数列通项公式的常用解法归纳整理学生

1、数列通项公式的求法集锦一、观察法例 1 写出数列的一个通项公式，使它的前5 项分别是下列各数(1) 3,5,9,17,33(2) -1/2,1/2,-3/8,1/4,-5/322,22,222,2222,22222注：在平时学习中要牢记常见的一些数列通项公式，如 n,1/n,2n,2n+1,n!,( 1)n,n(n+1)等，其他数列往往由这些基本数列和其他常数进行四则运算得到的。二、公式法1. 利用等差数列的通项公式2. 利用等比数列的通项公式3.利用数列前 n 项和Sn和通项公式an的关系式:an =有些数列给出an的前 n 项和Sn与an的关系式Sn=f(an)，利用该式写出Sn.fG.1

2、)，两式做差，再利用an1=SnTSn导出an 1与a*的递推式，从而求出a*例 2.数列an的前 n 项和为Sn=3n1,求a.的通项公式。例 3.已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn满足S1 1 且 6& = &1)(务2), nN求an的通项公式。例 4.数列 g的前 n 项和为Sn,ai=1,ani=2Sn( nN),求的通项公式。三、累加法形如a.-务二=f (n)(n=2、3、4)且 f (1)f (2) f (n -1)可求，则用累加法求an有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 5.在数列an中，a1=1，an-anJ= n-1(n

3、=2、3、4.)，求an的通项公式。例 6.【2014 全国大纲卷(文 17)】数列an满足 a1=1， a2=2， an+2=2an+1-an+2.(1) 设 bn=an+1-an，证明bn是等差数列;(2) 求数列an的通项公式.四、累乘法a形如 二=f(n)(n=2、3、4)，且f(1) +f(2)+.+f n)可求，则用累乘法求。有an时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 7 在数列an中，a1=1，an.1,= nan，求an。例 8 已知数列an满足a1=2， anan，求an3n +1五、构造法 类型 1.an 1=panq(其中 p,q 均为常数，且 p =

4、1)先用待定系数法把原递推公式转化为 an二 p an 4/- 其中，这样构造了等比数列1-Pan，下面利用等比数列的知识即可求解。例 9、已知数列an满足 3=1，an 1=2an1(nN)，求数列an的通项公式。3 _a设数列an的首项a （0,1），an=产，n=2、3、4.）求 an的通项公式。已知数列an中，a1=2，a. 1=( .2-1) (a.2) n N（）求an的通项公式。类型 2.an1=panqn（其中 p, q 均为常数，且 p = 1）例10、例 11、法一：在递推公式两边同时除以qn+1On 11a，将-n看成一个新数列，则可用类型一q qq二卫On1q的方法解决

5、;法二：在递推公式两边同时除以pn+1an 1，得pnannpn，将*看成一个新数列，则可用累p加法求解。例 12、已知数列%中，ai=1, am= 2an 3n，求数列的通项公式。/xn-1例 13.已知数列an中，aA= - an1i1，求数列的通项公式。632)类型 3. an.1= panan b p = 1 且 p 0,a 0这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an 1X n 1 y二p anXn y然后与已知递推公式比较，解出 x, y，从而得到：耳xn，y是公比为 p 的等比数列。例14设数列an中，a1=4，an= 3an42n-1 n_2，求数列的通项公式。类

6、型 4.an严pa：p 0,an0这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型1，用待定系数法求解1例15.已知数列a：中，ai=1，a：i二一aa 0，求数列a：的通项公式a将原递推公式改写成a：2 a：.一二f n 1，两式相减即得a：.2- a：二f n 1 - f n，然后按奇偶分类讨论即可.例 16.已知数列a：中，a1=1，a：1 a：= 2：，求数列a：的通项公式。类型 6. a：1a：=f n将原递推公式改写成a：2a： 一二f n 1，两式做商即得 也二：匕丄，然后按奇偶分类讨论即可a：f n例 17.已知数列a：中,a1=1，a：1a：=2：，求数列a：的通项公式六.取

7、倒数法:类型 1.an 4 =panp,q,r = 0,且 a*= 0, qa*r = 0qan+r类型 2有些关于通项的递推关系式变形后含有a*an4项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以a*an 4后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出a*。例 18、已知数列an，a4= =-1，an 4丄丄nN”，求an= = ？4 a*-，且a*3（门门 一 2n N）22a* *门门-1()求数列a*的通项公式例 20.已知各项均为正数的数列a*满足：印：印= =3，且込匸空=a*a* iN 求数列a*的通2a* * 玄时玄时项公式例 19、已知数列a*满足ai七重新构造新方程组求通项法有时数列an和bn的通项以方程组的形式给出，要想求出an与bn必须得重新构造关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得an和bn的通项公式分析该题条件新颖，给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数 列，从而再通过解方程组很顺利求出an、bn的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解呢？下面给出一种通法例 22.在数列an、bn中a1=2，b-=1，且*n 1细* (n NJ 求数列an和bn的通 % =K + 7bn项公式例