渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

1、文章编号 : 1006 22343 ( 2007) 032074205渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响贺静 ,张志强 ,唐勇 ,夏尊凤(长沙大学机电工程系 ,长沙410003 , E2m a il: he jingg 163. com )摘 要 :基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型 ,构建了齿根任一点局部应力的折截面法计算数学模型 ,提出了渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径的计算公式 ,并验证了曲率半径计算公式的准确性 ,应用齿 根应力计算数学模型分析讨论了不同参数条件下曲率半径对齿根应力的影响 。其分析结果将为渐开线齿轮设 计 、参数优化选择等提供参考数据 ,同时为齿根应力数值分析提

2、供了新的数学模型 。关键词 : 渐开线齿轮 ;曲率半径 ;齿根应力中图分类号 : TH132文献标识码 : AThe Effec t of Too th Roo t Tran s it ion C urve for In vo lu te Gea r s on Roo t S tre ssZHAN G Zh i2q iang,X IA Zun2fengH E J ing,TAN G Yong,(D ep a rtm en t of M echan ica l & E lec trica l Enginee ring, Changsha U n ive rsity, Changsha 4

3、10003 )A b stra c t: B a sed on the m a them a tica l mode l of of invo lu te gea r too th p rofile a t any ro ta ry angle, the stre ss ca lcu2 la tion m a them a tica l mode l of any po in t on the roo t by b roken2line sec tion m e thod we re con struc ted, the ca lcu la te ing fo r2 m u la we re

4、p u tted fo rwa rd fo r the cu rva tu re rad iu s of invo lu te gea r tran sition cu rve, and the accu racy of the fo rm u la fo r cu rva tu re rad iu s is va lida ted. U sing the stre ss ca lcu la tion m a them a tica l mode l, the influence of cu rva tu re rad iu s on roo t stre ss w ith d iffe re

5、n t p a ram e te r we re ana lyzed and d iscu ssed . The re su lt w ill offe r refe rence da ta fo r de sign of invo lu te gea r and op tim iza tion of p a ram e te r cho ice, and a lso new m a them a tica l mode l fo r num e rica l ana lysis on roo t stre ss.Key word s: invo lu te gea r; cu rva tu

6、re rad iu s; roo t stre ss渐开线齿轮齿根过渡曲线的曲率半径是描述齿根过渡曲线的重要参数 ,齿根过渡曲线的形状对齿根弯曲应力 、齿 轮的承载能力等都有直接影响 。因此 ,对渐开线齿轮的齿根过渡曲线的曲率半径进行研究具有重要意义 。但是 ,目前对 齿根过渡曲线形状的精确描述有待进一步商榷 ,而齿根过渡曲线数学模型的精度将直接影响其曲率半径计算结果的准确度 。任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数方程 1 能准确 、真 实的描述渐开线齿轮齿根过渡曲线上的任一点 ,因此可基于 该数学模型实现对渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径 (简称曲率半径 )的研究 ,并揭示齿轮参数变化时曲率半径对

7、齿根应力的影响规律 。1 渐开线齿轮的齿廓数学模型1. 1 渐开线齿轮的齿廓数学模型渐开线齿轮的齿廓由齿顶圆弧 、渐开线齿廓曲线 、齿根 过渡圆弧 、齿根圆弧四段曲线 构成 13 。而齿顶圆弧 、齿根圆弧可在各软件环境中生成 ,故不需考虑 。令参考文献 1 中的式 ( 14 ) 、( 15)的 = 0, 并改写式 ( 15 ) , 使其与式 ( 14 ) 形 式相近 , 整理可得 :渐开线齿廓曲线的数学模型 :x = rco s+ ( r - Sh ) sin (+t ) co sty = ±rsini ( r - S h ) co s (+t ) co st( 1 )式中 , S

8、h为刀具节 线 长 度 的 一 半 ; 为 渐 开 线 摆 角 , cj 1 + tan a rcco s r / r ) ; 为齿轮分度圆端面压S h / r - tan( bat力角 。其中 ,cj为渐开线齿廓曲线与齿根过渡曲线交点处的渐开线摆角 。 齿根过渡齿廓曲线数学模型 :x = rco s+ ( r - S sin + / co s( 1 )1hf )( 2 )y = ±rsini ( r - S co s + / co shf )( 1 )1式中 ,为渐开线摆角 ,线的距离 ,cg S f / r; S hf为包络点距刀具中垂S = S + ( 1 - 221 ) -

