2019年全国2卷数学试卷及参考答案

1、构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求。12i1.12i3.i53.-i5C.-54.-i5D.4.-i52.已知集合x,222y243,Z,则A中元素的个数为（A.9B.8C.5D.3.函数fx4.已知向量aA.45.双曲线B2abC.2B.3D.0庭,则其渐近线方程为a>0,b>0的离心力为)1xeb满足，a1,ab1,则axeF的图象大致是x2y_bA.y2xD.6.在ABC中,Ccos2理BC1,AC5A.4J2B.痴C.V298

2、.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是（9.A.工12在长方体ABCDA.B.114C.工15D.1810.若cosxAiBO中，ABBC1，AA1ADi与DBi所成角的余弦值为11.已知A.5012.已知F1,斜率为A.JC.D.是定义域为B.50B.是减函数，则a的最大值是（的奇函数,C.34D.满足C.D.502xF2是椭圆C:a2y_b21a>b>0的左、右焦点交点,A是C的左顶点，点P在过A且Y3的直线上，PF1F2为

3、等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）6、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .曲线y21nxi在点0,0处的切线方程为x2y5>014 .若x,y满足约束条件x2y3>0,则zxy的最大值为x5<015. 已知sincos1,cossin0,贝Usin16. 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为-,SA与圆锥底面所成角为45.若4SAB8的面积为5#,则该圆锥的侧面积为.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17. （12分）

4、记Sn为等差数列an的前n项和，已知&7,S315.（1）求an的通项公式；（2）求S,并求S的最小值.18. （12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.投资额上2402000 2001 2002 2UO4 冽门UU6工即2U的却ItlRI I加2 划3川旧 川I，卯6 年龄为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据200030.4 13.5t ：根据 2010 年99 17.5t .年至2016年数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,

5、7)建立模型:(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12分)设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为kk>0的直线l与C交于A,B两点。|AB8.(1)求l的方程；(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20. （12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC2亚,PAPBPCAC4,O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC;(2)若点M在BC上，且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21. (12分)已知函数fxexax2.(1)若a1,证明：当x>0时

6、，fx小；(2)若fx在0,只有一个零点，求a.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一部分计分。22.【选修4-4:坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cosx11cosa（为参数），直线1的参数方程为4siny21sina（1为参数）.（1）求C和1的直角坐标方程;（2）若曲线C截直线1所得线段的中点坐标为23.【选修4-5:不等式选讲】（10分）设函数fx5xax2.（1）当a1时，求不等式fx>0的解集;（2）若fxW1,求a的取值范围.2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案12.解：p

7、f2“3、选择题123456789101112DABBAABCCACD3c,ea2c二、填空题13. y 2x14. 915-216.40 216.设母线长为a,S ABS12.-a sin2ASB5.5 a2 80,所以 OA 2 a2三、填空题17.解：(1)由 S315 可得：3a13d15 ,所以d 2,所以an 2n 9(2)&(a1an)nn28n,当n4时，6取最小值-16218.解：(1) y30.4 13.5*19 226.199 17.5*9 256.5(2)对于模型 ，当年份为2016年时，y30.413.5*17199.1对于模型，当年份为2016年时，y 99

8、比较而言，的准确度高，误差较小，所以选择17.5*7221.52 y19.解：(1).F (1,0),设直线 y k(x 1),联立 y4xk(x1)(2k2 4)x k2 0X1X22k2 4k2， ABX1X2 2 8, . k=1,所以直线方程xX1X21设AB的中点为N(xn-n),设圆心为M(a,b),所以圆的半径r=a+1因为所以即:xNyNMNXx22yy223,所以MN的方程为y1(x3)2V(a-3)2(b-2)2v2(xa)2,由垂径定理:162(a3)2解得：a城a11所以圆的方程为：(x3)2(y2)216和(x11)2(y20.证明：连接BO,因AB=BC,则BOXA

9、C,所以BO=2又因为在PAC中,PA=PC=4,所以POXBO,从而(2)以OB为x轴,6)2所以POXAC,且PO23,PO平面ABC;以OC为y轴，以OP为z轴，设BMP(0,0,2),设M(x,y,0),所以丽(x2,y,0),BC设平面PAC的法向量为n1(1,0,0),设平面PA(0,-2,-2j3),MA(2-2,-2-2,0)所以MN144AB因为PO222OB2PB2,BC,B(2,0,0),(2,2,0),所以MMPAPAn2X2y2C(0,2,0)A(0,-2,0)(2-2,2,0)为n(x1,y1,z1),MAn2Z23133因二面角MPAC为30,所以cos300Il

10、innn，|n23下得设PC与平面PAM所成角为,所以sinPCn2x21解：(1)当a=1,f(x)e2-'x,f(x)xe2x,f(x)exln2,f'(x)单调递减,xln2,f'(x)单调递增(x)(ln2)22ln20所以“刈在0,)是单调递增，所以f(x)f(0)(3)xx令f(x)0e7a0,令g(x)e7a,xxg(x)xe(x3x2)2时，g'(x)0,g(x)单调递减，x2时，g'(x)0,g(x)单调递增构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳2e所以g(X)g(2)mina42一e一当a一时，g(X)min0,g(X)无苓点42e一当a一时，g(X)min0,g(X)只有一个苓点42ea一时，g(X)min042222. (1)曲线C的直角坐标方程：1416综上：a的取值范围为 aa6或a 2直线L直