解三角形中相关的取值范围问题

1、解决与三角形相关的取值范围问题例1 ：在锐角VABC中，A 2B，则C的取值范围是_例2:若VABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A, B,C，则sin B cosB的取值范围是例 3:在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c，且 a cosC, b cos B, c cos A成等差数列。（1）求B的大小。（2）若b 5，求VABC周长的取值范围。例4：在VABC 中, a2 b2 c2 |ab，若VABC的外接圆半径为竽，则VABC的面积的最大值为例5： (2008,江苏)满足AB 2, AC .2BC的VABC的面积的最大值是例6 :已知角A

2、, B,C是VABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量(5，c°s 一)，且 m n8 2uA B rm (1 cos(A B),cos )， n(1)求 tan A tanB 的值。(2)求严si2nC2的最大值a b c通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1. 在VABC中，a 2,c 1，贝C的取值

3、范围为 2. 若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是3. 在RtVABC中，C -，且代B,C所对的边a,b,c满足a b xc,则实数x的取值范围为4. 在锐角VABC中，A 2B , AC 1，则BC的取值范围是5. 在锐角VABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记M cosAcosC，则M的取值范围是6. 已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是7 .已知VABC外接圆的半径为6 ,若面积svabc a2 (b c)2且 sinB si nC 4，贝U si nA, Svabc 的最大值为3亠亠irrur r8. 在 VA

4、BC 中，m(si nA,cosC), n(cosB,si nA),且 m nsi nBsi nC(1) 求证：VABC为直角三角形(2) 若VABC外接圆的半径为1，求VABC的周长的取值范围9. 在VABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知、2 sin A J3cos A(1) 若a2 c2 b2 mbc，求实数m的值(2) 若a . 3，求VABC面积的最大值。解决与三角形相关的取值范围问题例1:在锐角VABC中，A 2B，则c的取值范围是b解析：由 0 A 2B 且0 CA B -2 2得6c sinC sin3B sin 2BcosB cos2Bs in B ,2 ,B，所以

5、4cos B 1，4b sin Bsin Bsin B又 cosB (辽,乜)所以- 4cos2B 1 (1,2)22b点评：本题易错在求B的范围上，容易忽视“ VABC是锐角三角形” 这个条件。本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多 元为一元，体现了解题的通性通法。例2:若VABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为代B,C，则sin B cosB的取值范围是解析：由题设知b2 ac ， 又余2 2 , 2 a c b cosB2ac2 2a c ac 2ac ac 12ac2ac 2所以° B 3又 sinB cosB 2 sin（B）且44、2sin（

6、B -） （1, 一2即sinB cosB 的取值范围是（12点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例 3： 在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC,bcos B,ccos A 成等差数列。（1）求B的大小。（2）若b 5，求VABC周长的取值范围。解析：（1）由题意知 acosC ccosA 2bcosB，由正弦定理得sinAcosC sin CcosA 2sin BcosB所以 sin(A C) 2sin BcosB，于是 cosB 1 ,B 23(2)由正弦定理旦旦丄10，所以sin A si

7、n B sinCJ3a b c10 10 10 2 10-si nA 5in C 5 si n(A)si nA 5 10s in( A)33#33J36又由oA 得A2，所以2663a b c5 10sin(A -)(10,15。点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的例4:在VABC中，a2 b2 c2 2 ab，若VABC的外接圆半径为 二2，则32VABC的面积的最大值为2 2 2解析：又a2 b2 c2 -ab及余弦定理得cosC匕于3 '所以22sin C -32又由于 c 2RsinC 4，所以 c2 a

8、2 b2 2ab cosC 即 16 ab a2 b2 2ab3所以ab 12，又由于S 1absinCab ，故当且仅当a b 2.323时，VABC的面积取最大值4-.2点评：先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等 式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。例5：（2008,江苏）满足AB 2, AC 2BC的VABC的面积的最大值是 解析：设BC x，则AC，根据面积公式得 1ab BCsinB由余弦定理得cosB ABlABCBcAC24 x2( . 2x)24 x24x4x16代入式得 Svabc X,1 f ")2128 ( 4x由三角形

