(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义第五章数列(含解析)

1、第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P71基础盘查一数列的有关概念（一）循纲忆知了解数列的概念（定义、数列的项、通项公式、前n项和）（二）小题查验1.判断正误（1）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列（）（2）同一个数在数列中可以重复出现（）（3）an与an是不同的概念（）4项分别是下列各（4）所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的（答案：（1）X（2）V（3）V（4）X2.（人教A版教材例题改编）写出下面数列的一个通项公式，使它的前111，一13,(2)2,0,2,0.78_In+1答案：(1)&=；(2)an=(-1)n+1+1基础盘查二数列的表

2、示方法（一）循纲忆知1. 了解数列三种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）；2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.（二）小题查验1 .判断正误（1）数列是一种特殊的函数（）（2）每一个数列都可用三种表示法表示（）如果数列an的前n项和为S,则对？nCN,都有an+1=S+1答案：（1）V（2）X（3）Van2 .已知数列an中，a1=1,an+1=z,则a5等于.2an31答案：161基础盘查三数列的分类(一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等).(二)小题查验1 .(人教B版教材例题改编)已知函数f(x)=-1，设an=f(n)(nCN*),则an是x数列(填“

3、递增”或“递减”)答案：递增2 .对于数列an,“an+i>|an|(n=i,2)”是an为递增数列”的条件.答案：充分不必要能萋蠹考点突破不回考启不同设计用高效对应学生用书P71考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点一一自主练透)必备知识数列的通项公式如果数列&的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.提醒不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一.题组练透*0,n为奇数，i+1n1.已知nN,给出4个表达式：an="山中的an=,an=1 + cos n 兀1, n为偶数，2sin詈其中能作为数列：0,1,

4、0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()A.B.C.D.解析：选A检验知都是所给数列的通项公式.2.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10,；(2)(2) 1X2，2X3，3X4，4X5，(3) a,b,a,b,a,b,(其中a,b为实数)；(4)9,99,999,9999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为4,所以通项公式an=2(n+1),nCN*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an=(1)nx1L，nN*.nn+(3)这是一个摆动数列，奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一个通项公

5、式an=a, n为奇数，b, n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成101,1001,10001,100001,所以它的一个通项公式an=10n-1,nN.类题通法用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可用(1)n或(1尸十1来调整.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.考点二由an与S的关系求通项an(重点保分型考点一一师生共研)必备知识n1数列白前n项和通常用&

6、;表示，记作S=a1+a2+an,则通项an=.Sn1,n>2提醒若当n>2时求出的an也适合n=1时的情形，则用一个式子表示an,否则分段表本.典题例析已知下面数列an的前n项和求an的通项公式：(1) &=2n23n；(2)S=3n+b.解：(1)a1=S=23=1,当n>2时，an=Sn-Sn1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,由于日也适合此等式，an=4n5.(2) a=S=3+b,当n>2时，an=SS-1=(3n+b)(3n+b)=23当b=1时，a1适合此等式.当bw1时，a1不适合此等式.当b=一1时，an=23n1；当

7、bw 1时,3+b, n=1,2 - 3 n 1, n>2.类题通法已知S求an的三个步骤(1)先利用ai=S求出ai；an= Sn-Sn i( n>2)便可求出当 n>2(2)用n-1替换S中的n得到一个新的关系，利用时an的表达式；(3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n>2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n>2两段来写.演练冲关已知数列a的前n项和为Sn.若Sn=(-1)n+1-n,求a5+a6及an；(2)若Sn=3n+2n+1,求an.解：(1)a5+a6=$S4=(一6)(-4)=一2当n=1时，a

8、=S=1；当n>2时,an=SnSn1=(1),n(1),(n1)=(-1)n+1-：n+(n-1)=(-1)n+1-(2n-1),又白也适合于此式，所以an=(-1)n+1-(2n-1).(2)因为当n=1时，a1=S=6；当n>2时，an=SnSn1=(3+2n+1)3+2(n1)+1=2.3n+2,由于a1不适合此式，6,n=1,所以an=in_123+2,n>2.考点三由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点一一多角探明)必备知识递推公式：如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫

