矩阵的特征值与特值向量大学数学教案2_第1页
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1、第二节 矩阵的特征值与特征向量分布图示 特征值与特征向量的概念例 1 例 2 例 3例 4 例 5 特征值与特征向量的性质(1 ) 例6 特征值与特征向量的性质(2 )例7 例8 定理 1例9 例10例 11 内容小结课堂纟东习习题 4-2内容要点一、特征值与特征向量定义 1 1 设A是n阶方阵，如果数和n维非零向量X使AX 二 X成立，则称数为方阵A的特征值，非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量（或称 为A的属于特征值的特征向量）注：1.n阶方阵A的特征值 就是使齐次线性方程组（-A）X =0有非零解的值，即满足方程|，E -A|=0的都是矩阵A的特征值称关于九的一元n次方程|AE-A|

2、=0 为矩阵A的特征方程，称X的一元n次多项式 仙井-A|为矩阵A的特征多项式根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设二 i 为方阵A的一个特征值，则由齐次线性方程组（iE A）X =0可求得非零解 p，那么 Pi就是A的对应于特征值 二的特征向量，且A的对应于特征值i的特征向量全体是方程组（iE_A）X=：0 的全体非零解。即设Pi，P2，：Ps为（iE-A）X=：0的基础解系，则A的对应于特征值 1 的特征向量全体是P 二 Bik?P2ksPs(匕，不同时 0).、特征值与特征向量的性质性质 1 1n阶矩阵A与它的转置矩阵 AT有相同的特征值性质 2 2 设 A=j)是 n 阶矩阵，贝 U

3、(n、*nL.nk_n_kn=k - Y aii见+(_1)Sk人+ +(_1)| A |Z 丿其中 Sk 是A的全体 k 阶主子式的和.设冶肚入是A的n个特征值，则由n次代数方程的根与系数的关系知，有(1) 2n Fn a22 Qn；(2)，1 2 n=|A|其中A的全体特征值的和 a11- a2亠 ann称为矩阵A的迹，记为 tr(A).性质 3 3 设 A =)是n阶矩阵，如果n(1)、|aj|：1(i =1,2,n)j二或n(2) jaj| 1( j =1,2, n)i=1有一个成立，则矩阵A的所有特征值：的模小于 1,即|打|：1 (i =1,2/ , n)定理 1 1n阶矩阵A的互不相等的特征值1,，m对应的特征向量 P1,P2,，Pm线性无关注：1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的；2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量_aii-a2if ( ) =1，E -A|a12 - a 22-an1an2_ a1na2n_ann3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向

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