多元函数极限与连续ppt课件

1、数学分析复习二）数学分析复习二）多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续一、多元函数的极限一、多元函数的极限定义定义 设设D DRn,f:DR.Rn,f:DR.点点aRnaRn是是D D的一个聚的一个聚点点(aD),sR.(aD),sR.假如假如0,0,0,0,当当x xD D及及则称函数则称函数f f在点在点a a处有处有( (重重) )极限，极限，或当或当x x趋于趋于a a时时,f(x),f(x)趋于趋于s,s,记作记作或或|f(x)-s|f(x)-s|0,M0,P0P0的一个的一个空心邻域空心邻域使当使当PP),(0DD时时, , ,则称则称f f在在D D上当上当PP0PP0时，存在

2、非正常极限时，存在非正常极限+，记作，记作),(0:)(lim0,PfPPDP:)(lim0,PfPPDP无穷小量的定义与性质无穷小量的定义与性质.命题：命题： 设设D DRn,f:DR.Rn,f:DR.点点P0(x0,y0)RnP0(x0,y0)Rn是是D D的一的一个聚点个聚点(P0D),AR.P(x,y) D(P0D),AR.P(x,y) D使当, 0, 0)(lim0, sPfPPDP时有 |0 ,|000yyxx |)(|APf),(),(lim)(lim000,DyxAyxfAPfyyxxPPDP 可写作 :),(lim) 1 (),(),(Ayxfyx :),(lim)2(),

3、0(),(Ayxfyx, 0, 0:),(lim)3(),(),(Myxfyx :),(lim)4(), 0(),(yxfyx|),(|Ayxf有时使当，MyMxM, 0, 0有时使当，MyxM,|0, 0, 0, 0|),(|AyxfMyxfyx),(,时使当有时使当，MyxM,|0, 0, 0, 0Myxf),(性质性质:(1)四则运算法则四则运算法则(2)归结原理归结原理(3)唯一性、局部有界性、局部保号性唯一性、局部有界性、局部保号性(3)无穷小量性质无穷小量性质如何求多元函数的极限？如何求多元函数的极限？（1 1由定义求多元函数的极限。由定义求多元函数的极限。 例例1 1 证明证明:

4、 :0.2222(0,0),(证明证明: :222222|)(41)4()(2222222取时有当),( ,2222例例2 证明证明:. 311lim3yxyyx:证明1331311yyxyyxy) 1(4|3|14)3(yyxyxy, 08, 02, 0M取，Myx时当,|3|022311yxy例例3 证明证明:yxyx21lim21证明：证明：, 0M|2| 1|2| )2() 1(2|2|yxyxyx时当取|2|0 ,| 1|0, 041yxMMMMyx14121|2|此时，此时，Myx21yxyx21lim21(2)(2)利用极限的四则运算和复合运算求极限利用极限的四则运算和复合运算求

5、极限. .0limlim)(lim00(0,0),(yxyxyxyx112222(0,0),(1)11)(1(1)1)(22222222(0,0),(21122(0,0),(经变形后经变形后)11lim00 xyxyyxxyxyxyyx) 11(lim00) 11)(11() 11(lim00 xyxyxyxyyx211) 11(lim00 xyyxyxxyxx221lim0yxxxyxx22021lim22lim2021limexyxxxxyx(3)化为一元函数求极限.)(0,0),(如)(22)(limyxyxeyxuuyxyxyxeueyxeyx2)(2)(22)()(002lim2li

6、mlim2uuuuuueeueu0)(lim)(22yxyxeyx(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0r0,y0.x0,y0.于是于是 xyxyyxyxyx11212022所以, 01121lim xyyx0lim22 yxyxyx例例 求求.lim22xyxyxxy 解：解：)0, 0(21022 yxyxxyxx所以0lim22 xyxyxxy例例 求下列极限：求下列极限：（1 1）223limyxyxyxyx|lim00yxxyyx|21|2|yxyxyxyxxy可设可设2x4,|y|8.2x4,|y|8.6|2|)|6(|216|44|2222yyyyyyyyxyxyx0sin

7、coslimlim)2(2002200rryxxyyxyx3111lim11lim33yyxyxyyxyx)(01sin)(lim2200无穷小量与有界量之积yxyxyx3sinlimsinlim3030yxyxyxxyyxyx22)(lim2200yxyxyx )ln()ln(222222yxxyxyyxyx| )ln()(|212222yxyxxy0)ln(lim2222)0, 0(),(yxyxyx, 011lim1lnlimlnlim)ln()(lim20002222)0, 0(),(zzzzzzyxyxzzzyx)0 , 0(),(022yxyxz设例例 证明下列极限不存在证明下列极

