垂直关系常见证明方法补课

1、1)2)3)利用直线与平面垂直的性质:垂直关系常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90 °，则两直线互相垂直。7 / 18如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。4)利用平面与平面垂直的性质推论:七b丄5)利用常用结论:> =a丄如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。a 一 ：ba _ l b - l条直线也垂直于第三条直线。b / 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一a / b=b_c

2、如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。b（二）直线与平面垂直的证明1）利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧棱垂直于底面 等2）看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。3）利用直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面a u abaaa b 二 A = l 一 ：I丄 aI丄b4）利用平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直a 丄5）利用常用结论:至线也垂直于此平一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面a / bb

3、 -:-平面，于另一 两个平面平行，一直线垂直于其中一个口 / B 心则该直线也垂直: = a _ :a丄口 丿个平面。平面与平面垂直的证明1）利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧面垂直于底面 等2）看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直3)利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 a丄B K C I B空间的平行与垂直一轮回顾1已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题 若 a/ M , b/ M，贝U a / b 若 a/ M , b± a,贝U b± M 若aM

4、, bM，且I丄a, I丄b,贝U I丄M 若a丄M , a/ N,贝U M丄N其中真命题的序号是 .（将所有正确结论的序号都写上）2. 已知m, I是直线，a, B是平面，给出下列命题: 若I垂直于a内的两条相交直线，则 I丄a； 若I平行于a,则I平行于a内的所有直线； 四面体中最多可以有四个面是直角三角形； 若mu a且I丄且all 3则m丄I其中正确命题的是 。3. 如图，两个正方形 ABCD和ADEF所在平面互相垂直， 设M、N分别是BD和AE的中点，那么 AD _ MN : MN /面CDE : MN/CE : MN、CE异面其中正确结论的序号是 _.D4.在正方体AG中，O为底面

5、ABCD的中心，E、F、G、H分别为棱AA)、BB-i、CG、DDi的中点，请写出一个与 AO垂直的正方体的截面 GDB (或AFCi或EDiBi).(截面以给定的字母表示，不必写出所有情况)5 .如图，四棱锥 P -ABCD中，ABCD为正方形，PA _底面ABCD，那么在该图中, 互相垂直的平面有 _7对.D6.已知m、n是两条不重合的直线，a B、丫是三个两两不重合的平面.给出下列的四个命题： 若 m _ ：- , m ，则/ ：； 若_，则/; 若 m：_ ，n 二；，m/n,则/ :; 若m、n是异面直线， m二： ,m/ :, n -卩,n /】，则/ 1 ,其中真命题是和典型例题

6、例1.在棱长为a的正方体AC1中。(1) 求证：B1D1 / 面 C1BD ；(2) 求证：面 AB1D1 / 面 C1BD ；(3) 求证：AC面 GBD ；(4) 求证：面GBD丄面ACGA ；(5) 求三棱锥 B-ACQ的体积。例2.如图，已知ABCD ABGDj是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CG上,且 AE 二 FG =1 ,(1) 求证：E,B,F,Di四点共面；2(2) 若点G在BC上，BG ，点M在BB1上,3GM - BF，垂足为H，求证：EM _面BCGBBC解：(1)证明：在DD1上取一点N使得DN=1,连接CN, EN,显然四边形 CFq N是平行四边形，所以

7、 D1 F/ CN，同理四边形 DNEA是平行四边形，所以 EN/ AD,且EN=AD,又BC/AD，且AD=BC所以EN/ BC EN=BC,所以四边形 CNEB是平行四边形，所以CN/ BE,所以D1F/BE,所以E,B,F,D1四点共面。2(2)因为GM _ BF所以 BCF s .1 MBG，所以= BG，即凶旦=2，所以mb=1 ,BC CF 32因为AE=1,所以四边形 ABME是矩形，所以 EM丄BB1又平面 ABB, A1丄平面BCq B1，且EM在平面ABB, A1内，所以EM 面BCC1B1 例3. (2006天津文，19)如图，在五面体 ABCDEF中，点O是矩形ABCD

