平面度误差线性规划模型的建立与求解(精)

1、第3卷第3期2001年9月 辽宁师专学报Journal ofLiao ning T eachers CollegeV ol. 3N o. 3Sep. 2001文章编号:1008-5688(2001 03-0008-04平面度误差线性规划模型的建立与求解王瑞(辽阳职业技术学院,辽阳111004摘 要:探讨了一种新的关于平面度误差评定的数学模型与算法，研究了平面度误差评定的目标函数及约束条件，对样点数据进行了坐标变换的处理，建立了评定平面度误差 的线性规划模型，对模型的可靠性进行了分析，并用二阶段单纯形法进行求解关键词:平面度误差评定；最小区域；线性规划；目标函数；约束条件中图分类 号:O 241

2、11文献标识码:A1概述国家标准G -.如图1. 同时,度误差值即评定基准不同时，得到的平面度误差值也不同因此, 在评定实际面的平面度误差时，要求理想要素的位置应符合最小条件，即被测实际 要素对其理想要素的最大变动量为最小.” 常用的平面度误差的评定基准有以下 四种：(1以通过被测实际面上相距最远的三点的理想平面为评定基准(2以通过被测实际面的一条对角线且与另一条对角线平行的理想平面为评定基准；(3以通过被测实际面的最小二乘平面为评定基准；(4以符合最小条件的理想 平面为评定基准1用以上四种不同的评定基准评定平面度误差的方法依次称为平面度误差的三点法、对角线法、最小二乘法和最小条件法因为用最小

3、条件评定所得到的平面度的 误差值在上述几种方法中是最小的，因而是平面度误差评定发生争议时的仲裁法.按 最小条件法对平面度误差进行评时对于包容实际面的理想包容区域是否达到最小要 按下面的判别准则进行判别：(1由两平行平面包容被测实际表面时，至少有三点或四点相接触，且一个最高 (底点在另一包容面上的投影位于三个最低(高点所形成的三角形内，如图2(a、(b . (2两个最高点连线与两个最低点连线在包容平面上的投影相交，如图2(c .收稿日期:20010721作者简介:王瑞(19722 ,女，辽宁辽阳市人,讲师,主要从事机械制造及其自动化 研究,发表论文3篇1王瑞平面度误差线性规划模型的建立与求解9(

4、3 一个最高(低点在另一包容平面上的投影位于两个最低(高点的连线上,如图2(d .代表最高点代表最低点cChina AcudcmicAll rights reserved.1994-2010Journal Ekircnic Publishing House, hltp 一/hvww* enkiat由于符合最小包容区域判别法的四个点很难选准，而选点的准确与否将会 使计算量成倍增加因而本文将在最小条件的基础上，采用有约束的最优化方法，建 立线性的求解平面度误差的目标函数和一系列的约束条件，并用二阶段单纯形法求解，和速度方面有所突破2目标函数及约束条件的建立,如图31.China AcademicA

5、ll rights reserved*1994-2010Journal Ekctrcmic Publishing House, http:/www, W 00W 01W 02 W On W 10W 11W 12 W 1n W 20W 21W 22W 2nW nn则按平面度误差数据处理的解析法，将被测表面上各测点对测量基准平面 进行坐标变换.坐标变换可以认为是通过两次旋转完成的.第一次旋转是使各测点绕 通过起始点W 00且平行于X轴的旋转轴旋转,第二次旋转是使各测点绕通过点 W 00且平行于丫轴的旋转轴旋转；则任一测点的坐标值与经过变换后的测点坐标值 W ij的关系是：W ij ' =W

6、 ij +JX +IY(1设变换后任意两点的高度差为 W ,则 W =W ij -W pq '=(W ij -W pq +(j -q X +(i -p Y(2若W AB , W ab分别为所有测量值中的一个最大值和一个最小值，则目标函数可写成min Z = W =W AB ' -W ab '=(W AB -W ab +(B -b X +(A -a Y 即10辽宁师专学报2001年第3期min Z =X 0+C 1X 1+C 2X 2(3其中X 0=W AB -W ab , C 1=B -b , C 2=A -a(4除以上两点外，其余各点均为目标函数的约束点并且各点的测量

7、值在经过变换后,仍不得大于W AB '且不得小于W ab '由此形成约束条件,即Wij -W AB 'W0w ij -W ab ' >0(5其中W ij为排除最大值点和最小值点的任意点,i =1,2,m=1,2,n.将式(2代入式(5可得约束方程(j -B X +(i - A Y < W AB-W ij(j -B X +(i - a Y > W abW iji =1,2, 3,m , j =1,2,n因而为了与前面的符号保持一致，用X 1, X 2代替X , 丫贝Umin z =X0+C 1X 1+C 2X 2s. t. a p X 1+a p

