定比分点、平移、正余弦定理doc

1、要点重温之定比分点、平移、正余弦定理P PPP2，则称点P分有向线段P P1若 11 2 所成的比为 。注意：“定比”不是“比” ，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当P 为外分点时 为负，内分点时 为正， P 为中点时 = 1，若起点 P1 (x1 ,y1) ，终点 P2 (x2,y2) ，则分点 P (x0 ,y0)的坐标为： x0 = x1x2,y0 = y1y2 。由此推出： 中点公式及三角形的重心公式:在 ABC11,y 3），则 ABC 的重心 G（ x1x2x3 ， y1y2y3 ）。中，若 A（ x1 ,y1）、B（ x2,y2）、C（x333 举例

2、 1 设 O（ 0， 0）， A（ 1，0）， B（0， 1），点 P 是线段 AB 上的一个动点，APAB ，若OP ABPA PB ，则 的去值范围是：A 1 1 B 1-2 1 C 1 1+2 D1-2 1+2222222解析：思路一： APABAP( APPB)AP1PB ，即 P 分有向线段 AB所成的比为1，由定比分点坐标公式得：P（ 1- ， ） , 于是有 OP =（ 1- ， ），AB =(-1,1),PA =（ ，- ）， PB =（ -1 ，1- ）， -1+ ( -1)- (1- )2 2-4 +101-2 1+2 。思路二：记P(x,y)，由 APAB 得：22(x-

3、1,y)=(- , )x=1- ,y= 即 P（ 1- ， ），以下同“思路一” 。思路三： AB =(-1,1)， AP =（- ， ）， PA =（ ，- ）， OP = OAAP =（1- ， ），PB=PAAB =（ -1 ， 1- ），以下同“思路一” 。 举例 2 已知 ABC中，点 B（ -3 ， -1 ）， C（ 2， 1）是定点，顶点A 在圆（ x+2） 2+(y-4) 2=4上运动，求 ABC的重心 G的轨迹方程。解析：记 G（ x,y ） ,A(x 0,y0),由重心公式得： x= x01,y=y0 , 于是有： x0=3x+1,y 0 =3y，33而 A 点在圆（ x+

4、2）2222+(y-4)=4 上运动，（3x+1+2） +(3y-4) =4, 化简得：( x 1) 2( y4)24 。39 巩固 已知 P 是曲线 C： y=xn( n N) 上异于原点的任意一点，过P 的切线 l 分别交 X 轴， Y轴于 Q、 R两点，且PQ1QR ，求 n 的值。2 迁移 已知 yf (x) 是定义在 R 上的单调函数，实数x1x2 ，1, ax1x2,1x2x1 ，若 | f ( x1 )f (x2 ) | | f ( ) f () |，则（）1A 0B 0C 01D12. 关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量

5、a (m,n) 平移得到点 M (x+m,y+n)；曲线 C：f(x,y) =0 按向量 a (m,n) 平移得到曲线C/ ： f(x-m,y-n)=0 。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。注意 ：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。举例将直线 x- by+1=0 按向量 a =（ 1，- 1）平移后与圆x2- 4x+y 2+3=0 相切，则 k=。解析：思路一：直线 l ：x- by+1=0按向量 a 平移即“向右、向下各平移1 个单位”，亦即： x变为 x- 1， y 变为 y+1，得直线 l/ ： x-

6、 by- b=0 ，圆： (x- 2)2+ y 2=1, 直线 l /与圆相切，则有：| 2b |得 b= 3 。思路二：圆M ：(x- 2)221+ y =1 按向量 - a 平移（ x 变成 x+1,y 变成 y- 1）1b24后得：圆 M /： (x- 1)2+(y - 1) 2=1,圆 M / 与直线 l： x- by+1=0 相切，有 | 2b |1得 b= 3 。1b24思路三：圆心M（ ，）按向量-a 平移后得M/（，），M/ 到直线l的距离为。2 0111 巩固 1已知点 A（ 1，2）、B（ 4，2），向量 AB 按 a =（1，3）平移后所得向量的坐标为 （）（A ）（3，

7、 0）（ B）（ 4， 3）（ C）（ -4， -3）（ D）（ -4，3） 巩固 2若把一个函数的图象按a =（， 2）平移后得到函数 y= cosx 的图象，则原图象3的函数解析式为： A y=cos(x+) 2；B y= cos(x) 2；33C y= cos(x+)+2 ；D y= cos(x)+233 迁移 已知函数 f(x)= - 3 sinxcosx+3cos 2x-1,x R2（1）将 f(x) 表示成 Asin(2x+)+B 的形式（其中 A>0,0<<2 ）（2 ）将 y=f(x) 的图象按向量a 平移后，所得到的图象关于原点对称，求使| a | 得最小的

