2010年普通高等学校招生全国统一考试

1、(D) 12(A)(B)(C)(D)4, 8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法总数为2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第I卷选择题（共40 分）本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的 4个选项中，选出符合 题目要求的一项。1，集合 P Z|O_xR|x2 _9?，则 Pl M =(D) <x|0Ex乞3：(A)1,2?( B)0,1,2：2,在等比数列曲中,a =1，公比 q H1.若 am =印8204兔，贝U m =（A） 9（ B） 10（C） 113, 一个长方体去掉一个小长方体，所得集 合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如

2、 右图所示，则该几何体的俯视图为(A) a8a2( b) a8c2( c) a8a25,极坐标方程（'-1）L -二）=0（ ' -0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C） 一个圆和一条射线（D） 条直线和一条射线6, a,b为非零向量，“ a_b”是“函数f(x)=(xab)(xb_a)为一次函数”的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件7,设不等式组x y 一11 _03x y - 3亠0表示的平面区域为5x _3y 9 _0D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，贝U a的取值范围是(A) (1,3(B)

3、2,3 1(C) (1,2(D) 3,：)8,如图，正方体ABCDABGDt的棱长 为2，动点E, F在棱AB上，动点P, Q 分别在棱 AD,CD 上,若E F1 1 A= E , x= D , Qx=y,zy大于零)，则四面体 PEFQ的体积(A) 与x, y,z都有关(B) 与x有关，与y, z无关(C) 与y有关，与x, z无关(D) 与z有关，与x, y无关第II卷(共110分)填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分。9,在复平面内，复数2对应的点的坐标为1 -i10,在 MBC 中，若 b =1,c =爲,NC =竺，贝y a =311,从某小学随机抽取100名同学，将 他们

4、的身高(单位：厘米)数据绘制成 频率分布直方图(如图)，由图中数据 可知a =.若要从身高在120,130),130,140),140,150)三 组内的 学生中，用分层抽样的方法选取 18人 参加一项活动，则从身高在140,150内 的学生中选取的人数应为 .Q.Q2Q “"0,0100,005100110120133 1JO 150 身高12 ,如图，L O的弦ED, CB的延长线交于点A ,若13，已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆BD 丄 AE A 圧 4, BC2, AD 3 , 贝 DE =;2 225的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为一一渐近线方程为14,如图放置的边长

5、为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x, y)的轨迹方程是y = f(x)，则函数f (x)的最 小正周期为 ； y = f (x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明：“正方形 PABC沿x轴滚动”包括沿 x轴正方向 和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶 点A为中心顺时针旋转，当顶点 B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续 类似地，正方形 PABC沿x轴负方向滚动三、解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。15，(本小题共13分)已知函数 f(x) =2cos2x sin2x -4cosx,(I) 求f ()

6、的值；3(II) 求f (x)的最大值和最小值.16，(本小题共14分) 如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，CE _ AC , EF / AC , AB = . 2,CE =EF =1(I) 求证：AF /平面BDE ;(II) 求证：CF 平面BDE ;(III) 求二面角A-BE-D的大小.17,(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为-，第二、5第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6ab24125125(I) 求该生至

7、少有1门课程取得优秀成绩的概率;(II) 求p,q的值；(III)求数学期望E .18,(本小题共13分)k 2已知函数 f(x)=ln(1 x) - x x(k_O).2(I) 当k =2，求曲线y二f(x)在点(1,f (1)处的切线方程;(II) 求f (x)的单调区间.19，(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与1BP的斜率之积等于 -丄.3(I) 求动点P的轨迹方程；(II) 设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得:PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.20，

8、(本小题共13分)已 知集合 0 =x | X =(X1,X2,.,Xn ) x o,1,i =1,2,., n( nX2).对 于A=( 1a 2an). a 右 B1,20 b=定义bA与 BS勺,差为:A - B =a1 -b1 , a2- b2,., an-bn|；nA与B之间的距离为d(A,B)=迟怙bi .(I)证明：-A,B,C Sn，有 A-B Sn，且 d(A-C,B -C)=d(A, B)；(II)证明：-A,B,C Sn , d(A,B),d(A,C),d(B, C)三个数中至少有一个是偶数;(III) 设PSn , P中有m(m_2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均

9、值为d(P).证明:d(P) <mn2(m 1)参考答案本答案解析来自学而思高考研究中心邓杨老师。一，选择题1，B 解析：PQ1,2, M - 1-3,3，因此 PM =0,1,22, C.2341010解析：a = a1a2a3a4a = q q q q =q = a1q ，因此有 m=113, C.解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。4, A .解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A8种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有5, C.解析：原方程等价于：=1或'二二，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。6, B

10、.解析：f (x) =(xa +b)L(xb a) =(a b)x? +(/ a)xa b，如 a 丄b，则有 a，b=0，如果同时有b = a，则函数恒为 0,不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，则a b ，因此可得a - b，故该条件必要。7, A .解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域d的图象，联系指数函数 y = a的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点( 2,9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大 于1,图象必然经过区域内的点。8, D .解析：这道题目延续了北京高考近年8, 14, 20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以1分析出，EFQ的面积永远

11、不变，为面ABCD面积的，而当P点变化时，它到面ABCD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。二、填空题9, ( -1, 1).10, 1。si n B =Sin C b =-y.1 =-B=Z,A= = Ba=b=1解析：c,32，因此 66 ，故。11, 0.030,3a =0.030解析：由所有小矩形面积为1不难得到，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。2/712, 5，AB AC =AD AEAE=8,DE =5 BD 丄 AE 故解析：首先由割线定理不难知道，于是，又，故BE为直径，因此 C =90，由勾股定理可知CE