8、的对角线的交点,1面CDE是等边三角形，棱 EF / BC 。2(I) 证明FO /平面CDE;；(II) 证明平面 OEF丄平面CDF .(II)设 BC 二.3CD,证明 EO _ 平面 CDF.FEADOM5 / 18证明：(I) 取CD中点M，连结0M。11在矩形 ABCD中，OM / BC,又 EF / BC,22则EF/OM.连结EM,于是四边形 EFOM为平行四边形。.FO / EM.又；FO产平面CDE且EM u平面CDE.FO/ 平面 CDE(II) 由(I)和已知条件，四边形 EFOM为平行四边形。?CD _OM ,CD _ EM , CD _ 平面 EFOM而，CD二平面

9、CDF.故，平面EFOM丄平面CDF .即平面OEF丄平面CDF .(III) 连结 FM。由(I)和已知条件，在等边 CDE中，CM二DM , EM _ CD且 EM 3CD =BC = EF.2 2因此平行四边形 EFOM为菱形，从而EO_FM。T CD _ OM ,CD _ EM , CD _ 平面 EOM,从而 CD _ EO.而 FMICD =M ,所以 EO _ 平面 CDF .由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路 平行问题的转化：面面平行线面平行。'线线平行;卩弁主要依据是有关定义及判定定理和性质定理.垂直问题的转化：AB面面垂直 J、/线面垂直

10、/线线垂直;主要依据是有关定义及判定定理和性质定理.例4.如图，在直四棱柱 ABCDAB.GD,中，已知 DC 二 DD 2AD 二 2AB , AD 丄 DC, AB / DC .(1)求证：DC丄AG ；13 /8(2)设E是DC上一点，试确定 E的位置，使DjE /平面解.（1）证明：在直四棱柱 ABCD-ABiGU中，连结GD，I »_DC = DD1，四边形DCC1D1是正方形.dc1 丄 d1c .又 AD 丄 DC , AD 丄 DDj, DC 丄 DDD ,AD _L 平面 DCCj Dj,DjC 平面 DCCj Dj ,AD 丄 DC .I AD, DCj -平面

11、ADCj ,且 AD 丄 DC =D ,DjC _L 平面 ADCj ,又AG 平面ADCj ,DC 丄 AG .(2)连结AD1，连结AE ,设 ADi Pl AD = M ,BD n AE =N，连结 MN ,/平面ADjE门平面ABD二MN ,要使DiE /平面ABD ,须使 MN / DiE ,又M是AD1的中点.N是AE的中点.又易知 ABN EDN ,AB 二 DE .即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使DiE /平面ABD .【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间 想象能力、推理论证能力，本题属中等题。小结：a丄=a; a .

12、- - a/：-a1.直线与平面的平行、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情况，应熟练 掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。a/b常用定理：线面平行b 二a/厂- 宀ac Pa -:a/«线线平行：a:小：b: -:.a ：.一. a / b - a/b； © 二ab ；a a/b ； ac =，cb“ J丄£RF 屯 & Ia 二a,bU叫面面平行：a - b =0二n ; a - a a/ ,b -线线垂直：a-:'bUotL a丄b ；所成角900； P0±"L a _lp

13、a(三垂线)；逆定理？a 丄AO 'aOxbCfct线面垂直：a -b qi.la,i lbT丄皿幵m用丄P；豐卜皿；a 2a=b _：面面垂直：二面角a 二二a 11900； a -;a；at2立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即:线/线:一 _ .线/面:一 _ .面/面 判定，线丄线-'线丄面-'面丄面-性质线/线-'线丄面.、面/面3证明空间线面平行或垂直需注意以下几点： 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用 方法之一。

14、明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应 结论。 直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转 化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使 问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化 运用的过程。巩固练习1已知正方体AG中，点N、M分别为BC、CG的中点。(1) 求证：M、N、A、D1四点共面；(2) 证明多面体CMN -DD“A是棱台。M17 / 182 .如图，四边形 ABCD为正方形，SA丄平面ABCD过A且垂直SC的平面分别交 SB SCSD 于

