经济应用数学1.2极限ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1第第2 2节节 极限极限 主要内容主要内容数列的极限数列的极限 函数的极限函数的极限 极限的性质极限的性质 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 两个重要极限两个重要极限 * *二元函数的极限二元函数的极限 思考与练习思考与练习 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 2一、数列的极限一、数列的极限 nxnnx定义定义1 14 4设有数列设有数列，如果当，如果当 无限增大时，无限增大时，无无 极限记作极限记作 Axnnlim)(nAxn或或如果一个数列有极限，则称这个数列是收敛的，否如果一个数列有极限，则称这个数列是收敛的，否则称这个数

2、列是发散的则称这个数列是发散的1lim( 1)0nnn1lim0(0)anan1lim0nn1lim0(1)nnaa通过观察可知：通过观察可知：An nxA限地接近于常数限地接近于常数时数列时数列以以为为 n nx，则称当，则称当时数列时数列以以上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 3二、函数的极限二、函数的极限x)(xf1 1当当时，函数时，函数的极限的极限)(xfy xa定义定义15设函数设函数在在有定义，如果当有定义，如果当x的绝的绝 )(xfA对值无限增大时，函数对值无限增大时，函数无限趋近于常数无限趋近于常数 ，则称当则称当 x)(xfA时，函数时，函数以以为极限记作为极限

3、记作 Axfx)(lim)()(xAxf或或例例2 21 1 观察极限观察极限1lim(1)xx11yxx解作出解作出的图形观察可见，当的图形观察可见，当无无 限增大时，限增大时， 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 411yx1y函数函数的值与直线的值与直线无限接近，所以无限接近，所以 1lim(1)1xx 这时，直线这时，直线1y称为函数的水平渐近线称为函数的水平渐近线 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 5lim ( )xf xA定理定理11极限极限存在且等于存在且等于的充分必要的充分必要条件是极条件是极lim( )xf xlim( )xf xA限限与与都存在且等

4、于都存在且等于 lim ( )xf xAlim( )xf xlim( )xf xA即即经观察：经观察：2arctanlimxx2arctanlimxx0cotlimxarcx，xarcxcotlim) 10(0limaaxx，) 1(0limaaxxxxarctanlim，不存在不存在上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 60 xx )(xf2 2当当时，函数时，函数的极限的极限)(xf0 x定义定义15设函数设函数在在的某空心邻域内有定义，如的某空心邻域内有定义，如 限，记限，记 0lim( )xxf xA)()(0 xxAxf或或 由定义可知由定义可知211lim( )21xxf

5、 xx有定义没有关系有定义没有关系0lim( )xxf x)(xf0 x这说明，极限这说明，极限存在与否与函数存在与否与函数在在是否是否x)(00 xxx果当果当无限趋近于无限趋近于时，函数时，函数)(xf无限趋近于一个无限趋近于一个AA)(xf0 xx 定的常数定的常数称为函数称为函数当当时的极时的极确确，则常数，则常数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 7自变量自变量0 xx包含两种情况：包含两种情况：0 xx0 x0 xx0 xx（1 1）从从的左侧（的左侧（）趋近于）趋近于，记作，记作；x0 x0 xx0 x0 xx（2 2）从从的右侧（的右侧（）趋近于）趋近于，记作，记作

6、极限，那么极限，那么 A)(xfAxfxx)(lim0常数常数称为函数称为函数的左极限，记作的左极限，记作； 0 xx)(xfA定义定义16 如果当如果当时，函数时，函数以常数以常数 为为0 xx)(xfA如果当如果当时，函数时，函数以常数以常数为极限，为极限， 则常数则常数A )(xfAxfxx)(lim0称为函数称为函数的右极限，记作的右极限，记作左极限和右极限统称为单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 8极限之间有如下关系极限之间有如下关系: :)(xf0 xx 0 x函数函数当当时的极限与它在时的极限与它在处的单侧处的单侧)(lim0 xf

7、xxA定理极限定理极限存在且等于存在且等于 的充分的充分必要条件是必要条件是 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxxA极限极限与与都存在且等于都存在且等于即即AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000这个定理常用来判定函数在一点的极限是否存在这个定理常用来判定函数在一点的极限是否存在1yx例例2 22 2 观察函数观察函数的图像，可以看出的图像，可以看出01limxx 0 x ，我们称直线，我们称直线是函数的铅直渐近线是函数的铅直渐近线上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 9)(lim)(lim00 xfxfxx)(lim0 xfx不存在不存在 例例23设