8、向量 a。3三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a 、b 、 c（或 sinA 、 sinB 、 sinC ）的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a 、 b 、 c 平方的和差形式，常用余弦定理转换。举例 1 ABC 的三内角的正弦值的比为4： 5： 6，则三角形的最大角为。解析：由正弦定理得：ABC 三边的比为4： 5：6，不妨设 a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)则边 c 所对的角 C 为最大角， cosC= 16k 225k 236 k21 , C=arccos 1 。24k5k88举例 2

9、在 ABC 中，角 A 、 B、 C 所对的边分别为a、b、 c，若 a2+b2=6c2,则(cot Acot B)tanC 的值为解析：对 (cot Acot B) tan C “切化弦”得：sin 2 C，再由正弦定理得c22c 2sin A sin B cosC，再对 cosC 使用余弦定理得：2222。b2，将 a +b =6c ,代入接得原式等于5ab cosCa2c2巩固 1若 ABC三边成等差数列，则 B 的范围是；若 ABC三边成等比数列，则B的范围是；巩固 2若三角形三边a、 b、c 满足 a2 +c2=b2+ac，且 a:c= (31):2 ，求角 C 的大小。 迁移 已知

10、 ABC 中， sinA(sinB+ 3 cocB)=3 sinC,BC=3, 则 ABC 的周长的取值范围是。4 关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。0P 到 ABC三个顶点的距 举例 ABC中， AB=9， AC=15， BAC=120，它所在平面外一点离是 14，那么点 P 到平面 ABC的距离是：。P解析：记 P 在平面 ABC上的射影为 O， PA=PB=PCOA=OB=OC，即 O是 ABC的外心，只需求出OA（ ABCO的外接圆的半径） ，记为 R，在 ABC中由余弦定理知：CBBC=21，在由正弦定理知： 2R=210 =143 ， OA=7

11、3Asin120得： PO=7。 巩固 已知 O的半径为 R，若它的内接 ABC中， 2R(sin222 a-b)sinB, 求（ 1）A-sinC)=(C 的大小；（ 2） ABC的面积的最大值。xmyn 迁移 直线 l ： x my n(n0) 过点 A(4,4 3) ，若可行域3xy0 的外接圆直径y0为 14 3 ，则实数 n 的值是 _35 正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。acb 举例 1已知 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且 BC

12、 边上的高为,则的2b c最大值为：A.22B.2C.2D.4解析： cb = c 2b2，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA= b2c2a 2bcbc2bc而条件中的“高”容易联想到面积，a abc sin AAa2即 a22bc sin A，将代入得：2b2c 2BDC2bc(cos Asin A) cb =2（cosA+sinA ） =22 sin(A+)，当 A=时取得最大值 22 ，故选 A。bc44 举例 2 如图，已知 A、 B、 C 是一条直路上的三点，AB与 BC各等于 1 千米，从三点分别遥望塔M，在A 处看见塔在北偏东450 方向，在 B 处看见塔在正东方向，在 C

13、处看见塔在南偏东600 方向，求塔到直路 ABC的最短距离。解析：已知000AB=BC=1， AMB=45， CMB=30， CMA=75易见 MBC与 MBA面积相等， AMsin 450 = CMsin 300即CM= 2AM，记 AM=a ，则 CM=2 a ，在 MAC中， AC=2，由余弦定理得：4=3 a 2-2 2 a 2cos75 0， a 2=443, 记 M到 AC的距离为 h ，则2 a 2sin75 0=2 h得 h =75 3 ，塔到直路ABC的最短距离为 7 5 3 。1313巩固 1如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点，且OA=2 ，B 为半圆周长上任意一点，以AB 为边作等边 ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积 . 巩固 2一艘海岸缉私艇巡逻至A 处时发现在其正东方向20 km 的海面B 处有一艘走私船正以vkm/ h 的速度向北偏东300 的方向逃窜，缉私艇以3 vkm/ h 的速度沿的方向追击，才能最快截获走私船？若v =403 ，则追击时间至少为分钟。简答1、 巩固 3 ；迁移 A ；2、，巩固1A， 巩固2“倒行逆施” ：函数y= cosx的图象按- a =（， 2）平移，选D ； 迁移 （ 1） f (x)3sin( 2x2 )1，（ 2） (, 1)3363 巩固 1（ 0，（