动态系统建模理论与应用习题工科

1、动态系统建模理论与应用课程习题选择题：答案唯一，在（）内填入正确答案的编号。1. 对于批量最小二乘格式Yl =Ql& + El，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）°T1 TA.输入序列山为“持续激励”信号B.El与（ll）l正交C. El为非白噪声向量D.eElH013 / 112. 对象模型为 yk = ;：Tek时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为（ ）°a.彳b.卞二yk-订彳C.；k =yk -订彳D.3.在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵Kk可以写成（）°A.B.RkC. PkJkD.Pkk4. 可以同时得到对象参数和干扰噪

2、声模型参数的估计算法是（）°A.辅助变量法B.广义最小二乘法C.最小二乘限定记忆法D.相关最小二乘两步法5. 增广最小二乘估计的关键是（）°A.将控制项增广进；中，并用残差项取代进行估计B.将输出项增广进匚中，并用残差项取代进行估计C.将噪声项增广进匚中，并用残差项取代进行估计D.将噪声项增广进中，并用输出项取代进行估计答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C判断题：以O表示正确或x表示错误°1估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。()2最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。()3广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法

3、交替试用。()4在递推最小二乘算法中，若置R二P二PT 0 ,则该算法也能克服“数据饱和”现象，进而可适用于时变系统。()5用神经网络对 SISO非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的 三层前馈神经元网络结构。()答案：1. X 2. O 3. X 4. O 5. X三、设y和xX2,Xn之间满足关系 y二exp(aiXi a2X2_anXn)，试图利用y和xx2,Xn的观测值来估计参数 a,a2,an，请将该模型化成最小二乘格式。答案：z=ln(y) =a1x1 a2x2 -anxn = T其中，J 二 bi,a2,，aT = Xi,X2,，x四、对于多输入单输出(MISO系

4、统可由下面的模型描述A(z')yk = B(z)Uk ek其中，uk为系统的mx 1维输入向量；yk为系统的标量输出；ek为标量i.i.d 随机噪1 1 1声；z为延迟算子，即z yk=yk4 ; A(z )为标量参数多项式， B(z )为1 x m的 参数多项式向量：A(zJ) =1.anaz屯B(z') =B° B1Z .Bnbz"b请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。答案：根据题意，可写出最小二乘格式为：yk 二戸 ek其中，叫=L yk4,yk,一丫|斗"二小1,k=1,2,丄，则有批量最小二珂6屜川,ana；B0,B1）|,Bn

5、b因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为乘格式为：7 1(9Tey23，L =，El =e2V 一1 1®T 一1 1eL 一Yl 二其中,Yl - El从而，批量最小二乘估计公式为:递推最小二乘估计公式为:pk Jk"riPTT，"PJktpk1 YPkJk初始估计：三=0 , p0二2I ,2是一个充分大的正数。计算流程为：(0)给定纟，p°,k=o；(1)量测yk 1，组成订1;(2)计算Kk1 ；(3)计算彳1;(4)输出估计结果，并由误差限或数据长度L来确定是否停止估计。若条件满足,则停止估计；否则，继续进行。(5)计算Pk 1;(6

6、)k 二 k 1，返回到(1 )。五、对于siso系统的数学模型Vk为干扰噪声，A(z')和B(z4)为参数多A(z)yk =B(z4)Uk4 Vk其中，Uk和yk分别为系统的输入输出量,项式：A(z4) =1 aaz 叫B(z4) =bo biz，且na 5b， z，为延迟算子，即z'yk =yki 对于量测Uk、yk , k =1,2，N，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公式。2 .给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。答案:3. 简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。1 由题意可知，采用 L次测量的批量最小二乘格式可写为:YN =N 71' VN其中，= -