9、三边关系有,2x x 2且x 2,2x，所以Z 2 2 x 2 2 2，故当x 23时，Svabc取得最大值2、2。点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。例6 :已知角A, B,C是VABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量uAB r 5 AB ur r 9m (1 cos(A B),cos )， n (,cos)， 且 m n -2 8 2 8(1)求 tan A tanB 的值。（2）求 a； b2解析：由m （1曲血乙的最大值。ccos（A2 Acos 251 cos(A B)8即 cosAcosB 9sin A

10、sin B，所以 tan A tanBA B、 r 方 A BLr r 9 tB),cos )， n ( ,cos )， 且 m n 得2 8 2 8 旦 9，所以 4cos(A B) 5cos( A8B)，(2)由余弦定理得严sinC 2 a b c/A f tanA tanB 9“ Atan(A B)(ta nA1 tan A tan B 8即tan(A B)有最小值-，又tanC4abs inC2abcosC9tan B)-8tan (A19-ta nC，而22 tan AtanBB），所以tanC有最大值-（当且仅当tan A tanB -时取等号）434所以严si严2的最大值为3a2

11、 b2c28通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1在VABC中，a 2,c 1，贝C的取值范围为 2. 若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是3. 在RtVABC中，C -，且代B,C所对的边a,b,c满足a b xc,则实数x的取值范围为4. 在锐角VABC中，A 2B

12、, AC 1，则BC的取值范围是 5. 在锐角VABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记 M cosAcosC ,则M的取值范围是6. 已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7 .已知VABC外接圆的半径为6 ,若面积Svabc a2 (b c)2且sin B si nC 4，贝U si nA , SVABC 的最大值为3urur r8. 在 VABC 中，m (si nA,cosC), n (cosB,si nA),且 m n si nB si nC(1) 求证：VABC为直角三角形(2) 若VABC外接圆的半径为1，求VABC的周长的取值范围9. 在VABC中A,B,

13、C所对的边分别为a,b,c，已知 2sin A 3cosA(1)若a2 c2 b2 mbc，求实数m的值(2)若a -,3，求VABC面积的最大值。参考答案111. sinC sin A ,C (0,2262. (2,)3.(i, 2BC理匹sin Bsin2Bsin B1 知 6 B 4(2一 3), 由正弦定理2cosB5.易知B3，Ac23rt r2则 M cosAcosC cosAcos( A)1 cos2 A2.3sin A cos A2cos A 143 si n2A41严2A舌)M si n(2A2231 12,42A2 76.设1,3,a所对的角分别为代B,C ,由二角形二边关

14、系有1 3 a,1 a 3且 3 a 1，故 2 a 4，易知 BA，要保证VABC为锐角三角形,只需cosB 0,cosC0,即12 22a 32 1 a,2八220 且 13?-2 1 30 ,解得7 .由 SVABC(b c)2得 a2 b2号）由余弦定理得a2b22bccosA ,2 ,sin A c、c bc( 2)2si nA 小 A 故有 22cos A ,2易得A为8s"A故有 s"A 17则bc 2R(si nBsinC)12 -3161, sin A bc、24 一SVABCbcsin A)26422 (217锐角，且4 2sin A4cos2 A ,即

15、 17si n2 Asin2 A425617（当且仅当bc 8时取等256由 a2 c2.222b2 mbc得 b2bc即Svabc的最大值为17errurr8. ( 1) 由 m (si nA,cosC), n (cos B,si nA)，且 m n si nB si nC 得sin AcosB sin AcosC sin B sinC , 由正弦定理得 acosB acosC b c,2 2.2 2.2 2由余弦定理得a-c-aab-bc2ac2ab整理得(b c)(a2 b2 c2) 0又由于b c 0，故a2 b2 c2，即VABC是直角三角形(或者：由 sin AcosB si n AcosC si nB si nC 得，sin AcosB si n AcosC sin (A C) sin (A B)化简得 cos A(si nB si nC) 0，由于 si nB si nC 0，故 cosA 0，即VABC是直角三角形)(2)设VABC内角代B,C所对的边分别为a,b,c由于VABC外接圆的半径为1， A -,所以a 2 Rs in A 2， 2所以 b c 2R(si nB cosB) 2(si nB cosB) 2.2 s