函数专题——一次函数的应用

1、适用学科适用区域知识点教学目标教学重点教学难点.一次函数的应用初中数学适用年级初中二年级通用课时时长（分钟）60待定系数法求一次函数关系式，一次函数的图像，一次函数的性质,一次函数的应用1能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.一次函数图象的应用正确地根据图象获取信息，并解决有关问题.教学过程一、 课程导入在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节

2、课的主要内容。.二、 复习预习如图（ l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图（ 2）所示，当 k0，b O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图（ 3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图（ 4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）k0y 的值随 x 值的增大而增大；当kO y 的值随 x 值的增大而减小；注意：一次函数 ykx b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为b，(0， b)它的倾斜程度由 k 决定，, 0kb 决定该直线与 y 轴交点的位置

3、.三、知识讲解考点 1待定系数法确定一次函数表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y kx(k 0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为 ykx b(k0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入ykx或ykx b中，求出其中的 k，b，即可确定出其关系式.考点 2一次函数中的图表问题通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的

4、是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.考点 3一次函数中的一次函数中数形结合的实际问题要学会通过读图分析题目中的条件和等量关系.四、例题精析考点一待定系数法确定一次函数表达式例 1、已知一次函数的图象经过(2，5)和(1， 1)两点(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式.【规范解答】 :(1)图象如图所示2kb5,k2,(2)设函数解析式为 ykx b，则b1,解得1,kb所以函数解析式为y 2x1分析 : 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式.考点二一次函数中的图表问题例 2、 一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于 A ，B 两

5、点，如果 A 点的坐标为 (2，0)，且 OA OB，试求一次函数的解析式.【规范解答】：设一次函数的关系式为y kx b(k，b 为常数，且 k0)OA OB，点 A 的坐标为 (2，0)，点 B 的坐标为 (0， 2)点 A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y kxb，2kb0, k1, 0b2, b2.一次函数的解析式为 yx2分析：通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB OA 2，所以点 B 的坐标为 (0， 2)，再结合 A 点坐标，即可求出一次函数的关系式.考点三一次函数中数形结合的实际问题例 3、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定

6、重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示求：（1）y 与 x 之间的函数关系式；（2）旅客可免费携带的行李的重量.【规范解答】：（1）设一次函数的关系式为y=kx+b 当 x=60 时， y=6，当 x=80 时， y=10，60kb61k80kb解得510b6所求函数关系式为 y=1x-6（）5x 301（ ）当y=0时，x-6=0x=3025故旅客最多可免费携带 30千克行李分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时考查了在直角坐标系中的读图能力.例 4 、在一次遥控车比赛中，电脑记

7、录了速度的变化过程，如图所示，能否用函数关系式表示这段记录?.【规范解答】：观察图象可知当 t 在 01 s 内时，速度 v 与时间 t 是正比例函数关系， v 7 5t(0t1)当 t 在 18 s 内时，速度 v 保持不变， v75(1t8)；当 t 在 810 s 内时，速度 v 与时间 t 是一次函数关系，设一次函数为vkt b(k0)，又一次函数图象过 (8， 7 5)和(10，0)，7.58kb,k3.75,则10kb,解得37.5.0bv 375t37 5(8 t10)即：7.5t (0t 1),v7.5(1 t8),3.75t37.5(8 t 10).分析：根据所给图象及函数图

8、象的增减性，本题要分三种情况进行讨论 电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度 v(ms)之间的关系，在 10 s 内，赛车的速度从0 增加到 7 5 ms，又减至 0，因此要注意时间对速度的影响.五、课堂运用【基础】1、已知一次函数y kx b(k0)的图象经过点 A( 3， 2)及点 B(1， 6)，求此函数关系式，并作出函数图象.【规范解答】：3kb 2,k2,由题意可知6,4.k bb函数关系式为 y2x 4图象如下图所示。分析 :可将由已知条件给出的坐标分别代入ykx b 中，通过解方程组求出k，b 的值，从而确定函数关系式.2、关于一次函数y=-x+1 的图像 ,下列所画正确的是

