两次植树的比较与思考

1、两次“植树”的比较与思考张 卫 星2015 年 9 月，我参加浙江省信息技术应用提升工程培训，选择的项目是“小学数学交互式教学的初级水平”。11 月底，培训进入教学实践环节。根据要求，我校至少有一位数学教师要拍摄40 分钟的教学视频， 其余教师只要拍摄 15 分钟就可以了。由于我调到白塔二小担任分管教学的副校长不足三个月，为了营造教研氛围，我决定承担40 分钟教学视频拍摄这一任务。 选什么内容呢？我思索了好几天，最后确定执教人教版数学五年级上册的“植树问题”第一课时。一、汲取营养“植树问题”并不陌生，我在 2008 年 11 月就上过这一节课， 并在 2008 年 12 月台州市小学教科室主任

2、实务培训中作了题为 “简约充实与数学建模的完美整合” 的专题讲座。 在此基础上撰写的 “植树问题”教学设计与说明在教学与管理上发表；撰写的小步子推进：数学建模的有效策略在教学月刊上发表，后被中国人民大学主办的小学各科教与学杂志全文转载。可以说， 2008 年的那次教学比较成功。 当年最让我心动的是如下这一幕。课例 1：“植树问题”在学生经历第一次模拟植树（每隔5 米）后，我对学生说：“如果让你来植树，同样全长20 米，还可以每隔几米栽 1 棵？”一位学生马上说：“还可以是 2 米、 4 米、 10 米和 20 米。”我说：“为什么？” 他立即说：“因为 20 除以它们， 能除完。 ” 我不得不

3、佩服这位学生。 于是我马上出示学习任务每小组选取其中一种方案进行画图研究， 看看间隔数和棵数之间到底有什么关系？在经历一番探究与交流后, 课件呈现如表1 所示 :表 1“植树问题”探讨一全长（米）间隔长度（米）两端都栽间隔数（个）棵数（个）545456201023201221011这个时候，我又追问：“除了路长是20 米，还可以是几米？怎么种？下面请同学们用自己喜欢的方式去植树， 路的全长与间隔长度由你们自己决定，不过每小组只能确定一种方案去植树。”学生再次展开探究，结果汇报如表2 所示：表 2 “植树问题”探讨二全长（米） 间隔长度（米）两端都栽间隔数（个）棵数（棵）602034801089

4、160101617最后，我问道： “观察这两张表格，你发现了什么？”一个学生马上说： “棵数间隔数1；间隔数棵数 1。”另一个学生也抢着说： “间隔长度×间隔数全长。 ”预设的答案如期而至，我不得不赞叹学生的聪明才智。“除了这两个发现，还有新的发现吗？”我及时追问。教室里顿时安静下来。这时，一位小男孩突然举手说：“老师，我有新的发现！”“你来谈谈！”我鼓励他。 “老师，我发现间隔数增加 8 3 5 个，棵树也增加 9 45 个。间隔数增加 1688 个，棵数也增加1798 棵！”小男生的回答出乎我的意外，这个结论我事先都没想到。我只能微笑着说：“此时，应该有 ”旋即，教室里响起一片掌

5、声。 “老师， 老师，我也有新的发现！ ” 一个小女生轻轻地说！我示意大家安静下来，小女生说： “间隔长度都是 10 米，全长由 80 米扩大到 160 米，扩大了 2 倍，结果间隔数也扩大了 16÷8 2 倍！”教室再次掌声如潮 那么，当初为什么会有这样精彩的一幕呢？原来，当初为了突出“分散建模”这一主题，在教学时做了两个处理。一是对教学内容进行了简化。 关于一条线段的植树问题有三种情形， 但我为了突出基本模型的构建，只教学第一种情形两端都种。这样一来，学生就有了足够的时间和空间进行建模体验。二是充实建模过程。 为了让学生真正理解植树问题的基本模型，我把建模过程分成八小步进行，可以