9、0. 5co s1f co shfff1 为包络点的端面压力角 ,1 = a rc tan- Hfr - Sf其中 ,cg为齿根过渡曲线与渐开线齿廓曲线交点处的渐开线摆角 ;f 为齿根过渡曲线的离心率 ,co s22 2t - co sco sf =co s4t式 ( 1) 、( 2)中及其他参数的意义及计算详见文献 14 。1. 2 模型精度分析基金项目 : 湖南省教育厅资助科研项目 ( 06C168 )收稿日期 : 2007 - 01 - 29第 3期贺 静等 :渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响75文献 1 对齿廓模型的精度已进行了数值校验 , 为了进一步校验其准确性 , 在 MD

10、T环境中将数学模型 ( 1 ) 、( 2 ) 生 成的齿廓曲线与按范成法加工形成的包络线进行比较 (见图1 ) , 并测量两者之间的距离 ,结果为零 ,测量误差小于 10 - 4mm (MD T默认精度 ) 。这表明所采用的数学模型有足够的 工程精度 。增大 。3m = 3mm = 20 ° z = 16 = 0. 38f图 3 过渡曲线的曲率中心图 1 包络线与方程曲线2 渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径2. 1 曲率半径计算表达式文献 5 阐述了基于延伸渐开线的等距曲线和欧拉 - 沙 伐尔定理的渐开线齿轮过渡曲线曲率 半径的计算方法 , 按 等距线描述的齿根数学模型在螺旋角不为零时

11、存在着误差 ,其曲率半径计算也存在偏差 。而任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能精确的描述齿根过渡曲线 ,因此 , 可运用 欧拉 - 沙伐尔定理 ,推导出基于此数学模型 1 的渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径计算表达式 。 按范成法用齿条型刀具加工齿轮时 ,相当于齿轮齿条啮合 。由图 2可知 ,刀具节线与齿轮节圆为两瞬心线 ,刀具齿顶圆弧与齿轮过渡曲线为一对共轭齿廓 , C 点为刀具齿顶圆 弧中心 , E点为瞬心线接触点 , 直线 TE 为齿廓公法线 , m - m为刀具节线的中垂线 , n - n 过 E 点且垂直于直线 TE。根据欧拉 - 沙伐尔定理 , D 点为过渡曲线的曲率中心 , 齿

12、根过渡 曲线的曲率半径计算表达式为 :3m = 3 = 0. 38 = 20 ° z = 30图 4 曲率半径比较f对 m = 3mm , = 20°, z = 30,3 = 0. 38,值分别为 8 °、f16°的齿轮进行曲率半径的计算和实测 , 图 4为式 ( 3 ) 计算结果 、等距线的曲率半径计算结果 、仿真曲率半径 (范成法加工 形成的包络线 ) 测 量 值 的 分 析 对 比 图 。可 以 看 出 , 按 公 式( 3 )计算的曲率半径和仿真曲率半径的测量值非常接近 。3 齿根应力计算数学模型3. 1 齿根应力计算数学模型在齿根应力及齿轮参数

13、的影响分析 , 国内外的研究者已 经做了大量的工作 , 并采用不同的研究方法获得了许多有益 的成果 58 。其中应用较广的是折截 面法和平截面法 。任 意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能精确描述齿廓曲 线 , 折截面法齿根应力计算公式的精度相对较高 5 , 因此二 者结合可构建新的应力计算数学模型 , 所构建的基于任意转 角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的齿根任一点局部应力 的折截面法计算数学模型为 2 ( Hf co s1 + ( S h f - S f ) sin1 ) rHf sin1 =-( 3)sin21rsin2 + H1 f式中各个变量的意义详见参考文献 1 。 ht co s2

14、H - sin co s = F( 4 )S22S式中 , F为作用在齿面上任一点的力 (N ) ;S 为过渡曲线上待求点的齿厚的一半 (mm ) ,S = xg sin ( / z) - yg co s ( / z) ;图 2 齿根过渡曲线曲率半径分析图( 5 )2. 2 曲率半径的分析比较在 MD T中编程绘制 m = 3mm , z = 16, 3 = 0. 38 时不同为过渡曲线上待求点处的 切线与轮齿对称线之间 夹角 ( rad) ,f螺旋角的齿轮齿廓曲线及过渡曲线曲率中心轨迹图 , 结果见图 3。可知 :随着 x值的增大 , 过渡曲线的曲率半径 值随之 = - g - 1 - ;(

15、 6 )z© 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 76机械设计与研究第 23卷ht 为 F力作用线与轮齿对称线的交点到过渡曲线上待求点处的法线与轮齿对称线的交点之间的距离 (mm ) , rb yght = co s- S co s - a rc tg- tg ;( 7)zxg为 F 力作用线与轮齿对称线的垂线之间夹角 ( rad) ,=j +t - z ;H 的意义见文献 5 ,( 8)- co sH =2SS3 + 2 co s+ co sco s+-

