十章量子力学基础

1、第十六章量子力学基础一、基本要求1、 了解波函数的概念及其统计意义，理解微观粒子的波动性2、了解一维定态的薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件，以及量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱、一维谐振子等微观物理问题的方法。3、了解量子力学对氢原子问题处理的基本方法，理解描述氢原子量子态的三个量子数（n,l,m）的函义和能级公式。了解核外电子概率分布的函数形式和意义。二、基本内容本章重点：建立量子物理的基本概念，了解微观粒子运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、一维定态的薛定谔方程及其应用。本章难点：波函数及其核外电子概率分布的意义。（一）波函数及其统计意义：微观粒子的运动状态称为量子态

2、，是用波函数 （r ,t）来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指岀：德布罗意波或波函数' （r,t）不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的，具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。微观粒子的概率波的波函数是：（r,t） ='?（x, y, z,t）因此概率密度：波函数模的平方 （r我）1代表时刻t，在r处附近空间单位体积中粒子岀现的几率。-2P（x,y,z,t）$7x,y,z,t”（x,y,z,t）I （r,t）l也被称为概率

3、密度。即某一时刻岀现在某点附近在体积元dV中的粒子的概率为：即（x, y, z,t）dxdydz 或 |V（r，t）| d可波函数必须满足标准化条件：单值、连续、有限。11 / 9波函数必须满足归一化条件:(r,t)'- (r,t)d =1(二) 薛定谔方程：1、含时薛定谔方程: 量子力学中微观粒子的状态用波函数来描述，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程。 一般形式的薛定谔方程，也称含时薛定谔方程，即：(r, t)2 2-i二寸U(r)卜(r,t)式中是粒子的质量，U (r)是否粒子在外力场中的势能函数。2、定态薛定谔方程：当粒子在稳定场中运动，势能函数与时间无关，即U =U(r)时，

4、为定态薛定谔方程:氏22-OOIIOOIIf 2 U(r) (r) = E (r)其特解为：(r,t)二(r)iEt/h概率密度分布为：p(,t)屮(心)=屮肓)屮G(三) 一维势阱和势垒问题：i、一维无限深方势阱：对于一势阱有维无限深方U(x)U(x)二1(0 < x < a)°°(0 Ex,x a)定态薛定谔方程为:k罟0xa薛定谔方程的解为：(x) = A Sin(kx . ：)其中k,代都是常量,(A/为积分常量)，其中A/分别用归一化条件和边界条件确定。根据' (00，可以确定:-=0或m二,m =1,2,3, 于是上式改写为:'一(x

5、) = Asin kx根据t （a） =0,可以确定kan =1,2,3，根据归一化条件，确定En 二得能级公式为:2k2二2 2n22 a2 ,n二 1,2,3,由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。当n =1时，粒子处于最低能量状态，称为基态,其基态能量（零点能）为:2宀E212a2激发态能量:En222la2 '一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的波动方程:d28 n2mEdx2h20, (x 乞 0, x _ a)波函数:'(x) =|?sinn nx, (Ocxca) a a概率密度:屮（x）22 . 2 n n=s in xa

6、 a能量:势阱中相邻能级之差:能级相对间隔:二22n22 %2EnEn量子数：n =1,2,3,E 二 En1 - En(2n 1)h28ma2h2:2n 2 8ma2 h2n 28maE0 能量视为连续变化。En与能量本征值En相对应的本征函数'- (x)为:归一化波函数为:2 sina an =1,2,3,UoE2、势垒穿透和隧道效应:有限高的势垒:u（x）=；U（x）"x<0（p 区）,53U （x） =Uo,O vx ca（Q区）在P区和S的形式区薛定谔方程为:*20在Q区粒子应满足下面的方程式:d" （x）2 1dx2 r用分离变量法求解，得:Ae吆

7、B1kx（P区）-2x_¥-A?eB?e 一在p区，势垒反3Aikx3e在Q 区,（S 区）势垒透射系数:（x ： 0,x a）(0 ： x ： a)粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应经典理论：(1)E >U 0的粒子， 越过势垒(2) E <U °的粒子， 不能越过势垒(2) E <U°的粒子，也可能量子理论：(1)E >U°的粒子，也存在被弹回的概率一一反射波。越过势垒到达S区隧道效应(四) 一维谐振子问题1、一维谐振子的定态薛定谔方程：为系统的势能：11U (x) = kx2 =2x22 2简谐振子的能量为:将

8、势能形式代入定态薛定谔方程，得:2 d222dx1 2 2；">=： x2 (x) = E (x)22、一维谐振子的能量本征值：为使波函数量满足单值、连续、有限的条件，能量本征值只能取:n = 1,2,3,基态能量（零点能）为:Eo（五）氢原子1、角动量的本征函数和相应的量子数:动量的本征值为:L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量,称为轨道角动量。电子轨道角动量的 z分量的大小： Lz =m= o, ±1, ±2,±lm称为磁量子数。轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角

