平稳过程习题答案

1、1第二章平稳过程1 1 指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？(1 1)设随机过程X(t)r re e ，t0t0，其中X具有在区间(0,T)中的均匀分布 解： 该随机过程的数学期望为T xt 11xt T1Ttm(t) = EX(t) = etdx = _ etT= _心一1式const4TTtTt该随机过程不是平稳过程。(2 2)设随机过程X(t),-二：；：在每一时刻的状态只取 0 0 或 1 1 数值，而在不同时 刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t t 有PX(t)=1=p PX(t)=0 =1 _p其中0：；p：1解：该随机过程的数学期望为mx(t)二EX(t)

2、 =1 PX(t) =10 PX(t) =0 = p(常数)该随机过程的自相关函数为：Rx(t,t)二EX(t)X(t ) =1 PX(t)X(t ) =1 0 PX(t)X(t ) =0= PX(t) =1PX(t ) =1 = p2该随机过程是平稳随机过程。(3)设Xn, n _1是独立同分布的随机序列，其中Xj的分布列为Xj1 1-1-1,j=1,2,j=1,2,P P1212n定义Yn =7Xj，试对随机序列Yn, n一1，讨论其平稳性。结果与 t t 无关解:EXj=1 PXj=1(-1)PX j11=_1 -1 1 022nnEYn二E(v Xj) EXj =0(常数)j# jm又

3、因为随机序列Yn的自相关函数。nn mRY(n,n m) =EY(n)Y(n m) =E xXkm m 为自然数2j 4 k 1即RY( n, n m) = np=仏(m)该随机过程不是平稳过程。(4)设随机过程X(t) = Acos(，0t亠处)，-:t：: :，其中0为正常数，A,A, 是相互独立 的随机变量，且 A A 服从在区间0 0，1 1上均匀分布，而 门服从在区间0 0, 2 2 二上的均匀分布。12兀1解：mx(t) =EX(t) =EAcos(，0t亠处)=i 1dacos(0tJd：护= =0 0 (常数)乜乜2兀而自相关函数为：21Rx(t,t ) = EX(t)X(t

4、J = EA cos( pt i)cos(0(t .)亠判coso6 该随机过程是平稳随机过程。1 1(5)设随机过程X (t) =coscot, zvt v咼，其中在区间(灼0Ao)0+A)中服从均匀2 2分布。工11 .1 . co匸(co 0 co 0+ 也) 解：随机变量的概率密度为f(，)(02,02)0其它1a + 心1 .mxt =EX(t)孑.cos；rtdsin;讥L.e-勺t2 tsin( )cos；：0t不是常数M 2该随机过程不是平稳过程。:一2(6)设有随机过程X(t)二X Yt,-： ：t：:，而随机向量(X,Y)的协旗阵为 1 1解：mx(t)二EX(t) =E(

5、X Yt)二EX t E Y当 t t =0=0 时mx(t)不是常数=Erp=E EI U/ nm伫XjZ Xj+ Z Xkk兰卑)_I-nmXj+E XjZ Xk=EJj4k空申+ E Xj XjkM二 EYn2二 DYn(EX)2二 DYnDYn广n=D送Xjn八DXjj 4nnEX2一(EXj)2EX；- npj 4j二0Y：；.-：o 2:(t=0)nvXj j丄m EXjEXkn3该随机过程不是平稳随机过程。(7 7)设有随机过程X(t)=X YtZt2,_： :：:U -:，其中 X X , Y Y , Z Z 是相互独立的随机变 量，各自的数学期望为0 0,方差为 1 1。解：

6、mx(t)二EX(t)二EX Yt Zt2=EX tEY t2EZ=0(常数)&(t,t ) =EX(t)X(t J =E(X Yt Zt)(X Y(t ) Z(t)2)2 2 2 2= EX2(t)2XZ (t )XY XY t t(t )Y2t(t )2YZtXZ (t)YZ t(t .)2z22 2 2 2 2二EX2t(t .)EY2t(t )2EZ2=1t(t .) t(t .)2自相关函数Rx(t,t.) = Rx() 该随机过程不是平稳随机过程。(8)设有随机过程X(t)=X(随机变量)，贝U EX二a, DX=；2。解：.mx(t) = EX(t) = EX = a(常

7、数)Rx(t,t.)二EX(t)X(t .)二EX2二DX (EX)2-；.2a2二Rx( ) 该随机过程是平稳随机过程。2 2.设随机过程X(t)二SinUt，其中 U U 是在0 0, 2 2n 上均匀分布的随机变量。试证(1) 若r T，而T =：1,2, ，而X(t),t =d,2J是平稳过程；(2) 若 r r T T，而T =0,；)，而X(t),t _0不是平稳过程。证明：(1 1)v 该随机过程X(t) sinUt的数学期望为Rx(t,t m) =EX(t)X(t m) =EsinVtsi nV(t m)二EcosmV - cos(2Vt vm)212二- 12二-2。-cos

