定积分概念教学案例设计方案书

1、定积分的概念教学案例设计1教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1. 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的 实际背景意义；2. 借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应 用定积分的定义求函数的定积分.3. 理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想 情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2教学过程简录2.1实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问

2、题的解决方法, 解决步骤是什么？”学生：分割4以直代曲q求和二取极限（逼近）教师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许 多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究.2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想 （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）II12il IN1V71.10.10710临703975!这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不

3、足近似值的动画演示n呵版【翌料I-几皿讣 冠min - 80.00 *An<JJtWH'JfJ*:1+JPJjJSiWfJjIMi；'HP>VIMJ*i M.-tj广?.«!«JjI*1f rum翟-1齐 SIfflF-. M：LI S.Tip：l ttJiq 曲和门 EttlMI S£|N| 世暂冏*删 tv KbPHp RE氐运亦7甲s-rtiK- mi:* ssc&i 砂口 够汕蠹阿 xaii呦-F-.-V-M-4-4-4-”占M ««：E| KHDlsSn U.MI AW.N： 湎;G.i 世口 H教

4、师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1:以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。学生2:还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积， 以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1定积分的概念设函数f(x)在区间a,b上有定义，任意用分点a=x° ：为：X2 ： Xn =b将a,b分成n个小区间，用- Xi -表示第i个小区间的长度，在 以亠人上任取一 点i，作乘积f( ip Xi，i =1,2，；n.再作和n' f( i)厶Xi.i 4若当，二max.% > 0时，上式的极限存在，

5、则称函数f(x)在区间a,b上可积，并称此1丈切极限值为f(x)在a,b上的定积分，记作bf(x)dx.即 abn(1)f (x)dljmZ f (©)Axi .其中f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a,b称为积分区间，a, b分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为v(t)，则在时间区间a,b上，物体经过的路程为bs v(t)dt.La同理，图5- 1所示的曲边梯形面积可表为bf (x)dxa图5- 16 / 7b变力做功W二F(r)dr(4)Lai在小区间I f (x)在a,b可积，是指不管对区间分划的

6、方式怎样，也不管点Xy,Xi上如何选取，只要o ,极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢?定理 在闭区间a,b上连续的函数必在a,b上可积；在区间a,b上有界且只有有限个间断点的函数也必在a,b上可积.II 定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关,bbba f (x)dx f (u)du f (t)dt.Ill.定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当b < a时,baa f(x)dx 二- b f(x)dx .af (x)dx 二 0 .a222定积分的几何意义I .若f (x) _0，则积分边梯形的面积，即bf (x)dx = A .a为f

7、ib)10fiba f(X)dX表示如图所示的曲b特别地，当a=b时，有f (x)dx=0。针对训练：用定积分表示下列图形的面积(两名学生上黑板板书)1学生 1: o 2xdx空学生 2:°4 sin xdx随堂检测：利用定积分的几何意义求值；、4-x2dx2(1)1 (x 1)dx(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法 )学生3:(略)学生4:被积函数y=.4X,x-2,2表示圆心在原点，半径为2的半圆，此积分计算的是半圆的面积 半径为计算下圆周定积此积分计算的是半圆周的面积。51(1)(2x 4)dx(2)匚 x dx学生5：(略)学生6：(略)bII .若f(x)空0，贝U

8、积分 f(x)dx表示如图5-3所示的曲边梯形面积的负值，即a这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是- f(x)而不是f (x).对定积分的几何意义的几点补充说明：根据定积分的几何意义，如何用定积分表示图中阴影部分的面积 ？ 轴上方的图形面积减去X轴下方的图形面积：bf(x)dx二A - A2 A .可以用两部分面积的差表示:学生7:bba223定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：b性质 1 1dx = b _aabb性质2 kf(x)dx二k f (x)dx (其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质) aabbb性质3fjx)二2 (x)dx ! f (x)dx 2

9、 f( x dx (定积分的线性性质)aa abcb性质 4f(x)dx 1( x dx (f) x其中 :： a c baac(定积分对积分区间的可加性)教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？(学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出)说明：推广：ffi(x)± f2(x|± fm(x)dx= f t(x)dx土 f f2(x)dx士川土 f 臨匕)aaaabCiC2b推广：f (x)dx 二 f (x)dx f (x)dxf (x)dxbaba(q*Ck9/7y1性质1y= 1Oabx性质解释:二%边梯形AMPC练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定

10、积分 学生学生2.3久边梯形AMNB8： i(2x"x02、计算定积分:5(1) 0(2x_4)dx22xdx-220xdxSffi边梯形CPNB1.0(2x-x2)dx 表示为?(2) 01 - x2dx9: ( 2)式表示半圆发散思考，深入探索 不计算积分，比较下列各组积分的大小ii 2xdx x dx0S55I)(04>E(i,o)2(2)1 xdx5x2dx;11£ xdxL In(1 + x)dx ；, ;sin xdx,二2sin xdx教师：表述更严谨应该怎么说？(四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出)学生10:在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范 围的大小.学生11：应该是区间长度的大小. 教师：推广到一般情形呢？:学生12：若在区间a,b上, f(x) 一0 ,则学生13：若在区间a,b上,f(x) “(x)，则bba f(X)dX jg(x)dx .学生14：先画图再定值.bb比较积分区间上两函数大小，再由f(x)dx " g(x)dx即得"aba(3)令 F(x) =x In(1x), F'(x) =1 ：0, F(x) ： F (0) = 0 .1 + x2.4归纳小结，提炼