9、做这个数列的递推公式.多角探明递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接归纳起来常见的命题角度有:形如an+i=anf(n),求an；(2)形如an+i=an+f(n),求an；(3)形如an+i=Aa+RAw。且心1),求an(4)形如Aa，一，an+1=B0KA'BC为常数)，求&.角度一：形如an+i=anf(n),求an1.在数列an中，ai=1,前n项和Sn=nan.求数列an的通项公式.3学 an-粤 an 1.33解：由题设知，ai=1.当n>2时，an=SS1ann+1an-1n

10、1ann+1a45a34a2an-1n1''a33'a22'a1以上n-1个式子的等号两端分别相乘，得到annn+a2又=a1=1,nan=一角度二：形如an+1=an+f(n),求an1一一，2.(1)在数列an中，a=2,an+1=an+nnqj,求数列an的通项公式.(2)若数列an满足:a1=1,an+1=an+2n,求数列an的通项公式.“，r一1解：由题意，得好一a-n11n n+1an= (an an 1) + (an1an2)+(a2 a1)+a1(2)由题意知an+1an=2n,an=(an-an1)+(an1an2)+(a2a1)+a1n,_

11、12=2+2+2+1=2-1.1-2角度三：形如an+1=A&+B(Awo且Aw1),求日3.已知数列an满足a=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式.解：an+1=3an+2,an+1+1=3(a+1),an+ 1 + 1d 十13,数列an+1为等比数列，公比q=3,又ai+1=2,3n+1=2-3n1,an=23nT1.Aa.角度四：形如an+i=grKAB,C为常数），求anBan十C4.已知数列an中,an+1=,求数列an的通项公式.2anIl牛：an+1=a1=1,cb+211111力=an+i 即a-ran2,又aq,则卜,.j1港以1为首项，；为公差的等差数

12、列.an2111n1"2=2+2，an=-(neN).n+1类题通法由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an+1=a+f（n）或an+1=f（n）以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项 公式，（如角度二），注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形， 三、四）转化为特殊数列求通项.课后C邑演练提能竹倒砂.芍星值里垂空舞楙母:课时跟踪检测an,则可（如角度二十九、选择题1 .数列1,2,3,4,5,的一个通项公式an=()3579nnA.2n+1B.2n-1nD.2n+3nC.2n3解析：选B由已知得，数列可写成1 21

13、9; 3'3.一，故通项为5n2n- 12 .数列an的前n项积为n2,那么当n>2时，an=（）A.2n-1C.UJnD.2nn-712解析：选D设数列an的前n项积为T；,则Tn=n2,n>2时,Tnan=Tn1n3.数列an满足an+an+1=2(nN)a2=2,Sn是数列an的前n项和，则91为（）A.7B.29C.213D.万解析：选B1an+an+1=2,a2=2,n为奇数,n为偶数.Gi = 1ix-3 ；+ 10X2= 7.故选 B.2 24.在各项均为正数的数列an中，对任意mi*n e N)都ami+ n= ami , an.右 a6= 64)贝f a9

14、等于（）A. 256B.510C. 512D.1 024解析：选C 在各项均为正数的数列an中，对任意mi nCN,者B有a出n=am- an.，a6 =a3 , a3= 64, a3= 8. a9= a6 , a3=64X8, a9=512.故选 C.5.已知数列an的前n项和为S=kn若对所有的nCN*,都有an+1 >an,则实数k的取值范围是（）A. (0 , +8)B . ( 8, 1)C. (1 , +8)D. ( 8, 0)2 .解析：选A 由Sn= kn得an=k（2n 1）.因为an+1>an,所以数列an是递增的，因此k>0,故选A.6. （2015 北京

15、海淀区期末）若数列&满足：d=19, an+1 = an3（nC N）,则数歹U an的前n项和数值最大时，n的值为（）A. 6C. 8D. 9解析：选 B '' a1= 19, an+1 an= - 3数歹Uan是以19为首项，3为公差的等差数列,.an=19+(n1)x(3)=223n.设an的前k项和数值最大，ak > 0, 则有ak+i w 0,ke N*,22-3k>0,122-3 k+1 W1)，1922了& k<TkeN*,k=7.，满足条件的n的值为7.二、填空题11n-2,.7.在数列1,0,8，中，0.08是它的第项.n22