16、 lnS22co s + SS32图 5 不同 f 时曲率半径与齿厚关系图( 9) 其中 ,j 为式 ( 1)中的 ;g 、1 为式 ( 2 ) 中的 、; xg 、yg 为由 式 ( 2 )所求出的过渡曲线上待求点的坐标值 ; 由式 ( 3 ) 求得 。 其它变量的意义详见参考文献 15 。3. 2 数学模型中主要参数的分析从齿根应力计算数学模型中可知 :在相同载荷和作用位 置下 , 齿根过渡曲线上每点的局部应力值与 S、ht、有关 。 其中 S、ht值的精度可由渐开线齿轮齿廓数学模型的精度 得以保证 ,值的精度可由式 ( 3 )保证 。渐开线齿轮的刀廓构成参 数 m 、h3 、c3 、x、

17、3 的不同af图 6 不同 3 时曲率半径与齿根应力关系图f取值将直接影响齿轮的齿廓形状 , S、ht、等参数的值也随之变化 。表 1是模数分别取 3mm、5mm 时 , 根据式 ( 4 ) 计算 的齿根最大应力值及各参数的值 。由表可见 ,随着 m 值的增 加 , 虽然 、S /不变 , ht值增加 , 但 S 值 、值同时增加 , 齿根 应力降低 。由此可见增加 值可以减小应力集中 , 提高齿根曲率半径时 , S变化 相对平缓 , 齿 根应力值主要受曲率半 径值影响 。分析数据表明 , 随着 3f 增大 , 齿根最大应力点的曲率半径值和 S 增大 , 从而减小齿根最大应力 。且该点位置与

18、S 沿曲率半径由变化幅度较大转为变化平缓的位置处相对应 , 说 明齿根形状发生突变是齿根最大应力产生的重要原因 。综上可知 , 增大齿根过渡曲线曲率半径可以减小齿根应 力 , 因此可以通过增大刀尖圆弧半径的值达到提高齿根弯曲强度的目的 。2弯曲强度 ; S 值增加 , ht / S 的值减小 , 齿根应力减小 ; 由此可见 , 齿厚变化较大时 , 曲率半径和齿厚是齿根应力的主要影 响因 素 ; 齿 厚 变 化 较 小 时 , ht是 齿 根 应 力 变 化 的 主 要 影 响 因素 。表 1 不同模数 m 时 , 式 ( 4)的各计算值表 14. 1. 2 不同 h3 、c3 时曲率半径对齿根

19、应力值的影响a由图 7 和图 8 可知 , 减小 h33a 、c 的值 , 相同曲率半径处齿根齿厚减小 , 造成小曲率半径处的齿根应力值增加 。但在曲率半径较大处 , 随着 h33a 、c 的减小 , 齿根应力值减小 。这注 : z = 30, = 20 °, h3 = 1, c3= 0. 25,3 = 0. 38是因为曲率半径增大 , 1 /减小 , 削弱了齿厚对齿根应力的影af334 曲率半径对齿根应力的影响4. 1 曲率半径对齿根应力值的影响响 ; 而减小 ha 、c 使得齿高减小 , 从而力臂 ht减小 , 因此 , 此4. 1. 1 不同 3 时曲率半径对齿根应力值的影响f

20、改变刀尖圆弧半径的值齿根过渡曲线形状将发生变化 。为分析此时曲率半径对齿厚和齿根应力的影响 , 应用式 ( 4 )对 m = 3mm , z = 30, = 20 °, 不同 3 的直齿轮进行齿根应力f计算 , 得到齿根过渡曲线齿厚和应力随曲率半径变化趋势见图 5和图 6。参考图 5和 6 可知 , 增大刀尖圆弧半径系数可以整体降低齿根应力值 , 这是因为增大 3 会加大 S , 从而有效降低齿f根应力 。在相同 3 时 , 曲率半径较小处的齿根 应力呈现较f3m = 3mm , z = 30, = 20 °,f = 0. 38大增长 。这与小曲率半径时齿厚 S 较大幅度减

21、小有关 , 表明小曲率半径时影响齿根应力值的主要因素是 S 的变化 , 而大33图 7 不同 ha 、c 曲率半径与齿厚关系图© 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. m /mm/ °S /mm/mmh t /mmS / /M Pa322. 44712. 99951. 908956. 715451. 57129109. 597522. 44714. 99923. 1815811. 19241. 5712965. 75832第 3期贺 静等 :渐开线