9、().答案： C【规范解答】：由题意得：函数的k 为 -1，b=1，函数为减函数，且与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，结合选项可得 C 符合题意故选 C分析：根据函数的 k 为-1，b=1，可判断函数为减函数，且与y 轴的交点在 y 轴的负半轴.【巩固】1、一个矩形被直线分成面积为x， y 的两部分，则 y 与 x 之间的函数关系只可能是（）ABCD.答案： A【规范解答】：因为 x+y=k （矩形的面积是一定值） ，整理得 y=-x+k ，由此可知 y 是 x 的一次函数，图象经过二、四象限，x、y 都不能为 0，且 x0，y0，图象位于第一象限，所以只有 A 符合要求故选 A分析：因为个

10、矩形被直线分成面积为x，y 的两部分，矩形的面积一定，y 随着 x 的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案。.2、在平面直角坐标系中，已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A1,2 ,B 3,4 ,C 2,9 .（1）画出 ABC ，并求出 AC 所在直线的解析式 .（2）画出 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90o 后得到的 A1 B1C1， 并求出 ABC 在上述旋转过程中扫过的面积 .【规范解答】：y（1）如图所示， ABC 即为所求 .设 AC 所在直线的解析式为y kx b k 0CA1,2， C2,9kb2k72k b 9解得b5 ， y 7 x 5 .B

11、A A1B1C11（2）如图所示，A1BCO1x11 即为所求 .90522由图可知， AC5 2， SS扇形S ABC =256 .36062分析：（1）利用待定系数法将 A（ 1，2），C（ 2， 9）代入解析式求出一次函数解析式即可；（2）根据 AC 的长度，求出SS 扇形 S，就即可得出答案ABC.【拔高】1、假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2 小时油箱中余油28 升，耕地 3 小时油箱中余油22升(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间 t(小时 )之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3 小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?.【

12、规范解答】：(1)设函数关系式为 Q ktb(k0)282kb,k6,由题意可知223kb,b40.余没量 Q 与时间 t 之间的函数关系式是Q 6t 4040 6t0，t203 20自变量 t 的取值范围是 0t 3 20(2)当 t0 时， Q40；当 t 3 时， Q 020得到点 (0， 40)， ( 3 ，0)20连接两点，得出函数Q 6t40(0t)的图象，如右图所示.(3)当Q0t202033 2(小时 )时， 3，那么 3 3拖拉机还能耕地 3 2 小时，即 3小时 40 分3分析：由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内 ).2、在平面直角坐标系中，点P

13、从原点 O 出发，每次向上平移2 个单位长度或向右平移1 个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P 从点 O 出发，平移 1 次后， 2 次后， 3 次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次（0，2），（1，0）2 次3 次（2）观察发现：任一次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1 次后在函数y=2x+2的图象上；平移 2 次后在函数y= 2x+4的图象上 由此我们知道， 平移 n 次后在函数y= 2x+2n的图象上（请填写相应的解析式）.（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后

14、，到达直线y=x 上的点 Q，且平移的路径长不小于50，不超过 56，求点 Q 的坐标.【规范解答】：（1）如图所示：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次2 次（0，4），（1，2），（2，0）3 次（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）（2）设过（ 0，2），（1，0）点的函数解析式为： y=kx+b （k 0），2b则，0kb.b2,解得.k2故第一次平移后的函数解析式为：y=2x+2；答案依次为： y= 2x+2； y=2x+4； y=2x+2ny2x2n,（3）设点 Q 的坐标为（ x，y），依题意，yx解这个方程组，得到点Q 的坐标为平移的路径长为x+y，505

15、6 37.5 n42点 Q 的坐标为正整数，点 Q 的坐标为（ 26，26），（28，28）.分析：（1）根据点的平移特点描出每次平移后P 点的位置即可；（2）先根据 P 点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点 Q 的坐标为（ x，y），求出 Q 点的坐标，得出 n 的取值范围，再根据点Q 的坐标为正整数即可进行解答.课程小结1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时， 首先要看横轴、 纵轴分别代表的是什么， 也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现