8、 X 2< b p p =12,a q X 1+q q 1u , n(6 10-W a =j -B , a p 2=i -A , b p =W AB -W ij , C 1=B -b , C 2=A -a , 1j -b , a q 2=i -a , b q =W ab -W ij因为在平面度误差评定中旋转矢量无非负的要求，在用二阶段单纯形法求解时 需要消除自由变量，令X 1=X 1 -X 2 ' , X 2=X 3X 4 其中X 1' >0, X 2 ' >0. X 3 ' >0. X 4 ' >0则此时的X 1, X 2

9、值可正可负，为了与前面变量的代号保持一致，用X 1, X 2, X 3, X 4代替X 1' , X 2 ' , X 3原线性规划模型可表示为min Z =X 0+C 1X1-C 1X 2+C 2X 3-C 2x 4 s. t. a p 1(X 1-X 2 +a p 2(X 3-X 4 < b p p =1, 2,ua q 2(X 1-X 2 +a q 2(X 3+X 4> b q q =u +1, u +2,n(7X i > 0, i =1,2, 3, 4.在具体计算平面度误差是，为了计算方便，可以简化约束条件.将约束点选为代 表性较强的一些次高点 W pq

10、和次低点W ij ,来减小约束方程的数目，使结果的计算 速度加快.另外,本文建立的目标函数中X 0的值与所要求的平面度误差值的大小有直接的关系，因而在用标准线性规划二阶段单纯形解法程序求解时，可先输入X 0的值，待计算出X的最优点X 3后再求目标函数的值Z =X 0+Z 3即可.3计算实例被测实际轮廊面上各测量点的测量值如表2,求平面度误差值.王瑞平面度误差线性规划模型的建立与求解11表2平面度误差测量值单位：ym015204518161661203017122231516根据文中建立的线性规划数学模型，对本例建立如下的规划：表中的最高点为 W 13,最低点为 W 00,代入式(7可得目标函数

11、min Z=61+3(X 1-X 2 (X 3-X 4由表中的次高点 W 03, W 21, W 31;次低点 W 30, W 23建立约束条件如下:s. t.-X 3+X 4 < 16-2X 1+2X 2+X 3-X 4 < 3-X 1+X 2+X 3-X 4 < 19BX 3+3X 4 邃3X 1-3X 2+2X 3-21求得最优值Z =4.本文建立的数学模型的形式与标准线性规划的形式基本相同，它是严格按照误差定义来处理的，不存在由评定方法 引起的误差，并且在求解时应用二阶段单纯形法不存在给定精度的问题 .为进一步验 证本算法的计算精度，又对下面五组数据进行了计算，平面度

12、误差测量数据(单位：卩m数据13454342311222数据2256895789126789117767976668数据3-64150-64138-67126-81117-38129-65150-63157-38149-85126-41154-24106-35115-54109-31124-22125-77110-62134-61111-19197-36100数据4-8218-7815-7310-8418-8211-7315-7217-4110-7817-7415-7116-7519-7819-7114-7419-7416-7610-74-7919-7415（下转16页616辽宁师专学报200

13、1年第3期此例说明复合函数可积但构成它的内、外函数均可以是不可积函数综合以上例4、例5、例&例7可得出这样的结论：两个函数的可积性对于由它们 构成的复合函数的可积性而言即非充分也非必要注见刘玉链，傅沛仁编：数学分折讲义上册第333页练习题8. 2第13题.参考文献：1 刘玉链，傅沛仁.数学分析讲义（上册M.北京:高等教育出版社，1981.2 klambauer , G.数学分析M.上海:上海科学技术出版社,1981.（责任编辑任冬（上接11页数据50018111941016131818110171-7138-6165-5124-3117-01821190-14166-13193- 12

14、129-10122-71-51-2110-2056-1853-1665-26103-24109-21186119-1-31142-191-1- 18126-1331-27190-24150-2210424-16-05-3166-3166-2811-2543-43193-43141-41193-37113-37113-33168-31171结果如表3所示.表3平面度误差计算结果单位：ym数据组最小二乘法步长加速法特征点法线性规划法12. 361.98001.96111.961225. 904. 86874. 86364. 863830. 190. 17560. 14650. 1465443. 8141. 8541.8341. 8459. 2108. 7648. 765从表3的计算结果可以看出，线性规划法的计算结果与特征点的计算值很接近， 说明了用线性规划法可以解出平面度误差的较为准确的值，表明了本文建立的模型和算法可靠参考文献：1 薛嘉庆.最优化原理与方法M.北京:冶金工业出版社，199212 刘平.最小条件平面度误差快速精确算法J1仪