16、解析：令-=0.08,得2n-25n+50=0,n即(2n5)(n-10)=0.一.5.解得n=10或n=2(舍去).答案：108 .已知数列an的前n项和S=33X2n,nCN*,则an=解析：分情况讨论:当n=1时，a1=S=33X21=3;当n>2时，an=SS-1=(33X2)(33X2)=3X2综合，得an=3X2nT.答案：3X2nT9 .(2015大连双基测试)数列an满足：ad3a2+5a3+(2n-1)an=(n1)3n+43(nCNj,则数列an的通项公式an=.解析：a1+3a2+5a3+(2n3)an1+(2n-1),an=(n-1)-3n+1+3,把n换成n1得

17、,ad3a2+5a3+(2n3)an1=(n2)3n+3,两式相减得an=3n.答案：3n*10 .在一个数列中，如果？nCN,都有ana+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+a2=.解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a1=1,82=2,a3=4,因此a+a2+a3+a12=4(a1+a2+as)=4x(1+2+4)=28.答案：28三、解答题11 .已知S为正项数列an的前n项和，且满足S1=2a2+2an(nN*).(1)求ai,a,a3,a4的值；(2)求数列an的

18、通项公式.121_*解：(1)由S=2an+2an(nCN),可得a1=,21+521,解得a1=1;32=21+22=222+532,解得a,=2；同理，23=3,24=4.1 21(2)$=222+22n,当n>2时，S1=22：t+22nT，一得(a2n11)(2n+2n1)=0.由于2n+2n10,所以2n2n1=1,又由(1)知21=1,故数列2n是首项为1,公差为1的等差数列，故2n=n.12 .已知数列2n中，2n=1+2+,1n_(nCN*,2CR,且2W0).(1)若2=7,求数列2n中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nCN*,都有2nW26成立，求2的取值范围.

19、解：(1)a=1+1-(nCN*,2CR,且2W0),2+n-11又2=17,.2n=1+.2n91结合函数f(x)=1+-的单调性,2X9可知1>21>%>23>24,*.25>26>27>>2n>1(nCN).二.数歹U2n中的最大项为25=2,最小项为24=0.12=1+2.n2,对任意的nCN*,都有2nW26成立,结合函数f(x)=1+-的单调性,2a1-22a知52<6,10<a<8.故a的取值范围为(10,8).等差数列及其前n项和整痂曲双塞落实这样自检要比死记更有效对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关

20、概念（一）循纲忆知理解等差数列的概念（定义、公差、等差中项）.（二）小题查验13 判断正误（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列（）（2）等差数列的公差是相邻两项的差（）*（3）数列an为等差数列的充要条件是对任意nCN,都有2an+1=d+2（）答案：（1）x（2）x（3）V14 （人教A版教材例题改编）判断下面数列是否为等差数列.（只写结果）（1）an=2n1;（2）an=pn+q（p、q为常数）.答案：（1）是（2）是基础盘查二等差数列的有关公式（一）循纲忆知1 .掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；2 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，

21、并能用有关知识解决相应的问题；3 .了解等差数列与一次函数的关系.（二）小题查验1 .判断正误(1)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(3)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数)，则数列an一定是等差数列()答案：V(2)V(3)V2 4一、，一一2.(人教A版教材例题改编)已知等差数列5,47,3-,，则前n项和S=.12答案：-(75n-5n)基础盘查三等差数列的性质(一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用.(二)小题查验1 .判断正误(1)在等差数列an中，若am+an=ap+aq,则一定有什n=p+q()(

22、2)数列an,bn都是等差数列，则数列an+bn也一定是等差数列()(3)等差数列an的首项为a1,公差为d,取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列()(4)数列an的通项公式为an=3n+5,则数列an的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等()答案：(1)X(2)V(3)V(4)V2 .(北师大版教材例题改编)已知等差数列an,a5=20,a20=35,则an=答案：15n3 .在等差数列an中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和S1等于.答案：88考点突破不.同考点不同设计再高效对应学生用书P74考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点一一自主练透)必备知识等差

