2018二次函数压轴题题型归纳2

1、2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：AB=RyA-yBf+(Xa-Xbf2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：''Xa'Xb,yA*yB、i222J直线y=k1x+b1(k1=0)与y=k2x+b2(k2=0)的位置关系：(1)两直线平行uki=k2且bi于b(2)两直线相交=ki#k2(3)两直线重合uk1=k2且b1=b2(4)两直线垂直uk1k2=-1 、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；

2、若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程x22(m+1K+m2=0有两个整数根，m<5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例：若抛物线y=mx2+(3m+1X+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m为实数)，求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当m=0时，x=1;当m=0时，A=(m3f20,x=3m3,xl2©、X2=1;2mm综上所述：无论m为何值，方程总有

3、一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y=x2-mx+m-2(m是常数)，求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个周定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2+2=m(1-x)；V-Y2+2=0，y=1dX2°,解得：3V.抛物线总经过一个固定的点(1,1)。J-x=0、x=1(题目要求等价于：关于m的方程y-x2+2=m(1-x)不论m为何值，方程包成立)小结：关于x的方程ax=b有无数解u*a=0''b=07、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图，直线li、12,点A在12上，分别在li、12上确定两

4、点M、N,使得AM+MN之和最小。(2)如图，直线li、12相交，两个固定点A、B,分别在li、12上确定两点M、N,使得BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图，&pa=1/2-PMAx=1/2ANAy9、函数的交点问题：二次函数(y=ax2+bx+c)与一次函数(y7=QY2-kKv-k。(1)解方程组ya'"C可求出两个图象交点的坐标。、y=kx+h.、22.c.(2)解万程组=ax+bx+c即ax2+(bkx+ch=0,通过可判断两个图象的父点的个数y=kx+h有两个交点二A>0仅有

5、一个交点=A=0没有交点=A<010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行肩关的图形平移11/12uk1k2、k=yyx1-x2平行四边形矩形梯形跟直角肩关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等L.2.-2abyB)+(xa-xb)直角三角形直角梯形矩形跟线段肩关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。ab=J

6、。-yBf+(xa-xbf等腰二龟形全等等腰梯形跟角有美的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一基础构图：y=x2-2x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大1在对称轴上找一点P,使得PB+PC勺和最小，求出P点坐标2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点P,使4ACP是以AC为直角边的直角三角形.4P坐标讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得&ACP为等腰三角形，求出讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上,且以

7、B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点，顶点为D。交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与ABC勺面积(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M使MBO以/BCMfe直角的直角三角形，若存在,求出点P的坐标。若没有，请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与AB重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时EJ在(5)的情况下直线BC与抛

8、物线的对称轴交于点A当E点运动到什么位置时，以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？v(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？例2考点:关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1,0)、(0,-、氐)，点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过ABC三点，且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为mi试用含m的代数式表示线段(3)求PBC0积的最大值，并求此时点P的坐标.例3考点:讨论等腰如图，已知抛物线y

9、=lx2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于AB,点A的坐标为(2,0),2点C的坐标为(0,1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DELx轴于点D,连结DQ当DCE勺面积最大时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACF%等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，备用图说明理由.ly例4考点:讨论直角三角如图，已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得4AB西直角三角形，则满足这样条件的点P共有(A)2个(B)4个(C)6个(D)7个已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=1x222+b

10、x+c的图象与一次函数y=3x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标2为(1,0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC勺面积S;点P,若不存在，请说明理由.(3)在x轴上是否存在点P,使得PBCg以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的9例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线丫=2乂2+x+c(aw0)与x轴交于点A(2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABD外等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M抛物线上

11、有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、MP、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由.综合练习:1、平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2_4ax+4a+c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC抛物线白顶点为D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足/AP艮/ACB求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于/AQB勺平分线的对称点为A,若QAQB=V2,求点Q的坐标和此时QAA'的面积。2、标平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+2ax+c的图像与y轴交于

12、点C(0,3),与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0)。(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OMf巴四边形ACD的成面积为1:2的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。3nM,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2一2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且m对称轴与x轴交于点Co(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示)；(2)D为OB中点，直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点M在直线OB上，

13、且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、口知关于x的方程(1m)x2+(4-m)x+3=0。(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若正整数m满足8-2m>2,设二次函数y=(1-m)x2+(4-m)x+3的图象与x轴交于AB两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。65如图，抛物线y=ax2+2ax+c(a*0)与y轴交于点C(0,

14、4),与x轴交于点A(-4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEIAC交BC于点E,连接CQ当CEQ勺面积最大时，求点Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直线l,使OD既等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说.明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y=x2+(mi-1)x+mt-2的图象与x轴相交于A(x1，0),B(x2,0)两点，且xi<x2.(1)若x1x2<0,且m为正整数，求该二

15、次函数的表达式；(2)若xy1,x2>1,求m的取值范围；(3)是否存在实数m,使彳导过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)若过点D(0,：)的直线与(1)中的二次函数图象相交于MN两点，且"DN=,求该23直线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y=x2-2(m+1)x+m2=0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m&

16、lt;5,则整数m的值为例2.已知二次函数y=x22m肝4m-8.(1)当x02时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)以抛物线y=x22mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AAMN(M,N两点在抛物线上)，请问：AAMN勺面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若抛物线y=x22mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.1yx10题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线y=x2+bx+c(其中b>0,cw0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(mn),

17、且AB=2.(1)求mb的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且B(=J20。求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)例1.已知：二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<X2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.(1)求实数m的取值范围；(2)如果(xi+1)(x2+1)=8,求二次函数的解析式；(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、B,顶点为点C1,且ABCi是等边三角形，求平移后所得图象的函

18、数解析式.综合提升1,已知二次函数的图象与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,4),且|AB=25,图象的对称轴为x=1.(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围.22 .已知二次函数y=x+mx2.(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB加，求m的值;(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点MN,且&MNC=27,求m的值.3 .已知关于x的一元二次方程x22(k+1)x+k2=0有两个整数根，k<5且k为整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时

19、，将关于x的二次函数y=x22(k+1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3)根据直线y=x+b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.4 .已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为mi(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线y=x+1所得线段的长为22,求m的值.四、中考二次函数定值问题1 .如图，已知二次函数Li：y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L2：y=kx2-4kx+3k(kw0).写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.2 .如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,l)三点，过坐标原点。的直线y=kx与抛物线交于MN两点.分别过