6、说达到了充分细化。其建模的主要过程如下：创设原型，理解间隔与间隔数；解读问题中蕴含的数学信息；教师模拟栽树；学生第一次利用泡沫和牙签模拟栽树； 学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树；学生第三次模拟栽树；信息汇总，植树问题基本模型水到渠成；解释植树模型中“ 1”的含义。而上述这一幕其实就是这八步当中的五、六、七三步，前面四步的经历也为这三步的成功做好了铺垫。二、再展风采七年后重新执教这一课，不可能重走老路。七年前我也曾经想过用“整体建模”来教学这一课，但自己说服不了自己，最终选择了分散建模。七年后，我的经历更加丰富，理应给自己一个挑战。于是，我决定用整体建模的策略演绎这一课。( 一) 纸上谈兵：

7、预设整体建模思路整体思路已定， 如何展开？如果在一节课内同时构建植树问题的三种基本模型， 肯定要创设一个集中的探究平台。而要让这个探究平台有效，只能选择一种模拟植树的方法，否则时间无法保证。经再三斟酌，决定采用画线段图的方式来模拟植树。而要让学生经历画线段图的模拟过程， 又必须要解决间隔、间隔数、棵数等基本概念，还要让学生事先感受三种植树类型的特征。 经过这样一个层次一个层次的推考，整体建模的思路就理顺了。( 二) 牛刀小试：检验预设是否可行纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。事先预设思路是否可行，终究要经过课堂检验。于是，第一次试教便开始了。 当教学进行到学生画线段图探索三种植树规律时，却发现很

8、多学生的思维出现混乱，找到的植树规律偏差较大。这样一来，笔者只能一个模型一个模型轮流着讲过去， 结果得出三个模型后，下课铃就响了。事先我已经引导学生解读过棵数、间隔数，也示范过画线段图， 为什么还会出现这样的结果呢？我百思不得其解，只得私下向几个学生了解情况，原因渐渐明朗，主要有两个：一个是学生不知道如何画线段图，不知道该画几个间隔；另一个是学生不知道在一端栽一端不栽和两端不栽的情况下， 棵数和间隔数如何确定。找到了问题，就要想办法破解。针对第一个原因，我专门做了一张动态模拟画线段图的幻灯片，让学生模仿着画。针对第二个问题，我在教学植树三种情况时， 就让学生亲身经历数间隔数和棵数的过程，让学生

9、明白其中的奥秘。可见，实践是检验真理的手段！只有经过实践，才能知道问题出在哪里，才能找到补救的措施。（三）真枪实弹：正式拍摄教学视频由于时间紧，任务重，一次试教后，正式教学视频拍摄便开始了。课前忐忑不安，课后却成功满满，我不得不为自己点个赞。其中最引以为豪的是如下这一幕。课例 2：再次“植树”在学生厘清了植树类型及经历模拟植树后， 我及时抛出任务：在全长 20 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵， 有几种栽法？请在表格内用线段图表示出来，同时完成表格其它任务。接着，我又提出四个要求： 先想一想要画几个间隔才是20 米；每个间隔尽量一样长；独立完成后小组交流；线段图要求用直尺画。学生都开始动起

10、来， 认认真真地画线段图并努力思考相关任务， 不到 5 分钟就有学生完成了任务。不一会儿，教室便由静转动，大家争着要发言。我先让一位小女生来解说展台上的作品。 对于我的提问，小女生自信地一一解答，解释了所画线段图的含义和类型，第一条线段图“两端都有一棵树，属于两端都栽” 。教师追问“棵树和间隔树之间又有什么关系” ，她又准确地回答道： “棵树间隔数 1。”教室里的掌声此起彼伏 “那第二条线段图属于哪种类型？棵树和间隔树之间又有什么关系？”我趁势继续问道，并把问题简化了。有学生抢着回答： “第二条线段属于两端不栽，棵树间隔数 1。”“那栽法 3 有什么特点？”我继续补问，进一步简化问题。学生有条

11、理地回答： “栽法 3 是一端栽一端不栽，棵数间隔数。 ”接着，我又和学生一起验证这三个模型，结果准确无误。最后，课件呈现如图1 所示：线段图棵数间隔棵数与间隔数的数关系两端要栽54棵数=间隔数 +1栽法 1两端不栽34棵数=间隔数 1栽法 2一端要栽44棵数=间隔数栽法 3图 1 “植树问题”3种栽法总结( 四) 及时反思：分析建模成功原因为什么学生能够这样有效地整体建构出这三个模型呢？其实，经过第一次试教后，我重新思考对策，做足了功课。我有意识地让学生经历三个阶段模拟植树的过程。第一阶段是教师模拟。教学伊始，我形象地展示出的第一次模拟植树的全过程， 让学生直观地认识间隔及间隔数。 第二次模