23、数列的有关公式(1)通项公式：an=&+(n1)d.、八八_nnna+ann(2)刖n项和公式：S=nd+2d=2.题组练透1 .(2014福建高考)等差数列an的前n项和为S,若ai=2,S=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析：选C设等差数列an的公差为d,则$=3a1+3d,所以12=3X2+3d,解得d=2,所以a6=a+5d=2+5X2=12,故选C.2 .设Sn为等差数列an的前n项和，a12=-8,&=一9,则Si6=.解析：设等差数列an的首项为a1,公差为d,由已知，得匕12= a1 + 11d= - 8,a= 31.c16X15S6=16X

24、3+2*(-1)=-72.答案：723 .在等差数列an中,a=1,a3=3.求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和&=35,求k的值.解：(1)设等差数列an的公差为d,则an=ad(n1)d.由a1=1,a3=3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n1)x(2)=32n.(2)由(1)可知an=3-2n,en1+32nc2所以Sn=2=2nn.由&=35,可得2k-k2=-35,即k22k35=0,解得k=7或k=-5.又keN,故k=7.类题通法等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a,an,d,n,Sn,

25、知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而d和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.考点二等差数列的判断与证明(题点多变型考点一一全面发掘)必备知识(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.表示为an+1an=d(nCN*,d为常数).(2)等差中项：数列a,Ab成等差数列的充要条件是a+ b .,A ,其中A叫做a, b的等差中项.提醒要注意定义中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一

26、项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.一题多变典型母题，一1已知数列an的前n项和为S且满足an+23-Si=0(n>2),ai=-.(1)求证：*匿等差数列；(2)求an的表达式.解(1)证明：;日=$4-i(n)2),又an=2S&1,.&1$=2881,&W0.因此:一工=2(n>2).OnOn-1故由等差数列的定义知也是以：=2为首项，2为公差的等差数列.On|Oa1(2)由(1)知1=5+(n-1)d=2+(n-1)X2=2n,OnA1即Sn=2n.1由于当n*时，有”一2SS：=-nf'1一，又a1=2,不适合上式.15，n=1，a

27、n=n>2.|-1I2nn-1题点发散1试说明本仞中数列an是不是等差数列.一1解：当n>2时，an1=2n.+，本11-1r11、an1a。-2nn+12nn-1-2n5+1n1)1nn1n+1当n>2时，an+ian的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是等差数列.题点发散2若将本例条件改为“ ai = 2, $Si-1r;(n>2)”，问题不变，试求解.2Sn1十I12$1+113=-Q=QH2.OnSi-1Si-1是以2为首项，以2为公差的等差数列.,113(2)由(1)知A=j+(n1)X2=2n5,On221即S=7.32n2,11当n>2时，an=

28、&&-1=2n32n72223-v不：2n2，F当n=1时，ai=2不适合上式,-2IJ2n-3)n；?2 .题点发散3若本例变为：已知数列an中,c八 1_/ 一*、 ” .a1 = 2, an = 2 ( n>2, nCN),设 bnan11*一-(nN).求证：数列bn是等差数歹U.an1an+1=2.an1111an1bn1bnan+11an11-Hn1-Hn12-1anI、，.1.bn是首项为b1=1,公差为1的等差数列.21类题通法等差数列的判定方法(1)定义法：对于n>2的任意自然数，验证ana-1为同一常数；*(2)等差中项法：验证2ani=an+a

29、n2(nR3,nCN)成立；(3)通项公式法：验证an=pn+q;(4)前n项和公式法：验证S=An2+Bn.提醒在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点师生共研)必备知识等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(n,mEN).*(2)若an为等差数列，且k+l=mun,(k,l,mjneN),则ak+ai=am+an.(3)右an是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,miEN)是公差为md的等差数列(4)数列Sn,S2m-Sm,$mS2m,也是等

30、差数列.典题例析1.等差数列an中，ai+3a8+ai5=120,贝U2a9aio的值是()A20B22C24D8解析：选C:a1+3a8+&5=5a8=120,，a8=24,2a9a1o=a1o+a8aw=a8=24.2.(2014北京高考)若等差数列an满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时，&的前n项和最大.解析：,数列an是等差数列，且a?+a8+a9=3a8>0,，a8>0.又a?+a0=a8+a9<0,a9<0.，当n=8时，其前n项和最大.答案：83 .已知等差数列an的前n项和为S,且S0=10,&0=