15、E、F、G,求证：AE丄 SB, AG丄 SD。3已知侧棱垂直于底面的三棱柱ABC - ABG中，底面ABC为等腰直角三角形,.BAC =90：，且 AB =AA , D、E、F 分别为 B,A、C1C、BC 的中点。(1)求证：DE / 面 ABC ;(2)求证：B-i _ 面 AEF 。F4.如图，在四棱锥 S - ABCD中，底面ABCD为正方形，SA_底面ABCD , SA二AB , M、N分别为SB、SD的中点。(1) 求证：BD /面 AMN ；(2) 求证：SC_ 面 AMN。S5如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面PCD为正三角形，且与底面 ABCD垂直，已知底面ABCD是面积为

16、2、-2的菱形，-ADC = 60 ， M为PB的中点，求证：(1) PA _CD ；(2) 面 CDM -面 PAB 。6.如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AA)= AD = a，AB = 2a，E、F 分别为 C1D1、A Di的中点.(1)求证：DE _平面BCE ; (2)求证：AF平面BDE .(3)能否在面BB1C1C内找一点G,使AF _ DG若能，请找出所有可能的位置并证明, 若不能，请说明理由。(1 )证明：；BC _ 侧面 CDD1C1，DE 侧面 CDDiCi , DE _ BC，在. CDE 中，CD =2a,CE 二 DE = 2a，则有 CD2

17、=CE2 DEDEC =90，DE _ EC，又 BC EC =C DE _ 平面 BDE .(2)证明：连EF、A1C1，连 AC 交 BD 于 O ,1EF一AG ,2.AF /OE1AO一 A1C1 , 四边形AOEF是平行四边形，2又 OE二平面BDE , AF二平面BDE ,.AF / 平面 BDE .(3)点G所有可能的位置为 BBi中点G与点C的连线段。证明略、如图，棱柱abc-abq的侧bcge是菱形,线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定1、如图，在四棱锥 P ABCD中,2面PA 丄底面 ABCD AB1 AD, AC丄 CD证明：平面AB1C丄平面ABC,；/ ABC= 60

18、°, PA= AB= BC, E是 PC的中点.(1)求证：CDL AE;求证：PD丄面ABE.3、女口图，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为平行四边形DAB =60：, AB =2AD, PD _ 底面 ABCD ，证明:4、如图所示，在长方体ABCD - A,BiG D,中,AB=AD=1 AA=2，M是棱 CC的中点PA_ BDi2 / i8D(I)求异面直线 AiM和 CiD所成的角的正切值;(n)证明：平面 ABML平面AiBiM面面垂直的性质i、S是厶ABC所在平面外一点， SA丄平面ABC,平面SAB丄平面SBC求证ABL BC.2、在四棱锥中，底面 ABCD是正方

19、形，侧面 VAD是正三角形，平面 VADL底面ABCD证明:AB丄平面VAD23 / 18BC3、如图，平行四边形 ABCD中，.DAB =60 ,CBD沿BD折起到 EBD的位置，使平面求证： AB _ DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4、如图，在四棱锥 P - ABCD中，平面 PADL平面ABCDAB=AD / BAD=60 , E、F 分别是 AP、AD的中点求证：(1)直线EF|平面PCD(2)平面BEF丄平面PAD1.如图，在直三棱柱ABCABQ中，E、F分别是AB、AC的中点，点D在BG上, AD 丄BQ。求证：（1） EF/平面ABC;（2）平面AFD _平面BBQ

20、C .2.如图，在四棱锥P -ABCD中，PD _平面ABCD，AD _ CD，DB平分.ADC，E 为的 PC 中点，AD 二 CD = 1,DB 二 2.2（1）证明：PA/平面BDE（2）证明：AC平面PBD3.如图，四棱锥P - ABCD的底面是正方形,求证：平面 AEC _平面PDB ；PD _底面ABCD，点E在棱PB上.D5女口图，在四棱锥p-abcd中，PA底面AAB _ AD, AC _ CD,NABC=60° PA=AB = BC(1)证明 CD _ AE ；(2)证明PD 平面ABE ；E是PC的中点.D4.如图4,在正三棱柱 ABC -ABQ中，AB二,2AAD是AB的中点，点E在ACi上，且DE _ AE 证明平面ADE _平面ACGA6、如图，已知