12、?二AE? AC? =28，故CE=：2 713，-4,0，八 - 3xc解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为 牛，又双曲线离心率为2，即r2c4故 a = 2,b = 2bl，渐近线为y xa14,解析：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次 A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1 ,因此该函数的周期为 4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴1上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以 BP为半径，旋转90°,然后以C为圆心

13、，再旋转 90°,这时候以 CP为半径，因此最终构成图象如下：因此不难算出这块的面积为三、解答题152 二.2,3小 9f()=2cos Sin 4cos= -12 =333344(2)2 2f(x) =2(2cos x-1) (1-cos x) -4cosx2=3cos x-4cosx-1= 3(cosx-2)2 -?,x R33因为cosx丨-1,1】,所以当COSX - -1时，f (x)取最大值6；当COSX二2时，取3最小值16证明：1AG= AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF / EG。2因为EG二P平面BDE ,AF匚平面BDE，所以AF /平面 BDE

14、。(II )因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， 且CE丄AC，所以CE丄AC，所以CE丄平面 ABCD(I)设AC与BD交于点G,因为EF / AG，且EF=1 ,为原点,建立空间直角坐标系 C-xyz。则2 , 0), D ( -、2 , 0,0)2, 1)。所以 CF=(二!2 2。如图,以0)0,1)0,子，1 )，(0, ,2 , 1), DE =( w'2 , 0,1)。所以 CF BE=0-1+1=0，CF -DE = 1 + 0 +1 = 0。所以 CF丄BE , CF丄DE，所以CF丄平面 BDE(III )由(II)知,CF=(空,21)，是平面

15、BDE的一个法向量，设平面 ABE的n -BE =0。法向量 n = (x,y,z)，则 n BA=O,即(x, y, z) (.2,0,0) =0(x,y,z) (0,2,1) =0所以 x=0 ,且 z= '、2 y。令 y=1，则 w 2。所以 n= ( 0,1八 2 )，从而 cos ( n , CF )=2HT因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角 A-BE-D为617解：事件A，表示该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知4P(AJ 二，P(A) =p,P(A3)=q.5(I)由于事件 该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ =0”是对立的，所以该生至少

16、6125p( =3)= P(AA)二24125有一门课程取得优秀成绩的概率是61191 _p( =0)=1125125(II)由题意可知，P( =0)= P(AA；A；)(1-p)(1 -q)53 2整理得pq= ,q = 。55(III )由题意知，a =P( =1) = P(AA2A3) P(A1a2a3) P(AA2a3)4 11(1 p)(1 q) ：p(1q)匚(1 p)q5 5537125.b =P( =2) =1 _P=0) _P( =1)_P( =3)_ 58125.E =0 P( =0)1 P( =1) 2 P( =2) 3 P( =3)=95.18 2 1解：(I)当 k

17、=2时，f(x) =1 n(1 x) -x x , f '(x)12x.1 +x3由于f(1)=ln(2), f'(1),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为23y=ln 2 (x -1)。即 3x -2y 2ln 2 -3=0(II)(xJxJx.(_1,；).当 k=0时，f'（x）.1 +x因此在区间（-1,0）上，f'（x） .0 ；在区间（0, ：）上,所以f（x）的单调递增区间为（-1,0），单调递减区间为当 0 :k : 1 时，f '（x） = x（kx_=0，得 x0,x21 x 1 _k因此，在区间 -1,0和（口kf

18、'(x) <0 ；(0,：)；1 -k c 0;k1 _ k，:：)上，f '(x)0 ；在区间(0, 口)上,kf '(x) :：: 0 ；1 _k即函数f（x）的单调递增区间为-1,0和（耳，二），单调递减区间为（°耳）；k2x当k=时，f'（x）=忑.f（x）的递增区间为（h范）当 k>1 时 由 f'（x）=x（kx+k-“ =0为=0,X2=Uw（_1,0）；当得k1 _k因此，在区间（-1,）和（0,；）上，f'（x） 0，在区间（kki,0)上,f'(x) ：0 ;即函数 f （x）的单调递增区间为和（

19、0, ：），单调递减区间为（宁0）。k19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得 B点坐标为（1 , -1）。j .y 1 I y +1y 1设p点坐标为x,y，则kAP二d,kBP二R，由题意得 匚2 2化简得：x 3y 二4"*1）。22即P点轨迹为：x 3y =4,(x7)(2)因/APB =NMPN 可得 sin /APB =sin NMPN又 S.Apb1 1PA PBsin APB,Smpn PM PN sin MPN若 S APBI I,I pa IpnISn，则有 IPAPBPMllPN，即気二舄xo13 Xo设p点坐标为（xoy。），则有:3x0| jx故

20、存在点P使得 PAB与PMN的面积相等，此时解得：&=3，又因 £ 3y2=4，解得 y° = 一9?。20,【分析】：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于Sn的，其实Sn中的元素就是一个 n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是 0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是 看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。第一问

21、，因为每个数位上都是 0或者1,取差的绝对值仍然是 0或者1,符合$的要求。 然后是减去C的数位，不管减去的是 0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因 此不影响他们原先的差。第二问，先比较 A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个)，然后比较 A和C 有几个不同，这两者重复的(就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上 B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次)，剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：h =k 7 -2i，从而三者不可能同为奇数。第三问，首先理解p中会出现Cm个距离，所以平均距离就是距离总和再除以Cm，而距 离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一m°个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来Um-tj)岂壬，一切就水到渠成了。此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。解：(1)设 = (a1,a2,.,an),= (b1,b2 ,.,bn),= (C1,C2,.,Cn Sn因 ai,b0,1，故 a b|w0,1, (i=1,2,n)即 A - B =印-D , a2 巾