12、拟重在让学生认识植树的类型及特点。 第三次模拟重在让学生学会如何用画线段图的方式模拟植树， 为下面学生的模拟做好准备。第二阶段是学生模拟。由于有前面三次的示范，学生基本上能完成模拟任务。 “想一想，画几个间隔才是 20 米？”这样的问题让学生的模拟更高效。在模拟的基础上，学生自主提炼出三个植树模型。对于这样的模型，学生记忆特别深刻。第三阶段是模拟验证。学生提炼出的模型是着眼于一种情况的，能否通用必须要经历验证的过程。为此，我在学生得出模型后，借助课件和学生一起验证这三种模型。经历验证后，学生对这三个模型深信不疑。可见，整体建模前需要做足功课。三、聚沙成塔虽然间隔七年，但两次教学都比较成功，而我

13、更喜欢后一次教学， 因为后一次一节课就完成了三节课的教学任务。静下心来思索，我发现后一次教学与前一次相比，主要有如下三个改变：一是教学策略的改变。前一次的教学策略是分散建模，主要建构一个模型，后一次教学的策略是整体建模， 也就是说在第一节课整体建构三种植树模型。事实表明，在教师的引导下同时建构三种模型，学生能够领悟，而且对植树类型及相应的模型印象深刻。二是探究内容的改变。前一次教学主要探究两端都栽的情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。 而后一次教学却探究三种类型的植树情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。因此，用线段图画出相应类型的植树模型是后一次教学的难点所在。

14、 由于有事先的示范模拟，学生基本能画出。特别是探究表格的设计，让学生的探究思路更加清晰。同时，为了让学生相信自己得出的三个模型， 教学时还安排了一个交互式的验证环节，让学生对自己的发现深信不疑。三是教学媒体的改变。前一次教学主要借助简易多媒体，后一次教学主要借助电子白板。为此，我苦练课件制作水平。特别是模拟植树这一环节，我一开始就想制作动态植树的课件，但一直找不到窍门。后来无意间想到用插入文本框的方法，从而制作出模拟植树的动态课件，使得课堂教学更加高效。为了充分尝试交互式教学，我还努力钻研电子白板的使用方法， 并设计了以前从未设计过的流程图（略）。可以说，教学媒体的改变促使我信息技术应用能力的

15、快速提升。三个改变中最为重要的是教学策略的改变。与分散建模教学相比， 整体建模更强调学习资源的整合与生成，着眼于学习的实践性，重视学生学的过程，强调数学活动的整体推进。因此，整体建模应当成为数学教学的主流。通过前后两次教学对比，我最大的收获有如下三点：通读教材， 合理分块。数学知识的单元编排，是将有内在联系的、 具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难进行编排。但如果教师对教材解读不当，按部就班地照本宣科，则容易步入“教学雷同、环节反复、练习重复”的局面。因此，通读教材，用整体的视角对单元教学内容进行准确定位、合理分块，是实施整体建模的一个必要环节。如“植树问

16、题”这个单元，主要内容分成两块，一是线段植树，二是环形植树。而线段植树的三种类型难度系数相近，完全可以分在一块。有机整合，创设基点。有时候一节课包含的知识点比较多，这时候就要对这些知识点进行梳理，有机整合，力求把这些知识点融合在一个探究平台中。然后以这个探究平台为基点，顺势解决所有的知识点。如四年级“三角形的分类”这一课，可以先让学生统计教材上提供的 6 个三角形中锐角、钝角和直角的个数， 然后以这个统计表为基础，从中发现角的个数规律， 从而揭示出三种三角形的概念。接着，通过这张表来揭示这三种三角形之间的关系。最后还是回到这张表，让学生回答为什么有了直角就不会出现钝角，为下一节课“三角形内角和”的教学埋下伏笔。这样以统计表为基点展开建模，整体感明显，效果显著。提炼任务，整体解决。即要求老师一下把全部任务交给学生， 要求学生一次性思考解决