Mathematica初等代数运令与例题

1、第三章 初等代数运算命令与例题多项式是我们最熟悉的简单表达式，n 次一元多项式的一般形式为:Pn(x) =a 0 +a1x+ a2x 2 +a nx n在Mathematica 中, 有关表达式的任何运算都可以应用到多项式中，特别，多项式的加减乘除四那么运算只要用Mathematica 中的加减乘除号来连接两个多项式即可, 如: 数学形式 Mathematica 输入形式 多项式相加 (3+x 2) + (1-2x5 ) (3+x2)+(1-2*x5) 多项式相减 (3+x 2) - (1-2x5 ) (3+x2)-(1-2*x5) 多项式相乘 (3+x 2)(1-2x5 ) (3+x2)*(

2、1-2*x5) 多项式相除 (3+x 2) ÷ (1-2x5 ) (3+x2)/(1-2*x5)上述多项式的运算只有多项式的加减可以计算外，多项式的乘除实际上不进行真正的运算，而只是以乘积或有理分式的形式表出，要想真正产生运算需用 Mathematica 提供的多项式展开命令。Mathematica 提供还提供了多项式因式分解，提取多项式幂次和系数等处理多项式的一些函数，下面列举其中的常用函数及功能:Mathematica 函数形式 功能1) Expand多项式 把多项式按升幂展开2) Factor多项式 对多项式进行因式分解3) Collect多项式,x 把多项式按x的同次幂合并形

3、式展开4) Simplify多项式 把多项式写成项数最小的形式5) Exponent多项式, x 取出多项式中x的最高幂数6) Coefficient多项式,form 取出多项式中form的系数7) Part多项式, n 取出多项式的第n项8) Length多项式 给出多项式的项数9) PolynomialQuotientp,q, x 计算p÷q的商,这里p,q是关于x的多项式10) PolynomialRemainderp,q, x 计算p÷q的余式,这里p,q是关于x的多项式11) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最大公因子12) Polynomi

4、alGCDp,q, 求多项式p,q,的最小公倍数注:函数中的多项式可以是多元多项式，通常可以把多项式存放在一个变量中(用赋值语句)，这样该变量就代表存入的多项式，使处理多项式更简单。 例题例1. 展开多项式(2+3x)4，并取出它的第3项。解: Mathematica 命令为: In1:= p=Expand(2+3x)4Out1= 16 + 96 x + 216 x 2 + 216 x 3 + 81 x 4In2:= Partp, 3Out2= 216 x 2例2. 设多项式q=(1+2x - y) 2，做1 展开多项式q 2 按y的同次幂合并形式展开多项式q 3 取出多项式q中y和xy的系数

5、解: Mathematica 命令为: In3:= q=Expand(1+2x - y)2Out3= 1 + 4 x + 4 x 2 - 2 y - 4 x y + y 2 In4:= Collect(1+2x-y)2, y Out4= 1 + 4 x + 4 x 2 + (-2 - 4 x) y + y 2In5:= Coefficientq, yOut5= -2 - 4 xIn6:= Coefficientq, x*yOut6= - 4 例3. 对多项式120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4进行因式分解。解: Mathematica 命令为: In7:= Facto

6、r120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4Out7= (-3 + x) (-2 + x) (4 + x) (5 + x)例4. 设多项式p=1 - 4x - 19 x 2 + 4 x 3，q=1 - 3x ，1)计算p÷q的商； 2) 计算p÷q的余式 解: Mathematica 命令为: In8:= p=1-4x 19x2+4x3; q=1-3x;In9:= PolynomialQuotientp, q, xOut9= 89/27+ 53 x/9 - 4 x2/ 3 In10:= PolynomialRemainderp, q, xOut10= -62/2

7、7例5. 设多项式p=120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4，q=20x+9x2+x 3 1)求多项式p，q的最大公因子； 2) 求多项式p，q的最小公倍数 解: Mathematica 命令为: In11:= p=120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4; q=20x+9x2+x3; In12:= PolynomialGCDp, q Out12= 20+ 9 x + x 2 In13:= PolynomialLCMp, q Out13= 120 x - 46 x2 - 19 x3 + 4 x 4 + x 5 两个多项式相除构成有理函数，它的一般形式为:在

