因式定理与余式定理

1、7.181因式定理设f(X)是一个多项式，C为一个常数如果x-c是f (x)的因式即f (x)能够被x-c整除则f(c)二0反之亦然水证明推论：如果axb是f (x)的因式则f (b/a) =0反之亦然关于因式定理的深层推论(理解)设f(X)是一个多项式，Cl. C2.cn为n个相异常数，并且有f (cl) =f (c2) =.=f (cn) =0那么(x-cl) (x-c2) (x-cn)是f (x)的因式，且是其最大的因式。因式定理快速反馈练习1请问下列哪一项是/(x)= 4x5+8x4+7x3-22x2-2x+5 的因式？A.X-1B.X+2C.2X-1D.X-22. /(x)=x4-2

2、x3+4x2+czx+3有一因式为x-3,求a2余式定理若f(X)是一个多项式，c是一个常数 贝肝(X)除以x-c的余式为f (c)水证明推论：多项式f (x)除以axb的余式为f (b/a)观察f (x)除以axb与f (x)除以x-b/a 的余式关于如何求f（X）除以一个多项式的余式方法：长除法例题：x3-12x2-42除以x-31 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为心结 果写在横线之上2将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项）,乘积写在分子前两项之 下3从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个 正项）,结果写在下面4将分子的下一项“拿下来”5 重复

3、前4步直到无法再除以*3为止余式定理快速反馈练习1求多项式2x3-x2+3x+5除以x2-x+3的余式 2设f(x)为实系数多项式，以除之，余式为9；以除之，余式为16,求f(x)除以(xl)(x - 2)的余式为o关于解决因式以及余式定理问题的一些诀窍1. 审题仔细，熟记因式定理以及余式定理的定义，做 到快建反应出条件背后的内容，注意文字是“除”还 是噜以”2. 善用假设3. 熟练运用长除法4. 克服对于次数较大的多项式的恐惧感5. 除了掌握最基础的方法之外，对付较复杂题目时可 适当运用推广的结论，能够有一定程度的加快速度并 盘活用、维6. 若有x的次方断层现象，建议写0x的n次方，防止看

4、错导致全错联招真题模拟设f(x)以xJ除之，余式为8,以x2+x+l除之的 余金为7X+16,求x3l除之的余式为多少？ 解：根据题意，得 f(l)=8/f(x)=(xA2+x+l)g(x)+7x+16/则 xA3-l=(x-l)(xA2+x+l) f(x)=(xA3-l)g(x)+a(xA2+x+l)+7x+16=(x-l)(xA2+x+l)g(x) +a(xA2+x+l)+7x+16f(l)=3a+7+16=8a=5,所以余式为5x八2+2x+H综合练习5题1. 设多项式Z(x)除以x-l, x2- 2x + 3之余式依 次为2, 4x + 6,贝厅(x)除以(x- l)(x2 -2x +

5、 3)的 余式为O2设/(X)除以(11)2的余式是X + 2,除以(x2)2 的余芸是3x +4,贝肝仅)除以(xl)(x- 2)2的余 式是o *3.求以(X+ 1)2除的余式4.设多项式h (x)fe2 -1除后的余式为3x + 4, 并且已知力(x)肴因式X。若b(x)被x(x2l)除后 的余式为px2 + qx + r,贝Ijp2 -q2 + r25.求以x* + x4 + 1除疋2 + 99的余式Homework1. 用x2+x+l除多项式x5+2x4-x3+x+l,余式为？2005年联招19题2. 如果以2x2-3x-2除多项式f(X)与g(X),分别得到 余式2x+3与4x-l,则以2x+l.除f (x) -g (x)的余 茂为?2006联招18题左如果以x2-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5,贝肝(3)2007联招19题4.多项式 x4+2x3-4x2-2x+3 -x3+4x2+x-6 的最大 公因式为？2009联招19