31、30,则$0=.解析：:S10,S20S0,Ss0S20成等差数列，且S0=10,$0=30,S20S0=20,S3030=10+2X10=30,$0=60.答案：604 .设等差数列an的前n项和为S,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),求数列a的项数及39+310.解：由题意知ai+a2+a6=36,an+an-1+an-2+an-5=180,+得(a+an)+(a2+a-1)+(a6+an5)=6(ai+an)=216,ai+an=36,na + an= 324,18n= 324,n= 18.a1+an=36,n=18,a1+a18=36,从而a9+a

32、o=a+a18=36.类题通法5 .等差数列的性质aman,、一.(1)项的性质：在等差数列an中，aman=(m-n)d?m_n=d(m铲n),其几何息义是点(n,an),(mam)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列an中，S为其前n项和，则32n=n(a+a2n)=n(an+an+1);S?n1=(2n-1)an.6 .求等差数列前n项和&最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：a>0, d<0时，满足“am+1 W 0的项数m使得&取得

33、最大值为Sn；ammc 0,当日<0, d>0时，满足|am+1 >0的项数m使得$取得最小值为S.演练冲关1 .设数列an , bn都是等差数列,且d=25,b=75,&+b2=100,则a37+b37等于()A.0C. 100D.37解析：选C设an,&的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)(an+bn)=(an+1an)+(bn+1bn)=d1+d2,.an+bn为等差数列，又21+=22+b2=100,.Rn+bn为常数列，a37+b37=100.2 .已知等差数列an的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个

34、数列的项数为()A.10B.20C. 30D.40解析：选A设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10.3 .在等差数列an中，已知ai=20,前n项和为且S°=S15,求当n取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值.解：=ai=20,Si0=S15,10X915X1410X20+2d=15X20+2d，法一：由an=20+(n1)x1-=«n+.333得d3=0.即当nw12时，an>0,n>14时，an<0.当n=12或13时，&取得最大值，且最大值为S12

35、=S3=12X20+1211x；=130.2.3上nn-1552125法二：Sn=20n+2J3厂一6“十n52523125=-6广西十k.nCN*,.当n=12或13时，&有最大值，且最大值为S2=S13=130.法三：由Si0=S15得an+a12+a13+日4+a15=0.1-5a13=0,即a13=0.当n= 12或13时，S有最大值，且最大值为S12= S13=130.1.设S为等差数列的前 n项和，公差d=2,若S°=S1,则a1 = ()A.18B.20C.22D.24解析：选B由S10=S1,得an=0.又已知d=-2,则an=10d=ad10x(2)=0,解

36、得a=20.2. (2015兰州、张掖联考)等差数列an中，3(a3+a0+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是()A. 13C. 52D.156解析：选B'''3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,-6a4+6a10=24,-a4+a0=4,S13 =3 a1+a133 a4+ a。13X4= 26,故选B.3. 已知等差数列an满足a2=3,S.-Sn3=51（n>3）,S=100,则n的值为（）A.8C. 10D.11解析：选C由SS-3=51得,an2+an1+an=51,所以an1=17,na2+ a. 1=100,解得

37、n=10.4. （2015辽宁鞍山检测）已知&表示数列an的前n项和，若对任意的nCN*满足an+1=an+a2,且a3=2,则S014=()1 006 X 2 014A.1006X2013C. 1 007 X 2 013D.1 007 X 2 014解析：选C 在an+1=an+a2中，令n=1,a2= a+ a2, a1= 0,令 n = 2,贝U a3= 2= 2a2,是an+1 an=1,故数列an是首项为0,公差为1的等差数列,S2 014 =2 014 X2 013=1 007 X 2 013.5.（2015洛阳统考）设等差数列an的前n项和为Sn,且ai>0,a3+

