排列组合习题含详细答案

1、圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 （方法对比，二星）题面：（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方 法？（2） 有 5 个数学竞赛名额要分配给 3 所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名 额分配方法？解析：“名额无差别”一一相同元素问题（法 1） 每所学校各分一个名额后， 还有 2 个名 额待分配，可将名额分给 2 所学校、1 所学校， 共两类：c；C3（种）（法 2挡板法）相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：C：6（种）注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.（位置有差别，元素无差别）

2、同类题一题面：有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？答案：c96详解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成 9 个空隙。在 9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成 7 份，对应地分给 7 个班级，每一种插板方法对应种分法共有 C：种分法。同类题二题面：求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。答案：36.详解：将 10 个球排成一排，球与球之间形成 9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 之值，故解的个数为 C92=36 （个）。2.题 2 （插空

3、法，三星）题面：某展室有 9 个展台，现有3件展品需要 展出，要求每件展品独自占用1个展台，并 且3件展品所选用的展台既不在两端又不相 邻，则不同的展出方法有 _ 种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不 超过两个展位，则不同的展出方法有 _ 种.答案：60,48同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有 多少种排法？答案：AA4种.详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插 空，所以先排男生再让女生插到男生的空中， 共有A A种不同排法.同类题二 题面：有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰 有两个空座位相邻的不同坐法有（）A. 36 种B. 48 种

4、C. 72 种D. 96 种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后 插空，从而共 A?A4=72 种排法，故选 C.3.题 3（插空法，三星）题面：5 个男生到一排 12 个座位上就座，两 个之间至少隔一个空位.1没有坐人的 7 个位子先摆好，2（法 1插空）每个男生占一个位子，插入 7 个位子所成的 8 个空当中，有：Af=6720 种排法.（法 2）15 个男生先排好：A；2每个男生加上相邻的一个座位，共去掉 9个位置，当作 5 个排好的元素，共有 6 个空，剩下的 3 个元素往里插空，每个空可以插 1 个、2 个、3 个元素，共有：C；2C

5、f C6种，综上：有Aj（C：2C6C6）=6720 种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，贝 y不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为ABo 先排 A 节目。根据 A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，有种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有种方法。故由分步计数原理 知，方法共有叩缶 30(种)同类题二 题面：(2013 年幵封模拟)2 位男生和 3 位女生共 5 位 同学站成一排，若男生甲不站两端，3

6、 位女生 中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种 数是()A . 60B . 48C. 42D. 36答案：B.详解：第一步选 2 女相邻排列 C2A2，第二步与 男一女排列 A2，第三步男生甲插在中间，1 种插法，第四步男 一男生插空 C1，故有 C3A2A2C4=48种不同排法.4.题 4 (隔板法变形，三星)题面：15 个相同的球，按下列要求放入 4 个 写上了 1、2、3、4 编号的盒子，各有多少种 不同的放法？(1) 将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；C14364(2) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3) 将 15 个球放入盒子内，每个盒子

7、不必非空；(4) 任取 5 个球，写上 1-5 编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5) 任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号 的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放 入偶数编号的盒子.解析：(2) 先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3 个球，剩下的 9 个球用挡板法，C；=56(3) 借来 4 个球，转化为 19 个球放入盒子内，每个盒子非空，C38816(4) 不能用“挡板法”，因为元素有差别 .(法 1)必有一个盒子有 2 个球，cfA240；(法 2)先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3个里，剩下的盒子自然放 2 个球.33C5A4240;（法 3

8、）A4C4480,会重！需要除 2!重复原因：1 号盒子放 1、5 号球，先放 1 后放 5 与先放 5、后放 1 是一样的！（5）（法 1）每个球都有 2 种选择，共有210种方法；（法 2）奇数号的球有 1、3、5、7、9,共 5 个,可以在 1、3 号两个盒子中选一个放入，共有：C5C54C C：C5C25种放法，同理放偶数号的球也有25种方法，综上共有210种方法.同类题一题面：某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序 出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加， 且甲车要先于乙车幵出有_ 种不同的调度方法（填数字）.答案：120.详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C2种

9、选 法，连同甲、乙共 4 辆车，排列在一起，先 从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在 乙前共有 C4种，最后，安排其他两辆车共有A2种方法，故不同的调度方法为C5C?A2=120 种.同类题二题面：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起 降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰，如 果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不 能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）A.12B. 18C.24答案：C.详解：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A,有A；种方法；A与戊机形成三个“空”，把 丙、丁两机插入空中有Af种方法；考虑A与戊机 的排法有A；种方法.由乘法原理可知共有AA3 A；24种不同的着舰方法.