8、Mathematica 中提供了有理函数运算的一些函数，常用的函数有:Mathematica 函数形式 功能1) Togetherexpr 对expr进行通分2) Apartexpr 把expr写成简单分式之和3) Cancelexpr 对expr进行约分 4) Simplifyexpr 对expr进行化简5) Numerator有理函数 取出有理函数的分子6) Denominator有理函数 取出有理函数的分母注:函数中的expr是有理函数或有理函数之和，通常可以把有理函数存放在一个变量中(用赋值语句)，这样该变量就代表存入的有理函数，使处理有理函数更简单。 例题例6. 设有理函数之和为1)

9、对r(t)通分； 2) 取出r(t)的分子； 3) 取出r(t)的分母解: Mathematica 命令为: In14:= r=6/t-3/(1+t)- (3t+3)/(1+t2);In15:= s=Togetherr *将通分得到的有理函数存放在变量s中In16:= Numerators Out16= 6In17:= Denominators Out17= t (1 + t) (1 + t )2 例7. 设有理函数为1) 把q(x)写成简单分式之和； 2) 对qx进行约分； 3) 对q(x)进行化简 解: Mathematica 命令为: In18:= q=(1-x2) /(9+21x+16

10、x2+4x3);In19:= Apartr In20:= CancelqIn21:= Simplifyq 连续求和与连续求积运算在数学中，有时需要计算n个有规律的数相加或相乘，这就是数学中由符号å表示求和运算和由符号Õ表示的求积运算，即:上式中 a i 称为通项.Mathematica 提供了这种快速求和和求积运算命令。3 连续求和命令连续求和命令的一般形式为 Sum 通项, 求和范围 或NSum 通项, 求和范围 式中的范围与第一章的建表函数Table相同，具体形式有4 命令形式1: Sumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：计算和 f(imin) +f(i

11、min +h)+f(imin +2h)+f(imin +nh) imax h £ imin + nh £ imax , h>0 例如：计算和12 +3 2 + +19 2 , 由连加的规律, 知通项为i2 Mathematica命令： In22: = Sum i2 , i , 1, 19 , 2 Out22= 1330 5 命令形式2: Sum f(i) , I，imin，imax 功能：计算和 f(imin) +f(imin +1)+f(imin +2)+f(imax) 例如：计算 Mathematica命令：In23: = s=Sum1/(k2-1), k, 3

12、, 20 Out23=103/2806 命令形式3: Sum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax功能：计算二重和式 例如 ：计算 Mathematica 命令: In24: =Sum(i-j)3, i, 1 , 20, j, 1 , 10 Out24= 149500 注意: 1) 在上述所有命令之前再加大写英文字母“ N ，既将原来的“Sum改为“NSum就得到Mathematica的另外一组求和命令，这组命令总可以计算出和的(近似)结果，而前者不有时得不出结果;2) NSum命令可以求无穷级数的和;3) 可以用Sum命令自动生成有规律的多项式例题: 例8. 计

13、算解: Mathematica 命令为: In25: = s1=SumSink, k, 1 , 5 Out25= Sin1 + Sin2 + Sin3 + Sin4 + Sin5 *没有给出s1计算结果 In26: = s1=NSumSink, k, 1 , 5 Out26= *给出s1有六位有效数字的计算结果 In27: = s2=NSum1/k2 , k, 1，Infinity Out27=例9. 设用Sum命令生成s1(x), s3(x), s6(x),并在同一个坐标系中画出s1(x), s3(x), s6(x)在-1,1上的图形解: Mathematica 命令为: In28:= s1

14、=Sum(k+1)*xk, k, 0, 1Out28=1+2xIn29:= s3=Sum(k+1)*xk, k, 0, 3Out29=1+2x+3x 2+4x3In30:= s6=Sum(k+1)*xk, k, 0, 6Out30=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6In31:= Plots1,s3,s6,x,-1,1 Out31=-Graphics- 3.3.2 连续求积命令求积命令的一般形式为 Product 通项, 求积范围 或NProduct 通项, 求积范围 式中的范围与求和命令Sum相同,具体形式有7 命令形式1: Product f(i) , i ，imin，im

