圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

1、圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知 识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命 题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。定理1 已知点F是离心率为扌的圆锥曲线匚的焦点，过点F的弦二与的焦点所在的轴的夹角为 且。（ 1）当焦点一2T?cos=厂内分弦二二时，有（2）当焦点F外分弦匸

2、三时（此时曲线为双曲线），有口 2+10CQS& =1-1O证明 设直线是焦点P所对应的准线，点 丄亠 在直线上的射影分别为 二匚1，点AF BF& 五在直线厂»上的射影为栄。由圆锥曲线的统一定义得，一T"，又” _BF “ _ 丹厅 _曲=乂朋锐21）,所以1_VO（1 ）当焦点广内分弦亠二时。ABF BF如图1，AMIF1-1I+i（2）当焦点F外分弦:三时（此时曲线为双曲线）。cos &二AM如图2,A4+蹈AF-BFABF EF丁+T_ a+i: i r'7 " J，所以e cos & =2十1:-。评注特别要注意焦

3、点外分焦点弦 （此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。2 2c-5-=i（d>o>o例1 （2009年高考全国卷n理科题）已知双曲线丁 ：的右焦点为丄匸，过F且斜率为宀的直线交二于丄丄两点。若一丄 -'1，则二的离心率为（）七气込匕* 匚cos 60"=解 这里 ：，所以F = F 丁，又-，代入公式得-:,6所以.二，故选止。住二+罕珈沁®例2（ 2010年高考全国卷n理科第 12题）已知椭圆 L.的离心逅_ _率为一。过右焦点且斜率为-:''-的直线于-相交于一两点，若，贝狀二（ ）Al B.2C.3

4、D.2段二总並m3二Z解 这里-=-,二，设直线心*的倾斜角为匚，代入公式得一c»>s & = 所以八，所以：/ ，故选占。例3（08高考江西卷理科第15题）过抛物线-/ -'-：的焦点P作倾斜角为M =的直线，与抛物线交于盘占两点（点丄在轴左侧），则有严引 解 如图3,由题意知直线广三与抛物线的地称轴的夹角 匚=广，当点二在匸轴左侧又 = 1，代入公式得cos 60 =久-1I+II肿L1解得: = 3，所以:例4（2010年高考全国卷I理科第 16题）已知F是椭圆二的一个焦点，占是短轴的一个端点，线段月F的延长线交口于点&，且丽二2FB，则D的离心率

5、为设直线三匸与焦点所在的轴的夹角为，又'._ ：,代/二丄 总=邑入公式得，所以' -例5 （自编题）已知双曲线0刍-与=1（八00）'的离心率为且斜率为疋的直线交e的两支于見$两点。若日卜'网，则力=e cos & =这里匚，因直线討占与左右两支相交，故应选择公式2十1丨-,代入公式得空3竺 2邑-,所以1所以二讥，所以定理2 已知点F和直线是离心率为三'的圆锥曲线：的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对 应准 线的距离）为 。过点F的弦:三与曲线匚的焦点所 在的轴的夹角为e(0,90-),则有线H一于点"，交直线I于点W。由圆锥曲线的统

6、一定义得,AF_ _ BFMl 昭I，所以T ' '' o当焦点尸内分弦血时。如图4,皿1 +网=戸+附1込&嗣 二 |耳州-Nff = p-BFcos3 AF = e(pAFcQ£BF二咻-BFcos0)。 ，所以较长焦半径所以八AF=竺|肿 | =豎l-£?cos，较短焦半径1 + 日。epep2ej?=+=j51:. i. .-： i 1L .-： L一 二 _ 上 、.。(2)当焦点F外分弦口三时(此时曲线为双曲线)。图5如图5 |耳|=|册|-|4切=|川计口 4去|册|=|阴|-|陋| =尸-归冋8弟所以冷 :I '

7、9;所以较长焦半径AF =cos-1较短焦半径所以epepis cos 1 cos + 1综合(1)( 2 )知，较长焦半径咽三一一1- COS 日?较短焦半径l + cos &。特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距-'就是径之半，较长焦半径期=已BF1-8皿，较短焦半径-'丄，焦点弦的弦长公式为AB线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为由上可得当焦点厂 内分弦时11_ 21 沁日有祸阿|邸阴|纠p 。当焦点刀外分弦丿召时，112_ 丄 1 _2 曲 3有両-冏吋祸両戸。例6（2009年高考福建卷理科第 13题）过抛物线 '/' 的焦点广作倾斜

8、角为4了的直线，交抛物线于九*两点，若线段丄占的长为8,则戸二解由抛物线焦点弦的弦长公式为<.''4J ，解得匸 -例7（ 2010年高考辽宁卷理科第 20题）已知椭圆二的右焦点为厂，经过F且倾斜角为的直线F与椭圆相交于不同两点，已知二_J_。（1）求椭圆的离心率；（2）若4，求椭圆方程。解 （1）这里F =r，一：，由定理1的公式得-2-1 2 & =(2 )将M15=-，代入焦点弦的弦长公式得,，解p =-得 -，即5,上，所以.二，-J "，又+代入得'；一 1，所以所以J-，故所求椭圆方程为:例8 （2007年重庆卷第16题）过双曲线/：

9、的右焦点P作倾斜角为二丁的直线，交双曲线于只。两点，则呼M昭的值为解 易知二土一均在右支上，因为-，离心率:.，点准距 芒c，因倾斜角为 W 所以日=7亍。由焦半径公式得，冋卜&t>sp/才44S/5 4 -IL - 一 ' 一一 一-一 一'：丨_一_1二一1。例9 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线；！ L 一 的右焦点F作倾斜角为1期的直线，交双曲线于尸盘两点，则阿H5"创的值为离心率，点准距-I因倾斜角为二丁，所以P二丁。注意到'-分别在双曲线的两支上，由焦半径公式阴阿卜卡聖务 仝得,s cos&-1 & cos 9-1 召 cos 3 12 cos 30 -1例10（ 2007年高考全国卷I）如图 6,已知椭圆一 一 的左、右焦点分别为 匸二，过-的直线交椭圆于丄一两点，过二的直线交椭圆于宀丄两点，且广二一三匸。求四边