22、齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响77时主要影响齿根应力的是力臂 ht。h3 减小时明显可见最大齿根应力值减小 。这是因为减a小 h3 对力臂影响相对较大 。以最大应力发生处为例 : c3 =a30. 4 时 ht = 7. 15909, c = 0. 1 时 , ht = 6. 50735, 减 小 幅 度0. 09 % ; h3 = 1. 0 时 h = 6. 84263, h3 = 0. 7 时 h = 5. 28233,atat减小幅度 22. 8% 。但增大 h3 、c3 能提高齿轮传动的重合度 ,a由此可知 , 在满 足 齿 轮 传 动 平 稳 的 前 提 下 可 以 选 择 较 小

23、 的h3 3a 、c 来增大曲率半径 , 从而提高齿根弯曲强度 。m = 3mm , z = 30, = 20 °, 3 = 0. 38f图 9 不同 x时曲率半径与齿厚关系图m = 3mm , z = 30, = 20 °,3 = 0. 38f图 8 不同 h3 、c3 曲率半径与齿根应力关系图a4. 1. 3 不同 x时曲率半径对齿根应力值的影响图 9和图 10反映了不同变位系数时齿根齿厚和齿根应 力相对于曲率半径的变化趋势 。当 x 由负变为正时 , 齿厚增 加明显 , 从而齿根弯曲强度明显提高 。这表明正变位齿轮强度大于负变位齿轮 。同时可见 , 对于正变位齿轮而言

24、 , x的增大未能明显改善齿根弯曲强度 。4. 1. 4 不同 时曲率半径对齿根应力值的影响结合图 11和图 12 可 知 , 小曲率 半径时 , 压 力角的改变 对齿厚和应力值无明显影响 。曲率半径增大到一定值后 , 齿 厚随着压力角增大其值明显增加 , 齿根应力减小 。表明压力角的改变主要影响渐开线齿轮的齿根厚度值 , 从而齿根强度发生变化 。4. 2 曲率半径对齿根应力分布的影响m = 3mm , z = 30, = 20 °, 3 = 0. 38f图 10 不同 x时曲率半径与齿根应力关系图4. 2. 1 不同 3 时曲率半径对齿根应力分布的影响f图 13和图 14为不同 3

25、 时曲率半径和齿根应力沿 X 轴m = 3mm , z = 30, 3 = 0. 38ff图 11 不同 时曲率半径与齿厚关系图分布情况 。随着 3 增大 , 齿根曲率半径沿齿根 变化较为平f缓 , 齿根应力分布也趋向平缓 ;同时 ,3 增大导致曲率半径的突变点右移且值增大时 ,f与之相对应 , 齿根最大应力点同时右移且值减小 。这验证了齿根形状的突变是齿根最大应力产生的重要原因 。4. 2. 2 不同 h3 、c3 、x时曲率半径对齿根应力分布的影响a从图 15可知 , 改变 h3 、c3 、x的值会改变过渡曲线位置 、a弧长和每点处曲率半径的值 , 但曲率半径沿 X 轴增长趋势大致相同 。

26、对比图 16可以发现 , 相同 X 坐标位置 , 齿根应力值随着 h3 、c3 、x的改变而发 生变化 , 而 沿 X 轴应 力值的变化a情况大致相同 。由此说明 , 曲率半径沿齿根分布情况和齿根应力分布相似 。m = 3mm , z = 30, 3 = 0. 38f图 12 不同 时曲率半径与齿根应力关系图© 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 78机械设计与研究第 23卷3m = 3mm, z = 30, = 20 °,f = 0. 38图

27、13 不同 3 曲率半径沿齿根分布图f图 15 不同 h3 、c3 、x时曲率半径沿齿根分布图a图 14 不同 3 时齿根应力分布图fm = 3mm, z = 30, = 20 °3 = 0. 38f图 16 不同 h3 、c3 、x时齿根应力分布图a5 结论参考文献 :( 1 ) 所采用 的渐开线齿轮齿廓数学模 型经 进 一 步 验证 , 能高精度地描述整个渐开线齿轮齿廓 。( 2 ) 所建立的曲率半径计算公式在齿轮螺旋角 不为 零时 , 其精度高于等距线的曲率半径计算公式 。( 3 ) 基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的 齿根任一点局部应力的折截面法数学模型经对相关主要参数的验证 , 能全面描述齿根应力及其分布 , 为数值分析提供 了较好的数学模型 。 1 张志强 ,贺静 ,唐勇 ,等. 任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数方程的研究 J . 机械传动 , 2005 , 29 ( 2 ) : 10 13.