b +2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，贝卩正方形 ABCD勺面积为2I2(a+b)M=ab+c=2ab + c2.B54ACbabDHVG<Fa23x1z< 7aa2 +b2 +2ab =2ab +c22 2 2a +b =c .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、 b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M三点在一条直线上.用数字表示