8、限不存在:(:(利用归结原理的推论利用归结原理的推论) )0) 1(lim)(limlim) 1 (32034332342033220343xxxxxxxxyxyxxxxxxy;lim) 1 (332200yxyxyx kxyxxy ;343取;tan)1ln(lim)2(00yxxyyx .),1(tanxyxxy 取2233322033220limlim) 1 (kxkxxkxyxyxxxkyx20)1(tan0)1(arctan1ln(lim) 1()1(arctan1ln(lim)2(xxxxxxxxxxxxxyx20) 1(arctanlimxxxxxxxxx) 1(arctanli

9、m01) 1(112lim220 xxxx0tanarctanlimtan)arctan1ln(lim)2(00 xxxxxxxxxxyx二、多元连续函数二、多元连续函数 定义定义 性质局部性质与有界闭集上的连续函数性质局部性质与有界闭集上的连续函数的性质）的性质） 一致连续一致连续 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 ( (二二) )多元函数连续的定义多元函数连续的定义 定义定义 设设f f 是定义在点集是定义在点集D DRnRn上的上的n n元函数，元函数， P0DP0DP0P0或者是或者是D D的聚点，或者是的聚点，或者是D D的孤立点）。的孤立点）。 假设假设0,0,

10、= =(P0, (P0, )0,)0,只要只要P PU(P0,U(P0,) ) D,D,就有就有| )()(|0PfPf则称则称f f关于集合关于集合D D在点在点P0P0连续，简称连续，简称f f在点在点P0P0连续。连续。若若P0P0是是D D的孤立点，则的孤立点，则P0P0必为必为f f关于关于D D的连续点的连续点; ;若若P0P0是是D D的聚点的聚点, ,则则f f在在P0P0点连续，要求满足：点连续，要求满足：(1)f(1)f在在P0P0点有定义点有定义f(P0);f(P0);(2)(2);)(0,存在(3)(3).f(P)(0,0若若f f在在D D上每一点都连续，则称上每一点

11、都连续，则称f f在在D D上连续。上连续。如果如果P0P0是是D D的聚点，而的聚点，而)f(P)(0,0不成立，不成立，则称则称P0P0是是f f的不连续点或间断点）。的不连续点或间断点）。特别，当上式左端的极限存在但不等于特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),f(P0),称称 P0P0是是f f的可去间断点。的可去间断点。P.136:P.136:第第1 1题题: :讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性: : 0, 00),ln(),()6(2222222yxyxyxyyxf22222220022200)ln()(lim)ln(lim:yxyyxyxyxyyxyx 解0)ln(

12、)(lim222200 yxyxyx而而及及, 1222 yxy所以所以处处连续),0 , 0(0)ln(lim22200fyxyyx ;sinsin1),()7(yxyxf 在定义域上连续;),()8(yxeyxf 在定义域上连续第第9题题:设设f在在R2上连续，且上连续，且.,),(lim22yxrAyxfr 证明: (1)f在R2上有界；（2f在R2上一致连续。.,),(lim22yxrAyxfr, 1|),( Ayxf证明：由于证明：由于存在存在M0,使当使当rM时有时有 而当而当x2+y2M2,在此有界闭区域上在此有界闭区域上,连续函数连续函数f有界，即有界，即 )(),(222My

13、xKyxfWyxfRyx| ),(| ,),(2取取W=max|A|+1,K,那么那么, 0, 0R， 由柯西准则| ),(),(),(2211RryxDyxyx),10(,),(),(2211Wyxyx),(),(2211yxfyxf2| ),(222RryxyxW（2）当在有界闭区域当在有界闭区域上函数上函数f一致连续。一致连续。时有当),(),(2211yxyx再证再证f 在在R上一致连续上一致连续.),(),(2211yxfyxf),10(,),(),(22211取上述RyxyxW，yxyxDyxyx，yxyx),(),(),(),(),(),(221122112211或只能是时当则如否则D，yxWyx，),( ,),(2211. 2),(),(2211yxyx都有时或当，WyxyxDyxyx),(),(),(),(22112211),(),(2211yxfyxf从而从而,f 在在R上一致连续上一致连续.第第6题：设题：设f(x,y)在开集在开集GR2上对上对x连续，对连续，对y满满足足Lipschitz条件：条件：| ),(),(|yyLyxfyxf .,),(),(上处处连续在试证是常数其中GfLGyxyx 证明：证明