正方形与45°角习题

1、1 / 9例：已知如图，正方形 ABCD 中，/ EAF=45 求证：BE+DF=EF例：已知如图，正方形ABCD 中，BE+DF=EF 求证:/ EAF=452 / 9例：（2006 海淀毕业试题）已知如图，正方形 ABCD 中，/ EAF=45 AE、AF 分别与对角线 BD 交于 G、H 求证:BG2DH2GH2例：已知如图，正方形 ABCD 中，,AE、AF 分别与对角线求证：/ EAF=45 BD 交于 G、H,且AG2DH2GH23 / 9例如图：Rt ABC 中，/ C=90 ,AC=BC,E、F 分别在边 BG AC 上，E 为 BC 中点，F 为 AC 的三等分点，AE、BF

2、 交于点 D，求/ EDB 的度数例：（全国初中数学联赛试题）已知如图，正方形线段 EF、GH 分割成四个小矩形，若矩形试确定/ HAF 的大小，并加以证明。ABCD 被与两条边AB、BC 分别平行的PFCH 的面积恰好等于矩形AGPE 的面积的 2 倍,H4 / 95 / 9例（2009 东城期末 23 题）已知：正方形ABCD中，MAN 45,MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC转到BM DN时（如图 1），易证（1 ）当MAN绕点A旋转到BM的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2 ）当MAN绕点A旋转到如图 量关系？请直接写出你的猜想.（或它们的延长线） 于点M,N当MAN绕

3、点A旋BM DNMN.DN时（如图 2）,线段BM,DN和MN之间有怎样3 的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数图 2例（2011 西城期末 24 题） 形的两个外角，且满足填空：与 ABM 相似的三角形是 _数式表示）求MCN的度数；猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并 证明你的结论.已知:MAN如图，正方形 ABCD45，连结 MC, NC,C1)(2)(3)的边长为 a, BM，MN .BM DN=DN 分别平分正方;（用含 a 的代NM6 / 9如图10,在正方形A8CD中”血?二I壮基以点B为圆心.4/?长为半径的岡的一段弧点是边AD上的任竜一点点E与点仏2

4、)不贡合)* 过&作犹斯住圆的切线，交边 应于点片&为切点*(1)当护时*求证点&为线段EF的中点；(2)AE =XlFC =八求y羌于戈的函數解析式*井写出画数的定义威；将UEF沿宜纯&F翻折后得APEF如圉当F =时，讨论辺D与厶劭屮例(2010 海淀二模 24 题)如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A(0,1), B(1,0),M、N(不要求写自变量的取值范围)为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F,交直线EM于点P(x, y)，且SMPNSAEMSNFB（1）SAOBS矩形EOFP（填“ ”、“=”、“”

5、)，y与 x 的函数关系毘否相似.如果相似请加以证明油】果不相魅只褻求写出结论不藤求昌出理曲.7 / 9（2）当 x时，求MON的度数;2MON的度数为定值.yAMPEzOFBx(3)证明：(备用图)(备用图8 / 9例.（2011 东城一模 22 题）如图 1,在厶 ABC 中，已知/ BAC= 45 AD 丄 BC 于 D, BD = 2, DC = 3，求 AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识， 将图形进行翻折变换如图 1.她分别以 AB、AC 为对称轴， 画出 ABD、 ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得 到四边形AEGF 是正方形.

6、设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值.（1 ）请你帮小萍求出 x 的值.（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图 2,在厶 ABC 中，/ BAC = 30 AD 丄 BC 于 D, AD = 4.请你按照小萍的方法画图，得到四边形 AEGF，求 BGC 的周长.（画图所用字母与图 1 中的字母对应）24 题）.已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC 45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC,CD于点E、点F，联结EF , EQ.（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数， 若改变,写出它的变化范围（

7、直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ与厶AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.例如图，菱形 ABCD 中，/ BAD=120。，把一个锐角 为 60的三角板锐角顶点固定在点 A，旋转这个三角板,例： （2010 石景山一模绕顶点A逆时针旋转9 / 9BC、CD 交于 E、F，与 BD 交于 M、N , / EAF=60 .求证：DE+BF=AB若 DM=8 , BN=5，求证：MN=7是否存在某个时刻，线段 MN 是 线段 DM 和线段 BN 的比例中项？ 如果有，请说明是在什么情况下； 如果没有，请说明理由例（2011 北京市中考 24 题）在口ABCD中，/BAD的平

8、分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。（1）在图 1 中证明CE CF;（2） 若ABC 90,G是EF的中点（如图 2）,直接写出/BDG的度数；（3）若ABC 120,FG/CE,FG CE，分别连结DB、DG（如图 3）,求/BDG的度数。例（2011 海淀期末24 题）已知在口ABCD 中，AEBC 于 E, DF 平分 ADC 交线段 AE10 / 9于 F. (1)如图 1，若 AE=AD, ADC=60，请直接写出线段 CD 与 AF+BE 之间所满足的 等量关系；(2)如图 2,若 AE=AD，你在(1)中得到的结论是否仍然成立,若成立，对你的结论 加以证明，若不成立，请说明

9、理由;(3) 如图 3,若 AE AD =a b,试探究线段 CD、AF、写出你的结论解：(1)线段 CD 与 AF + BE 之间所满足的等量关系为图 2例(2012 海淀期末 25 题)如图 1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直 线I上，DE 2，AB 1将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M将 图 1 中的三角板ABC沿直线I向右平移，设C、E两点间的距离为k(1)当点C与点F重合时，如图 2 所示，可得 如 的值为DM(2)将图 2 中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图 3 所示，请补全图形，计算 如 的值；DM(3)将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 度，090,原题中的其他条件保持不变.计算如的值(用含 k 的代数式表示)DMBE 之间所满足的等量关系，请直接在平移过程中，如的值为DM(用含k的代数式表示)；图 111 / 912例(2012 西城期末 25 题)如图 1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y X bx c与x轴2交于 A、B 两点，点 C 是 AB 的中点，CD 丄 AB 且 CD=AB.直线 BE 与y轴平行，点 F 是射线BE 上的一个动点，连接 AD、AF、DF.(1)若点F的坐标为(