38、a10>0,a6a7<0,则满足S>0的最大自然数n的值为（）A.C.12D. 13解析：选 C . a1>0, a6a7< 0,，a6> 0,a7< 0,等差数列的公差小于零，又a3+a10=a1+a12>0, a1+a13= 2a7<0,S2>0, S3V0, .满足&>0的最大自然数n的值为12.6. （2015 河北唐山一模）各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且33=anan+1,则a2+a4+a6+ a2n =()n 5n+lB.23n n+1C.n+3n + 0D.2解析：选C当n=1时,3S = a1

39、&3a1= a/a2= 3.当 n>2 时，由 3S=anan+1,可得3S-1=an-ian,两式相减得3an=an（an+1an1）,又anW0,an+1an1=3,，a2n为个以3为首项，3为公差的等差数列，nn-I3nn+、山a2+a4+a6+a2n=3n+2x3=2，选C.二、填空题7. （2014江西高考）在等差数列an中，ai=7,公差为d,前n项和为S,当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为.<0,a8>0,a9<0,解析：由题意，当且仅当n=8时Sn有最大值，可得，口7解得1<d<-.8产即7+7d>0,7+8d&l

40、t;0,答案：m8. 已知等差数列an中，anW0,若n>2且anan+ia2=0,S2n1=38,则n等于解析：'''2al=an-i+an+1,又an-1+an+1a2=0,2anan=0,即an(2an)=0.anW。，.an=2.S2n1=2(2n-1)=38,解得n=10.答案：109. (2015无锡一模)已知数列an中，a1=1,a=2,当整数n>2时，Sn+1+Sn1=2(Sn+S)都成立，则S5=.解析：由Sn+1+Sn1=2(Sn+S)得(Sn+1Sn)(SnSn_1)=2S=2,即Hn+13=2(n>2),所以数列an从第二项起构

41、成等差数列，则S5=1 + 2+4+6+8+ + 28=211.答案：21110.已知两个等差数列an和bn的前An 7n+45ann项和分别为An和E且曰=，则使得H为整数的正整数 n的个数是.解析：由等差数列前 n项和的性质知,史二也二里竺=7niW卫 口bnB2n 12n+2 n+1' n+1'联二 n=1,2,3,5,11时，an为整数，故使得性为整数的正整数n的个数是5.bnbn答案：5三、解答题11. （2015长春调研）设等差数列an的前n项和为S,其中a1=3,4S2=27.(1)求数列an的通项公式;(2)若S,242(an+1+1),S+2成等比数列，求正整

42、数n的值.解：(1)设等差数列an的公差为d,则S5-S2=3ai+9d=27,又ai=3,则d=2,故an=2n+1.(2)由(1)可得S=n2+2n,又$S+2=8(an+i+1)2,即n(n+2)2(n+4)=8(2n+4)2,化简得n2+4n32=0,解得n=4或n=8(舍)，所以n的值为4.12. 已知公差大于零的等差数列a的前n项和为S,且满足a3-a4=117,a?+a5=22.(1)求an和Ss(2)若数列bn是等差数列，且bn=S二，求非零常数c.n+c解：(1),数列an为等差数列，a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,.a3,a4是方程x222x+117=0的

43、两实根，又公差d>0,a3<a4,a3=9,a4=13,a-2d=9,a1=1,ad3d=13,d=4.通项公式an=4n3.S=na1+nn2-xd=2n2n.2,a2S2nn(2)由(1)知$=2nn,.bn：7Tn+cn+c1 b1 =1 + c'15b2=2Tc，b3=3+c.数列bn是等差数列，2b2=b1+b3,62+cX2 =1151 + c 3+ c'2. 2c + c= 0,111-c=2或c=0(舍去)，故c=2.B卷一一增分提能*1 .已知数列an满足2a+1=an+an+2(nCN),它的前n项和为S,且a3=10,S6=72,1若bn=2a

44、n30,设数列bn的前n项和为Tn,求Tn的最小值.解：'''2an+1=an+an+2,an+1an=an+2an+1,故数列an为等差数列.设数列an的首项为ai,公差为d,由a3=10,S=72得,务 +2d=10, 6a1+15d= 72,解得 ai = 2, d=4.an= 4n-2,则1bn=2a30=2n31bnW 0,bn+1 > 0,2n-31<0,即，n n+1 310,2931斛仔 2 w n< ,即数列bn的前15项均为负值，Tl5最小.数列bn的首项是一29,公差为2,Tl5 =15 29 + 2X1531，数歹Ubn的前n项