10、故应选 C.5.题 5（相同与不同，三星）题面：某同学有同样的画册 2 本，同样的集 邮册3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每 位朋友 1本，则不同的赠送方法共有（）A. 4 种 B . 10 种 C . 18 种 D .2（ 种同类题一题面：（2013 北京高考）将序号分别为 123,4,5的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张, 如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不 同的分法种数是_答案：96.详解：按照要求要把序号分别为 123,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连 号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其 方法

11、数是 4A?=96.同类题二题面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女 生相邻，则不同排法的种数是()A. 360 B. 288C.216D.96答案：288 种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元 素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先 从 3 个女生中选两位，有 C：种方法，然后再 考虑顺序，即先选后排，有A2种方法；这样 选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把 三个男生任意排列，有A2中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体， 和另一 个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有A2种不同的排法，共有A2c；A3A2种不同的排 法

12、。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除 掉。甲可能站左端，也可能是右端，有c2种 不同的方法，然后其他两个男生排列有A2种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列， 有A种不同的排法。共A2G2C；A；A2种不同 的排法，故总的排法为A；C；A：A；A； CC；A；A； =288 种不同的方法。.题 6(组合数的性质，二星)题面： 5 个男生 3 个女生， 分别满足下列条件，各有多少种方法？(1) 选出 3 人参加A活动；(2) 选出 5 人参加B活动；(3) 选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(4) 选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加. 答案：同类题一题面：从 5 名男医生、4 名

13、女医生中选 3 名医生 组成一个医疗小分队，要求其中男、女医（ ）A. 70 种 B. 80 种C.100 种 D. 140 种答案：A.详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有C5C4C5c：=70 种同类题二题面：男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队 长各1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中 各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（1）120 种（2）246 种.详解：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C3种选法.第二步：选 2

14、 名女运动员，有 C4种选法.（2）至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为C4C4+C2C6+C3C2+C4C6=246 种.题 7（选和排，二星）题面：从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人， 分别从事三项不同的工作，若这 3 人中有且只有 1 名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排，C3C2A31 1 2法二：边选边排，（QA） A4同类题一题面：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（）A . 12 种 B .24 种 C.36 种 D

15、.48种答案：C.详解：生都有，则不同的组队方案共有共有 C6C4=120 种选法.先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有C4种分法，再将这三组分配到三所学校有A3种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C4A3=36 种不同分配方案.同类题二题面：甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人 不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A. 258 B. 306 C. 336 D. 296答案：C.详解：根据题意，每级台阶最多站 2 人，所以， 分两类： 第一类， 有 2 人站在同一级台阶，共有C3A2种不同的站法；第二类，一级台阶 站 1 人，共有A7

16、种不同的站法.根据分类加 法计数原理，得共有 C2A2+ A3= 336（种）不同 的站法.3 .题一（合理分类， 二星）题面： 若从 1, 2, 3， ，9 这 9 个整数中同 时取 4 个不同的数，其和为偶数，贝 V 不同的 取法共有（）A . 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D . 66 种同类题一题面：只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数， 规定这 三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻 出现，这样的四位数有（）A . 6 个B . 9 个C . 18个D. 36 个答案：C.详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个 数字共有 C

17、3= 3（种）选法,即 1231,1232,1233, 而每种选择有 A26（种）排法，所以共有30= 18（种）情况，即这样的四位数有 18 个 .同类题二题面：由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（）A. 72B. 96 C. 108D . 144答案：C.详解：分两类：若 1 与 3 相邻，有 A2C3A2A3= 72（个） ，若 1 与 3 不相邻有 A3A3=36（个）故共有 72 + 36= 108 个.题 8题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？（1）选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加;（2）选

18、 3 人参加数学竞赛，至少有一名男生（法1）分类：1 名、2 名、3 名男生:（法 2）间接法C；C；C831 55.1 2 2 1 3C5C3C5C3C555;（法 3）1先取 1 名男生；2再在剩下的 7人中取 3 人；C；C；5 105?同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的 班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同一个班，则不同分法的种 数为答案：C.详解：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A种，而甲乙被分在同一个班的有A：种，所以种数是C4A3A 30同类题二题面：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、 乙所选的

19、课程中至少有 1 门不相同的选法共 有（ ）A. 6 B. 12 C. 30 D.36答案：C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有C：C：种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去 掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有C：种选法，然后乙从剩余的两门选，有C；种不 同的选法，全不相同的选法是c2C2种方法， 所以至少有一门不相同的选法为C4cfC：C；=30种不同的选法。题 9（组合数性质， 三星） 某班分成五个小组，分别有 5,6,7,8,9 名同学，现从该班挑选 2 名同学参加比赛，且这两名同学必须来自同 一小组，共有多少种不同的方案？同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的

20、班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同一个班，则不同分法的总 数为 （）A. 18 B. 24 C. 30D. 30答案：C.详解：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共 有Cf2种不同的分法，然后三组进行全排列共A3种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共A3种不同的排法。所以 总的排法为C4A3A3=30 种不同的排法。同类题二题面：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实同），有多少种不同排法？（法 1）8 个位置中选 5 个排男生，剩下 3 个位置排女生，C5C3，注意：男生位置选定以后，女生顺序一定,共有15A90种不同的分配方案，选B.题 10

21、 （组合的识别，四星）题面：（1）“渐升数”是指每个数字比它左边 的数字大的正整数（如 1458）,则四位“渐升数”共有多少个？（2） 5 个男生 3 个女生排成一排， 自左至右，男、女生分别都从高到矮排（任意两人身高不 答案：16.详解：由题意可得，十位和千位只能是4,5或者3,5.若 十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3,则 这样的数有习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分只对应一种排法配万案有（A） 30 种（B） 90 种（C）180 种（D） 270 种答案：B.详解：（3）3,334,4,5,5,5,5位数？多重排列除序答案：150同类题一题面：将 5 名实习教师分配到高一年级