8、函数设函数0 10 00 1)(xxxxxxf，观察图像，试判，观察图像，试判 断当断当x0时函数时函数( )f x的极限是否存在的极限是否存在 1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx解解 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 10三、极限的性质三、极限的性质值必定惟一值必定惟一性质性质1 (1 (惟一性惟一性) ) 若极限若极限)(lim0 xfxx存在，则其极限存在，则其极限)(lim0 xfxx性质性质2 (2 (局部有界性局部有界性) ) 若极限若极限存在，则函数存在，则函数)(xf0 x在在的某个空心邻域内有界的某个空心邻域内有

9、界,)(lim0Axfxx0A性质性质3 (3 (局部保号性局部保号性) ) 若极限若极限且且0)(xf( (或或) )0A0)(xf( (或或) )， 则在则在的某个空心邻域内恒有的某个空心邻域内恒有0 x上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 11,)(lim0Axfxx( )0f x ( )0f x 推论推论 若极限若极限且且(或或)， 那么那么 0 x0A0A在在的某个空心邻域内恒有的某个空心邻域内恒有(或或) 性质性质4 (两边夹定理两边夹定理) 若在点若在点0 x的某空心邻域内，有的某空心邻域内，有 ),()()(xgxhxf00lim ( )lim ( )xxxxf xg

10、 xA且且，那么，那么0lim ( )xxh xA 四、极限的四则运算法则四、极限的四则运算法则lim ( ),f xA定理定理1 13 3 在自变量的同一变化过程中，设在自变量的同一变化过程中，设lim( )g xB，则有，则有上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 12lim ( )( )f xg xlim( )lim( )f xg xAB1 1 推论有限个有极限的变量之代数和的极限等于它们推论有限个有极限的变量之代数和的极限等于它们lim ( )( )f xg xlim( ) lim ( )f xg xA B2 2推论推论1 1 lim( )lim( )Cf xCf xCA推论推

11、论2 2 有限个有极限的变量的乘积的极限等于它们的极有限个有极限的变量的乘积的极限等于它们的极限的乘积限的乘积)(limxfn推论假如推论假如存在，存在， 是正整数，那么是正整数，那么nnxfxf)(lim)(lim的极限的代数和的极限的代数和上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 13( )lim( )f xg xlim ( ) (0)lim ( )f xABg xB3 3例例2 24 4 求求) 1(lim21xx例例2 25 5 求求12lim22xxxx12lim22xxxx) 1(lim)2(lim222xxxxx22222lim2lim8 210limlim12 13xxx

12、xxxx解解 解解 21lim(1)xx211limlim1xxx21(lim )1xx1 1 0 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 14122321limnnn例例2 26 6 求求解解 例例2 27 7 求求24lim22xxx2x解解 当当时，分母的极限是时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限，不能直接运用上面的极限2x2x因此可以将非零公因子因此可以将非零公因子约去后变成约去后变成，从而求出函，从而求出函 2x时，时， 运算法则而当运算法则而当2x，分子的极限也是，分子的极限也是，数的极限：数的极限： 21 2 3limnnn 2(1)2limnn nn11lim2n

13、n上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1524lim22xxx2) 2)(2(lim2xxxx4)2(lim2xx在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为0 0的情形，的情形，00”型的未定式型的未定式 我们把它称为我们把它称为“221lim2xxxxx12例例2 28 8 求求解解 2212 limxxxxx211112 limxx xx211112lim()lim()xxxxx上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 16在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为在求极限时，经常会遇到分子分母的极限均为的情形，我们把它称为的情形，我们

14、把它称为“”型的未定式型的未定式 例例29 求求231lim2xxxxx 0解解 231lim2xxxxx 23111lim12xxxxx上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 17五、两个重要极限五、两个重要极限1 11sinlim0 xxxx对对任取一系列趋于零的数值时，经计算可得函数任取一系列趋于零的数值时，经计算可得函数sin( )xf xx的对应值，见下表的对应值，见下表上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 18y055151025. 05 . 075. 01y25. 01015x从上表和左图可以看出，当从上表和左图可以看出，当sin( )xf xx无限趋近于零时，

15、函数无限趋近于零时，函数的值无限趋近于数值的值无限趋近于数值1 11sinlim0 xxx上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 19例例2 210 10 求求) 0(sinlim0kxkxx解解 令令00uxukx时，则当例例2 211 11 求求nnn2sinlim解解 令令02unun时，则当2所以所以 xkxxsinlim0kxkxkxsinlim0uukusinlim0k所以所以 2lim sinnnn2sin2lim2nnn0sin2limuuu上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 20例例2 212 12 求求xxx3sin2tanlim0解解 xxx3sin2

16、tanlim0)3sin12cos2sin(lim0 xxxx)2cos323sin322sin(lim0 xxxxxx323211例例2 213 13 求求20cos1limxxx解解 20cos1limxxx)cos1 ()cos1)(cos1 (lim20 xxxxx)cos11sin(lim220 xxxx21211上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 21exxx )11 (lim2 2xxxxxf)11 ()(当当和当和当时，函数时，函数的对应值的变化如下表所示的对应值的变化如下表所示上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 22xx从表中可以看出，当从表中可以看出