45、和Tn的最小值为一225.2.(2015安徽宿州调研)已知函数f(x)=x22(n+1)x+n2+5n7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an,求证：an为等差数歹U；(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn,求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：f(x)=x22(n+1)x+n2+5n7=x-(n+1)2+3n-8,.an=3n8,an+1an=3(n+1)8(3n8)=3,.数列an为等差数列L(2)由题意知，bn=|an|=|3n8|,当iwn<2时，bn=8-3n,Sn= bl+ +n b+bnn5 + 8 3n !13n3n22；当n&g

46、t;3时,bn = 3n 8,Sn=bi+b?+b3+bn=5+2+1+(3n8)7十 n-2-十3n2 13n+28213n-3n22，1<n<2,Sn=2,n>3.3n-13n+28bn-kbn+23.设同时满足条件：一2一wbn+i（nCN）；bnWMnCN,M是与n无关的常数）的无穷数列bn叫“特界”数列.（1）若数列an为等差数列，&是其前n项和，a3=4,4=18,求S；（2）判断（1）中的数列&是否为“特界”数列，并说明理由.解：（1）设等差数列an的公差为d,则a1+2d=4,S3=a+a2+a3=3a+3d=18）解得a1=8,d=2,S=n

47、a-n-n2-d=-n2+9n.（2）S是“特界”数列，理由如下：8+$+2&+2-8+1-S+1-S由2-3+1=2an+ 2 ani+1d1<02rS+S+2得一2<s+1，故数列S适合条件而 Sn = n + 9n=|2+”n)则当n=4或5时，S有最大值20,即SW20,故数列Sn适合条件.综上，数列S是“特界”数列.女第三节/等比数列及其前n项和对应学生用书P76整痂曲双珏落实；这样自检要比死记更有效基础盘查一等比数列的有关概念（一）循纲忆知理解等比数列的概念（定义、公比、等比中项）.（二）小题查验1.判断正误（1）常数列一定是等比数列（）（2）等比数列中不存在数

48、值为0的项（）满足an+1=qan（nCN*,q为常数）的数列an为等比数列（）(4)G为a,b的等比中项？G2=ab()答案：(1)X(2)V(3)X(4)X2.已知数列a,a(1a),a(1-a)2,是等比数列，则实数a的取值范围是()A.awlB.awo或awlC.aw0D.awo且awl答案：D基础盘查二等比数列的有关公式(一)循纲忆知1 .掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2 .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3 .了解等比数列与指数函数的关系.(二)小题查验1.判断正误(1)若等比数列an的首项为a,公比是q,则其通项公式为a=aiqn()

49、n(2)数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为S=aa()1 a答案：(1)x(2)x2.(人教A版教材习题改编)在等比数列an中，已知日=1,a4=64,则q=S4=.答案：451基础盘查三等比数列的性质(一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用.(二)小题查验1 .判断正误(1) q>1时，等比数列an是递增数列()(2)在等比数列an中，若aman=ap-aq,则n=p+q()(3)在等比数列an中，如果vm-n=2k(mn,kCN*),那么aman=a2()(4)若数列an是等比数列，则数列1-混等比数列()(5)如果数列an为等比数列，则数列lnan是等差数列()答案：(1

50、)X(2)X(3)V(4)V(5)X2.(北师大版教材习题改编)将公比为q的等比数列asa2,a3,a4依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,.此数列是()A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列答案：B整萋鎏考点突破d迥"以迥设计里敝对应学生用书P76考点一等比数列的基本运算（基础送分型考点一一自主练透）必备知识等比数列的有关公式（1）通项公式：an=&qnTnasq=1(2)前n项和公式：S=|胡1qn1-qa1anq-,qw1.1-q，q提醒运用等比数列的前n项和公式时，必须对q=1与qwi分类讨论.题组练透1.（2015东北三校联考）已知数列an满足2an+1+an=0,a2=1则数列an的前10项和&0为（）A.4(210-1)B.4(21°+1)341。C.3(2-1)4D.3(2+1)3解析：选C.2an+1+an=0,an+1an12.又a2=1,a1=-2,数列