15、ax，h 功能：计算和 f(imin)´f(imin +h) ´f(imin +2h) ´´f(imin +nh) imax h £ imin + nh £ imax , h>0 例如：计算和12´32´ ´19 2 , 由连乘的规律, 知通项为i2 Mathematica命令： In32: = Product i2 , i , 1, 19 , 2 Out32= 8 命令形式2: Product f(i) , i ，imin，imax 功能：计算和 f(imin) ´f(imin +1)

16、´f(imin +2) ´´f(imax) 例如：计算 Mathematica命令：In33: = s=Product1/(k2-1), k, 2 , 15 Out33= 1/9 命令形式3: Product f(i , j)，i，imin，imax, j ，jmin，jmax功能：计算二重和式 注意: 在上述所有命令之前再加大写英文字母“ N ,既将原来的“Product改为“NProduct就得到Mathematica的另外一组求积命令,这组命令总可以计算出乘积的(近似)结果,而前者不有时得不出结果。例题: 例10. 计算解: Mathematica 命令为:

17、 In34: = s=ProductCosk, k, 1 , 4 Out34= Cos1 Cos2 Cos3 Cos4 (*没有给出s计算结果 In35: = s=NProductCosk, k, 1 ,4 Out35= (*给出s有六位有效数字的计算结果 3.4方程求根在数学中, 函数等于零的式子就称为方程。令一元函数fx等于零: fx= 0 (1)就称为一元函数方程，它是研究较多的方程。当f(x)不是x的线性函数，那么称(1)为非线性方程，特别，假设f(x)是n次多项式，那么称(1)为n次多项式方程或代数方程，否那么称(1)为超越方程。类似的有多元函数方程组: ¦1(x1 ,x2

18、 , ,x n) = 0 ¦2(x1 ,x2 , ,x n) = 0 . (2) ¦n(x1 ,x2 , ,x n) = 0这里, ¦i(x1 ,x2 , ,x n)是多元函数,有关多元函数方程组也有类似的概念。式(1)或(2)中,使函数¦(x)取0值的点称为方程(1)或(2)的根或函数的零点。实际问题中，经常遇到需要求方程根的问题，Mathematica 提供了一些命令可以方便地解决这些求根问题。3.4.1 求多项式方程的根 n次多项式方程的一般形式为:a0 +a1x+ a2x 2 +a nx n = 0式中a0 ,a1, a2,a n为常数。 理论上

19、已证明，n次多项式方程有n个根, 且对于次数n£4的多项式方程，它的根可以用公式表示，而次数大于5的多项式方程，它的根一般不能用解析表达式表示。因此，在Mathematica中，对于次数n£4的多项式方程，可以快速求出所有的根准确形式，但对次数n>4的多项式方程，就不一定能求出所有根的准确形式，但可以求出所有的根近似形式。求多项式方程的根的一般形式为 Solve 方程或方程组, 变量或变量表 或NSolve 方程或方程组, 变量或变量表 具体形式有10 命令形式1: Solveeqn, x功能：求多项式方程eqn的所有根，当多项式方程的次数n£4时，给出eq

20、n所有根的准确形式, 当n>4时，不一定能求出所有的根, 此时，命令输出形式为 ToRulesRootseqn, x 11 命令形式2: Solveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多项式方程组eqn1, eqn2, , eqnk的所有根, 当其中每个多项式方程的次数n£4时, 给出所有根的准确形式, 否那么，不一定能求出所有的根, 此时，命令输出形式为ToRulesRootseqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 。 12 命令形式3: NSolveeqn, x功能：求多项式方程eqn的所有根的近似形式。 13 命令形式

