数列的概念与简单表示法

1、第一节数列的概念与简单表示法【最新考纲】1了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.夯实双基|基础梳理1. 数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做 这个数列的项.2. 数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的 大小关系递增数列其中递减数列。卄1冬常数列&卄an3. 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图表法和解析法.4. 数列的通项公式如果数列a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5. 数列的递推公式如

2、果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始 的任一项 a与它的前一项 a-1(或前几项)间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6.a与Sn的关系若数列a的前n项和为Sn,通项公式为a,S1,(n = 1),贝S a ="SnSn_i,( n>2).学情自测1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” )(1) 所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一 个.()(3) 如果数列 On的前n项和为Sn，则对？ n N*，都有1 = Sn+1 _

3、Sn()1(4) 若已知数列a的递推公式为 a+1士 _ 1，且a = 1,则可2 a 1以写出数列 an的任何一项.()答案：(1)X (2)V (3)V (4)V2 .设数列 an的前n项和Sn = n2,贝S a的值为()A. 15B. 16C. 49D. 64解析：当 n = 8 时，a = S8_ S7= 82 72= 15.答案：A3. 对于数列a, “ai>la|（n= 1, 2,）”是“ a为递增数 列”的（）A .必要不充分条件 B.充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：当ai>|a|时,T|a|a,a+ i>a,a是递增数列.当a=十

4、时，数列 a是递增数列，但a+1< |a|答案：B4. 把1, 3, 6, 10, 15, 21,这些数叫做三角形数，这是因 为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如下图）.12 / 9则第7个三角形数是（）A. 27 B. 28 C. 29 D. 30解析：由图可知，第7个三角形数是1 + 2 + 3+4+5+6 + 7= 28.答案：B5. （2017唐山调研）数列 a满足:1,且当n> 2时，a =a1，贝S a=，解析：因为a=1,且当n> 2时，a=n a-1,则亠=畔所以 as=- - - a a =4x3xfx2X1= ca1 na a a a 54325答案：

5、1名师微博通法领悟一两种关系1. 数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注 意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.Sn( n = 1),°° _Sn Sn-152)三种方法由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是：1 .a+1 a= f(n)型，米用叠加法.2. °° 1 = f(n)型，采用叠乘法.a3.a+1= pa+ q(pz0,1)型，转化为等比数列解决.鑫盒型盘高效提能I分层棊训I单聽咸册一、选择题1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 ()1 1 1a. 1, 2, 3, 4,B.- 1, 2, 3, 4

6、,C -1 -1 1 1 C -'， 24 8?D 1,2,3,，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项 A、B、C,属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项 C.答案：Cn12.若Sn为数列a的前n项和，且Sn = ni，则a等于（）130D. 30nn 11解析：当 n>2 时，a = Sn Sn 1= n =，所n+ 1 n n (n +1)以=5X 6 = 30.a答案：D3. 若数列 an的通项公式是a n= ( 1)n(3n 2),则a+ a+ ao等于()A. 15 B. 12 C. 12 D. 15解析：由题意知，a+a + ao= 1 + 4 7+10

7、 + + ( 1)10X (3X 10 2)= ( 1 + 4) + ( 7 + 10) + + ( 1)9x (3X 9 2)+ ( 1)10x (3X 10 2)=3X 5= 15.答案：A4. (2017广东六校一联)已知数列a的前n项和Sn= n2 2n,则 a + ai8=()A. 36 B. 35 C. 34 D. 33解析：当 n>2 时，a = Sn Sn 1 = 2n 3,故 a+ a8= (2X 2 3)+ (2X 18 3)= 34.答案：C5, 设S = _3朋+ 15称一】乩则数列也計中的最大项的值是( )A.芋 B.斗 C. 4 D0/5 23解析：一J +y

8、由二次函数性质，得当n=2或3时，幻最大，最大为0.答案小6. 数列 a满足a= 2, cin= °° 1丄彳，其前n项积为Tn，则T2Cln+1 十 1丿B.1- 2CA.-D2C1- 2a+1 11 +cn解析：由a=，得a+1=，而a = 2,则有q= 3,Oi +1 + 11 Qi1 1 °2，°4= 3，05= 2，故数列a是以4为周期的周期数列，且a a aa= 1,504504所以 T2 017= (ac2 aa)a= 1 X 2 = 2答案：C、填空题11n27. 在数列一1,0, 9 »，"_">中，

9、008是它的第项.n 2解析：令 n2 = 0.08,得 2na=3( a a_ 1), Oi = 一 2 a_1，即=一 2, a_1 a是以1为首项，一2为公比的等比数列，a= 1X( 2)n_1,即 a=( 2)n_1.答案:(2)n 19. (2016太原二模)已知数列a满足a = 1, a_ a+1 = naa+1(n N*)，贝S a =.1111解析：由已知得，一=n,所以一 =n 1,a+1 aa a_1_ 25n + 50= 0,5 则(2n_ 5)(n 10)= 0,解得 n= 10 或 n = 2(舍去).,-d|0= 0.08.答案：102 18. (经典再现)若数列

10、a的前n项和Sn = J an + 3,则 a的通项公式是a=.2 1 解析：当 n = 1 时，S1 = 3$ + 3,a= 1.2 1 2 1'当 n> 2 时，a= Sn Sn_ 1 = 3 + 3(3 a _1 + 3丿1 - 1 = n-2,ai a-21111 n (n-1)11 =",所以cTn2 n+ 22所以Ch =2n2 n+ 2.，a-a=1所以a-a=答案：2 n2 n + 2三、解答题10 .数列 an的通项公式是an= n2 7n+ 6(n Nan(n N ).(1)求 a1, C12, 03, 04 的值;求数列 Cn的通项公式.).(1)

11、 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项?(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当 n = 4 时，ch= 42 4X 7+ 6= 6.(2)令 Cn= 150,即 n2 7n + 6= 150,解得n = 16或n= 9(舍去),即150是这个数列的第16项.令 cn= n2 7n+ 6>0,解得 n>6 或 nv 1(舍).*nm,.数列从第7项起各项都是正数.1 111 .已知Sn为正项数列 Cn的前n项和，且满足Sn = ? £ + ?1 1解：(1 )由 Sn = 2+ qa(n N*)可得1 2 1 a = 2 a + 2 a，解得 a = 1;1 1S2 =