17、，当和当和当时，函数时，函数 xxxf)11 ()()71828. 2(71828. 2e的值无限趋近于的值无限趋近于 xxxx)11 (lime可以证明，当可以证明，当时，极限时，极限存在并等于存在并等于 ，即即 exxx)11 (limxu1x0u上式中，作变换上式中，作变换，则当，则当时，时，于是得到于是得到 euuu10)1 (lim 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 23或或 1( )( )0lim 1( )u xu xu xe一般地，上面的结果可以推广为一般地，上面的结果可以推广为 ( )( )1lim 1( )xxex，lim(1)xxkx0k 例例2 214 14

18、 求求( (为常数为常数) )kuxkxu解解 令令，那么，那么xu；当；当时，时，则有则有lim(1)xxkx lim(1)kuuu1lim (1)kuuuke上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 24lim(1)xxkxkek一般地，有一般地，有 ( (为常数为常数) )上式可作为公式使用，它的另一种表示形式是：上式可作为公式使用，它的另一种表示形式是：10lim(1)kxxkxe例例2 215 15 求求310)21 (limxxx12e2e解解 310)21 (limxxx3010)21 (lim)21 (limxxxxx例例2 21616求求xxxx)23(limxxxx)

19、2131(limxxxxxx)21(lim)31(lim523eeexxxx)23(lim解解 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 25利用第二个重要极限，我们可以得到计算连续复利的公式利用第二个重要极限，我们可以得到计算连续复利的公式Pr设本金为设本金为，期利率为，期利率为 ，若每期结算一次，则一期后，若每期结算一次，则一期后的本利和为的本利和为(1)FPr(1)mFPmr和为和为如果复利计息，即每次结算后的利息都计入本金，那么如果复利计息，即每次结算后的利息都计入本金，那么m期后的本利和为期后的本利和为 (1)mmFPr 显然，复利计息得到的本利和高于单利计息 m若单利计息即利

20、息不计入本金），那么若单利计息即利息不计入本金），那么 期后的本利期后的本利上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 26tr若复利计息，每期结算若复利计息，每期结算次，在期利率不变，仍为次，在期利率不变，仍为的情况的情况 rtm下，则每次结算时的利率为下，则每次结算时的利率为，期后的本利和为期后的本利和为 (1)mtmrFPt 如果结算次数无限增多，即如果结算次数无限增多，即t ，则有，则有 lim (1)mtr mtrFPPet解方案一：以活期方式无限多次结算解方案一：以活期方式无限多次结算引例引例. . 0.0036001855.334728r mFP ee（万元）（万元）上页下页

21、铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 27方案二：以整存整取三个月方式存方案二：以整存整取三个月方式存18年年18 40.017100(1)5 (1)6.7976834m trFPt 方案三：以整存整取半年方式存方案三：以整存整取半年方式存1818年年18 20.019800(1)5 (1)7.1283892m trFPt方案四：以整存整取一年方式存方案四：以整存整取一年方式存1818年年18(1)5 (10.022500)7.462936m trFPt上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 28方案五：以整存整取二年方式存方案五：以整存整取二年方式存1818年年182(1)5 (1

22、 2 0.027900)8.150888mtrFPt 183(1)5 (1 3 0.033300)8.852975m trFPt 1 12 2315123512(1)(1)5 (1 3 0.033300) (1 0.036000)9.035854m tm trrFPtt 方案六：以整存整取三年方式存方案六：以整存整取三年方式存1818年年方案七：以整存整取三年方式存方案七：以整存整取三年方式存3 3年加上整存整取五年年加上整存整取五年如果张先生采用方案七，十八年后能获取最大的收益如果张先生采用方案七，十八年后能获取最大的收益方式存方式存1515年年上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学

23、 29六、二元函数的极限六、二元函数的极限zf x y( , )xoy对于二元函数对于二元函数，设其定义域是，设其定义域是平面上平面上的部分区域的部分区域 D000(,)P xyD，是是内的一个点，类似于一元函内的一个点，类似于一元函数的极限定义，如果其定义域数的极限定义，如果其定义域D( , )P x y内的点内的点以任意方式以任意方式000(,)P xy无限趋近于定点无限趋近于定点时，对应的时，对应的 ( , )zf x y函数值函数值AA无限地趋近于一个确定的常数无限地趋近于一个确定的常数 ，则称常数，则称常数 是函数是函数 ( , )f x yxxyy00,当当时的极限，记作时的极限，记作 lim ( , )xxyyf x yA0000 , ( , )( , )( ,)f x yAx yx y或或上页下页铃结束返回首页经