9、动量的空间量子化2、氢原子的能级:氢原子的能级公式:En4m°es4m°e22n22 2(4二；0)2n2n =1,2,3,从能级公式可以看到,E： = 0，这就是电离。当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为:4E1一13.597eVm°e2 2(4 no)23、能量的本征函数和能级的简并度:对于任何一个主量子数n,共有：n_J送（21 +1） = n2i卫个量子态都对应于相同的能量本征值En，这种情形就称为能级En是简并的，或者更具体地说，定态能级En的简并度是n2三、类氢离子能级公式24meZ e22(4 J2，n 二 1,2,n（六）氢原子中电子的概率分布

10、1、电子概率的径向分布：在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为:n 2 n2 n2wm(r)dr = 0 0 R(r) r2drYm(日严)| sin日Md®= RN（r）r2dr22式中Wni =Rni（r）r是电子岀现在相应球壳内的概率密度，称为电子概率的径向分布函数。可以证明，对于 n-l -1=0的所有量子态的最概然半径可以表示为：rn 二 n2a, n =1,2,2、电子概率的角度分布函数：立体角= sin rdr d :内发现电子的概率为：Wimd）d。= f）Rni （r）Y|m/Pf r2drsin肌弼=Yim（e,®） 2sinOdd® =

11、 丫向但严）2d。式中Wm （ 7；）是电子岀现在相应立体角内的概率密度，称为电子概率的角度分布函数。电子概率的角度分布函数Wm （2 ）与：无关，所以角度分布函数 Wm严，）是以Z轴为旋转对称轴的三、问题讨论1、数归一化波函是什么意思？2答：波函数绝对值的平方 严（门 是在r处的概率密度，即在此处附近空间单位体积中粒子发现的概率的大小。数归一化波函是指概率密度在全空间中的积分为i，即：V，（r,ty （r,t）d. =1上式在物理上，是指在整个空间发现粒子的概率为1。因为只要在空间有一个粒子，遍及整个空间总能找到这个粒子。2、势阱中的粒子（包括谐振子）处于激发态时的能量都是完全确定的一一没有

12、不确定能量。这意味着粒 子处于这些激发态的寿命将为多长？它们自己能从一个态跃迁到另一个态吗？答：粒子所处的状态的是完全确定的，就是说在这样的确态上能量E的不确定度为零，即：CE =0,能量E的不确定度和寿命的不确定度之间的不确定度关系为：hE ."：.-2现已知AE =0,就要求 二：一，也就是说，粒子处于这些激发态的寿命是无限长，如果没有外界扰乱动，它们自己不能能从一个态跃迁到另一个态。四、典型例题1、粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽为a），若其状态对应于波函数'；n（X）2 . 3二 x sina a（0 ： x : a），求粒子岀现的概率最大有哪些位置?解：出现粒子

13、的概率密度为:屮（x）对上海式求极值：（x）dx2 d 2 (sin dx a6x2 二sin2 3nx(0 ： x ： a)a a2 3x6 二6 二x门)=2 sin = 0a a aax = k匚，k =0,1,2,3,b其中：k =0时,x = a,由边界条件知：（x） = 0k -7 时，x a,已出势阱。, a 3a 5a故：x , x , x处，粒子岀现的概率最大。b b b2、一维无限深方势阱中粒子的定态波函数n(x)二2sinn生试求:a a十a和x之间被找到的概率，当:3（1）粒子处于基态时;（2）粒子处于n=2的状态时解：(1)当n= 1时，概率为:23 2 x .1si

14、ndx=a -0'a34 二0.19(2)当n=2时，概率为:2dx-3si n'dx a '0a3 =0.4038 二3 、一个细胞的线度为 105m，其中一粒子质量为10J4g，按一维无限深方势阱计算，这个粒子的n1二100和m =101的能级和它们的差各是多少?解：E17：2'2二越“1100*4 计 JE27：2'22= 2Ja2 山”101*5 10：E 二 E2 E1 =(5.5-5.4) 10" =1.0 10 38 J五、自我检测1 、一维无限深方势阱宽为a，粒子的波函数为'；n(X)二2sin an二 xa (0 ：

15、x ： a)，则粒子岀现的概率最大位置是 。2、 若氢原子处在l =3的状态上，则有此时氢原子的能量是 ，角动量在外磁场方向上的分量的可能值是。3、 当主量子数n = 3时，角量子数丨可能有的值是 ；当角量子数丨=2时，磁量子数m可能有的值是。4、描述粒子运动的波函数 屮(t)，贝U F(r，t)f表示;(r, t)需要满足的条件为： ;其归一化条件为：13 二 x5、已知粒子在一维矩形方势阱中运动，其波函数为'；n(x)cos ”、aa ( a岂x乞a)，那么,、， 5a粒子在x出现的概率密度为：()612a12、a6、在一维矩形方势阱中，求粒子处在第一激发态(n=2 )时的能量以及在势阱中何处岀现的的概率最大？7、氢原子中的电子处于 n =4、丨=3的状态，问:(1)该电子角动量 L的值为多少?(2)这角动量L在z轴的分量为多少?8、设有一电子在宽度为 a =0.2Onm的一维无限深方势阱中，求:(1)电子在最低能量级的能量;(2)当电子处于第一激发态(n = 2)时，在势阱中何处岀现的的概率最小?六、自我评价参考答案及评分标准：评分标准：1 5题每题8分，6 8题每题20分，满分10