2017年离心率及范围专题

1、求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。 离心 率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在 每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求 离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。六种求 解这类问题的通法。一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式 22例1若椭圆二 、1 a b 0上存在一点P,使 0PA 90 ,其中0为 a b原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率 e的取值范围。解：设Px°,y。为椭圆上一点，则22X0y12.21 .a b,所以以OA为直径的圆经过点P,

2、所以0.因为 0PA 9022X0 ax0 y0联立、消去y。并整理得2b / 22、x°(x° a) 2 (ax0) 0a当x° a时，P与A重合，不合题意，舍去。所以x0ab2a2 b2又0x°ab22, 2 a，a b即 a22b 2 a2得 1,即3 e a222又0 e 1,故e的取值范围是,12二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系， 构造关于a,b,c不等式22例2已知双曲线二二 1a 0,b 0左、右焦点分别为Fi、F2,左准线 a2 b22为，P是双曲线左支上一点，并且PFd PF2,由双曲线第二定义得PF e

3、d ,所以PF2 ePFi .由又曲线第一定义得PF2 PF1 2a由-得PFl1普 PF22eae 1在F1PF2中,PF1PF21IF1F2所以即且e 12ae 1e.2eae 12G2c ,又e 1 ,从而解得e的取值范围是1,122三、利用圆锥曲线的“焦三角形” +余弦定理+均值不等式22例3设椭圆x2 41a b 0的两焦点为F1、F2,问当离心率E在什么 a b范围内取值时，椭圆上存在点 P,使FFF2=120° .解：设椭圆的焦距为2c,由椭圆的定义知PF1 PF2 2a.在F1PF2中，由余弦定理得222F1F2PF1|PF22PF1|PF2cos F1PF22211

4、PF1PF2PF1 PF2=(PFiPF2)2 |PFi|PF2所以4a24c2PFi PF2PF1| |PF2所以3a21,故e的取值范围是,12四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造 关于a,b,c 的不等式4 如图1,已知椭圆长轴长为4,以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2X 1上，求椭圆离心率e的取值范围。解:设椭圆的中心为0iA,并延长交y轴于N,则0i A = a2,NAX0.因为y20x01 0,所以X。0iN2X02所以椭圆离心率e的取值范围为02,3五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式222 . 55 ，例5如图2,已知椭圆 冬与 1 a

5、b 0的两焦点为F1、F2,斜率为K a b的直线 过右焦点F2,与椭圆交于A、B,与Y轴交于C, B为CE的中点，若k求椭圆离心率e的取值范围。解：设F2（C,0）,直线：yk x c ,则 c 0, ck ,B(,5）,代入椭圆方程得22c4a2c2k24b2又b22c2,所以f”4a2c2k24(a2 c2)1'所以14e2k214(1 e2)，解得k22e4 5e 4因为k2,55所以k25e24-2 e所以号六、利用圆锥曲线参数方程设点, 的不等式结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c2 y b20上存在一点P,使 0PA 90 ,其中O为原点，A为椭圆的右顶点,求椭圆离心率 e的取值范围。解：设 P ( a cos ,bsin),由 0PA 90 ,用 bsin bsin车于1,acosacos a即（a222b )cos22a cos b 0解得cos1 或 cosb2a2 b2当cos1时，P与A重合，不合题意，舍去因此要使有解，需 12b 2 1,a2 b即J_c! i,解得，叵.ca 2又0 e 1,故e的取值范围是四,12总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