7、ykyk_2，il|yka；Uk,Uk_2，|UkbT-a1,a2JH,ana；bo,b1 川丨，bKI_vi1Y N =y2，N =©T 十23，Vn =V2S-Yn 一11 VN 一因此，最小二乘批量算法公式为：（兀5）七：4百2 证明：E® = eMNGnLgNYn L E（GA：-N）r-Nc：2 Vn）1= E） eKn）4NVn）当“心你）和叮4Vn不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，Vk为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。此时，E（角二E（“。3 辨识动态系统数学模型的一般步骤为：Stepi:确定建模目的，并由工艺和物理/化学过程初步确定模型

8、形式和结构；Step2:试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式（离线/在线）等；Step3:实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理；Step4:模型结构假设，选定阶次范围；Step5:选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型；Step6:模型结构的确定，得到一个数学模型；Step7:模型检验；根据检验结果，可能要从Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8:若模型检验合格，则得到最终模型。六、某系统的动态模型为 yk = ayk1 buk1 - ek，假设：系统是稳定的，且泊k 和都为零均值广义平稳随机序列。采用辅助变量法进行参数估计，进

9、行L次量测，且L充分大,试证明：_Uo U1+b+rZl = UkA Uk+b+rLA Ul j是一个合适的辅助变量矩阵。答案：证明：辅助变量法的计算公式为无-(zL-lzLYl =(Lzt<)j1ztyl根据题义有Z【Yl =Io_UiIIIIIIUkAUkininUlUl-'YoUo LL"I+4+44工ya瓦uaykUk4=LL+444工yME uiui_1iT一-1Ul_1_IIIIIIUkUkIIIIIIy/lUL4ULYkJ|送 YiUi_iimLyUiy 一当对象的输入输出序列都是具有遍历性的平稳随机序列时，则输入信号的自相 关函数和输入输出的互相关函数为

10、1 LRu l =Lim5-iUk八L心1 LRuy I 二计Uk-i Yk八 L k=t因Vk、Uk和yk均为是零均值广义平稳随机序列，所以,1曲可0)L L LRyu(1)Ruu(O) 1FUT)Lmp| 农二 lim pflRyu (0)収RyuRuu(0)J Ryu(-1)1Ruu(“)Ruu(-叭Ryu(°)Ryu(1)1 RJu(-1)Ryu(-1RJu(0)Ryu (0)-Ryu RyuG1)+R：u(0)一式中，l 二 Ryu(0)Ruu( 1) - Ryu(1)Ruu(0)又相关函数Ryu(-1) = E yM-i I - aRyu(0) bRuu (0)Ryu (

11、0) = EykUk 1 = aRyu ( _1) bRju ( _1)可得1 Ruu(-1) aRyu(0) bFU0)A -Ryu (1) aRyu (0)+bRu(0)a?Nmpk-R.u(0) aRyu(-1)十bRuu(-1)?1 + “(0)二(-1)+bRu(-1)_ b?由此可知，Zn矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。七、在递推最小二乘估计中，新息的表达式为k,k4 = yk -护：%。1. 请写出残差的表达式2. 证明:k,k(iPJk)答案：1. 和=yk - 池2. 证明：k,k = yk 一 *2 = yk 一 ' k C?k4 ' Kk (yk 一-Yk,

12、k 4 _ ' k K k Yk,k J yk,k4 (1 一 ' k Kk ) = k,k4(1 一订 PkJ：/(1 7P：k) 讥,(1 VPk/k)八、请证明：在递推最小二乘估计中Kk =Pk k。证明：在递推最小二乘估计中Kk =PkjkAk JkPk = Pk JPkl ；i Pk1S訊八Pk k = PkJ k -FLJTRJkTPJk二 Pol -pjki :p.a=Kk九、在数据预处理环节，去除数据中的一价趋势项。设系统输出的测量值为：yk；k =1,2,., L?,其一价趋势项可用式 yk=ho gk表示。试用最小二乘法确定 ho和hi。解:令，yk=h&#