21、4: NSolveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多项式方程组eqn1, eqn2, , eqnk所有根的近似形式。注意:上面命令中的多项式方程中的等号要用两个等号，且在命令1和命令2的方程中可以出现非变量的字母，但在命令3和命令4的方程中不能出现非变量的字母，只能出现变量和具体数字。例题:例11. 求方程 x3 -4x 2 +9x - 10 = 0 的所有根 解: Mathematica 命令为: In36: = Solvex3-4x2+9x-10=0 , xOut36= x -> 1 - 2 I, x -> 1 + 2 I, x ->

22、2所以，所求全部根为 x1=1-2I，x2=1+2I ， x3=2， I为虚数单位。例12. 求方程x 2 -ax - 4b=0的所有根，a，b 为常数。 解: Mathematica 命令为: In37: = Solvex2-a*x-4*b=0 , x a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6bOut37= x -> -, x -> - 2 2所求全部根为 a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6b x1= -, x2 = - 2 2例13. 求方程组 x+3y=0 x2+y2=1的所有根。 解: Mathematica 命令为: In38

23、: = Solvex+3y=0,x2+y2=1, x, y Out38= -3 1 3 1 x -> -, y -> - , x -> -, y -> - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10所求全部根为 -3 1 3 1x1= - , y1= -, x2= - , y2= - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10例14. 求方程 x6 -x2 +2x - 3 = 0 的所有根。 解: Mathematica 命令为: In39: = Solvex6-x2+2x-3=0 , xOut39= ToRulesRoots2

24、x x2 + x6 = = 3, x *说明求不出准确根,改用NSolve命令In40: = NSolvex6-x2+2x-3=0 , xOut40= x -> -1.40825, x -> -0.465869 - 1.19413 I, x -> -0.465869 + 1.19413 I, x -> 0.608047 - 0.885411 I, x -> 0.608047 + 0.885411 I, x -> 1.12389 得所求全部6个近似根为 x1=-1.40825, x2=-0.465869- 1.19413 I, x3=-0.465869 + 1

25、.19413 I, , I为虚数单位。例15. 求方程组 a1+a2=1 x1 a1+x2a2=1/4 x12a1+x22 a2=1/9 x13a1+x23 a2=1/16的所有根，这里x1 ，x2，a1，a2 是变量。解: Mathematica 命令为: In41:=Solvea1+a2=1,x1*a1+x2*a2=1/4,x12*a1+x22*a2=1/9, x13*a1+x23*a2=1/16, a1,a2,x1,x2 212 - 9 Sqrt106 212 + 9 Sqrt106 Out41= a1 -> -, a2 -> - , 424 424 15 - Sqrt106

26、 180 + 12 Sqrt106 x2 -> -, x1 -> -, 42 504 212 + 9 Sqrt106 212 - 9 Sqrt106 a1 -> -, a2 -> -, 424 424 15 + Sqrt106 180 - 12 Sqrt106 x2 -> -, x1 -> -14 504In42: = N% *显示根的近似形式 Out42=a1 -> 0.281461, a2 -> 0.718539, x2 -> 0.112021, x1 -> 0.602277, a1 -> 0.718539, a2 ->

27、; 0.281461, x2 -> 0.602277, x1 -> 0.112021In43: = N%, 8 *显示根取8位有效数字的近似值Out43= a1 -> 0.28146068, a2 -> 0.71853932, x2 -> 0.11202181, x1 -> 0.60227691, a1 -> 0.71853932, a2 -> 0.28146068, x2 -> 0.60227691, x1 -> 0.112021813.4.2 求超越方程的根 超越方程是除了多项式方程的之外的函数方程，它通常不容易求出全部根和准确根，而是采用数值方法去求近似根，对方程组情况可能连近似根也求不出，因为，非线性方程组的求解还有很多问题没有解决。在Mathematica中，求超越方程的根的一般形式为 FindRoot 方程或方程组, 变量或变量表, 初值 具体形式有15 命令形式1: FindRooteqn, x, x0功能：求方程eqn的在初值x0附近的一个近似根。 16 命令形式2: FindRooteqn1,eqn2, . , x, x0, y, y0, . 功能：求方程组eqn1, eqn2, 在初值(x0,y0,)附近的一个近似根。 注意:如果要求某一个超越方