13、176;+hk=俨日，其中，沪=1 k,=h° hi对于k =1,2,., L，将上式写成批量最小二乘格式Yl，其中Yly2应用LS法kW:;<y.所以k =1klL(L 1)/2L(L 1)/2LZ k2k珀1)/2L(L 1)/2L(L 1)(2L 1)/61(L +1)(2L +1)/6L(L 1)(L 1)/12 _-(L 1)/2-(L 1)/21yL瓦kykk 3十、1L(L 1)(L -1)/12(L 1)(2L 1)/6-(L 1)/2-LZykk-1Lzkyk-k二1LL2(2L 1)、yk -6、kykh0匸L(L -1)LL12、ky6(L 1)、ykk

14、4k 4L(L -1)(L 1)则去除数据中的一价趋势项的操作:考虑一个SISo闭环系统 如图所示，其中ek为白噪声扰动序列，过程参数多项式yk = yk yk = yk h?k, k = 1,2，LUk和yk分别为前向通道过程输入和输出量,A（z）、B（z）、C（z）和已知的调节器参数多项式P（z）、Q（z）分别表示为：A（zJ） =1 az' .anaZaB（z'）.bnbzb , ribC（z'） =1 C1Z.CncZ几,nc - 1 P（zJ =1 P” .PnpZ。11-nqQ（z ）71Zqz试证明：过程参数多项式可辨识的条件是使调节器参数多项式的阶次满足

15、答案:证明：由题义可知过程对象的数学模型为A(zA)yz-B(z-)Uk C(zJ)ek由Wk到y k的闭环系统方程为A(z)P(z)zB(z)Q(z)lyk 二 zP(z)B(z)Wk令T(zJ A(zJ)P(zJ) zJB(zJ)Q(zJ1 応二gz 亠(9-1)1d111_nS(z )=Z P(z )B(Z )=So+S1Z +SnsZ s显然有，nt= maxnanp,nbnqd nt二 nbnq则闭环系统方程可以写为T(zM =S(zd)Wk亦可进一步写成最小二乘格式yk 二其中，订-1丫2 -yk_nt; Wk WkJ = t1 tnt； So Sns 1采用相应的最小二乘类型参数

16、估计算法，可以估计得到应估计的主要的过程参数多项式A(z4)、B(zJ)的参数个数为I = na nb 1，需要根据已知的调节 器参数多项式P(z4)、Q(z')，用估计得到的 接，从方程(9-1 )中解出。方程(9-1 )两边z，同次幕系数比较即可得到线性方程组，从而解出过程参数的估计值A(z')和E?(z4)，有唯一解的必要条件为：nt = max ha np, nb nq d 丨_ na nb 1其等价条件为np - nb 1或nq _ na 1 - d，命题得证。考虑一个SISo闭环系统如图所示,其中uk和yk分别为前向通道被控对象的输入和输出量，ek为白噪声扰动序列。

17、试讨论以下两种情况的被控对象模型参数的可辨识性和辨识结果。1 控制器为：F（z）=fo 一以二,fo =0, f1 =02 .控制器为：Fo（z'） =fo和F1（z）=：f1两个控制器切换，fo=仏=0答案：被控对象的结构参数：na1 - F（z）二一f。fiz时,山二- f°yk - fi yk-i,nq -1, np = 0nq 十 na 1 -d二 该闭环系统可以辨识。闭环系统方程为：yk =耳 yk 4 - a2 yk J2 - bo foyk 2 - bo £ yk ； ek GQ 二kek其中，：k =-yk,-ykq, -y2,ekj 丨-»

18、;1, -：2 f3 f 4 丨，-J = a（,'社 2 = bo fo a2, '5 = bo f1，-J = G根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：从而可以解出前向通道被控系统参数的估计值为：玄以逐二喝-i?fo =电-函f。/ £,!?,=叫/皿予2. 由于是两个不同的控制器切换，故存在闭环系统可辨识性。（1） uk - - foyk时，闭环系统方程为：yk 二aVki a2ykbof°yk匸 ek gq 二 3 ek其中，_ I _yk J，_ yk _2，ek J 1二=bi, -；2，1， -：M = a(,"2 = b> f。 a?,'S = G根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得:(? = L?