8、mvd0严(2t m)vdvX(t),t =1,2, 是平稳随机过程。(2 2)vX(t),t 0,；)的数学期望为mx(t)=EX(t) =EsinVt sinvtdv - cosvt0 cosZt不是常数o2兀2兀t2兀tMx(t)二EX (t)sin vtdv - cosvt02兀2强2-cos2：t-1=0(常数)E cos mV2-Ecos(2Vt Vm)2112兀- sin m v0414:-sin(2t +m)v2応=02t +m4X(t),t0,；不是平稳过程。5X (t) = Acos( .0t f: t : :其中o是常数，A A 与是独立随机变量。 服从在区间（0 0,

9、2 2 n）中的均匀分布。A A 服从瑞利分布，其密度为x1 2x尹e2；-2设随机过程Y（t）二Bcos.0t Csin ，0t, -：:t,其中 B B 与 C C 是相互独立正态变量，且 都具有分布 N N （0 0，；_-2）。（1 1）试证X（t）是平稳过程证明：对于随机过程X二Acos（ -01亠住）的数学期望为mx(t) =EX(t) =EAcos(0亠)=EA Ecos( 0t亠“左)1 12二1 . . 1 cos0cos(2 pt02 )d cos02 202二23 3 设随机过程f (x) =x _Ox0-Hex2e药dxf1cos( 0t i；)d =0（常数）6自相关

10、函数Rx(t,t .) =EX(t)X(t .) =EA2cos(，0t Y、)cos( 0t亠心0处)=EA2Ecos(0t亠处)cos(0t，0亠处)1Ecos(0t亠乍)cos(，0t亠心i) Ecoso”亠cos(2 0t亠f亠2)211E(cos0)Ecos(20t .2)22一2ed2o2A227212Rx(t,t亠)=2二COS o = . cos0.2该随机过程为平稳随机过程。(2 2)用本章例 4 4 说明 Y(t)Y(t)是平稳过程证明：E(B)二E(c)=0 DB二DC=；3 4 50根据例 4 4，随机过程 Y(t)Y(t)是平稳随机过程。4 4设 S(t)S(t)是周

11、期为 T T 的周期函数，而 门是在区间(0 0, T T)上的均匀分布的随机变量, 随机过程X (t) = S(t亠),-：:t：称为随机相位周期过程。试问X(t)X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性T11t书1T解：mx(t) =EX(t)=S(t+)d申tuS(u)du=(S(u)du(周期函数性质)1T二mx(t)S(u)du二常数又Rx(t,t .)二EX(t)X(t .)二ES(t亠处)S(t亠处-)T11t TS(t JS(t汕吋)dS(u)S(u )d.0TT4S(t)S(t门)的周期也为 T T。1HT1TMtS(皿用节,(皿”Rx( )X (t) =S(t亠住)

12、是平稳随机过程。再讨论随机过程 X(t)X(t)的各态历经性1丿1 J：X(t)*limX(t)dt = lim X(t)dtITR21 JIT鈕21*_L3I= lim S(ti)dtI：2I丄85 5.设X(t),：和振幅a都是常数，相位t0解：根据上图，得厂8a(t -t)/T,X(t) =o1(. sin ,2To2T2二-(sincoo7T)J丄EA2sin2.oT2o_0丄仃sin0T cos20T2Toi)0其中 A A 和是相互独立的随机变量，而 有各态历经性在区间(0 0, 2 2n )上均匀分布，试问X(t)X(t)是否具解：EX二EAcos( .ot亠处)=EA Ecos

13、(0t亠事)2応11=EA讣矗成+P)一d=EA sin(叽“)評=0(常数)2:Rx(t,t ) = EX (t)X (t .) = E Acos(ot亠疗)Acos(ot：:讥”亠住)= EA2Ecos( ot亠处)cos( ot 0 住)2=EA2=EA21 ,Ecos(2 ot d2：J)cos -o 21d、 一Ecos(2，ot亠心0”亠2)cos-0. ?2二EA212二12 -cos(2 ot“o. 2:)d丄cos0.2=EA2111- 丄sin(20t十爪十2申)22兀22 - 10cos -0.212cos EARx(.)22TRx( )-m、2T丿x(丿2T1cos。.

14、2T 2EA2do2tEA2sin2oTFl04441112T；lim01-并B( J - RX( )d1=limT八T12T=limj-T石EA-I-2T丿4!cos-,. Icos2.0.12；EA42cos0EA4cos2 -0-12 2旦丄cos2。2 2(EA )42COS C0oE di-(EA2)24EA4cos4 2 2丄2；()EA(EA)T02T2coso d1 =4 2 2EA -(EA2)2cos20丄T2T(-)d.12TEA4-(EA2)2cos4；|0T21 1EA -|sin2 ,0T _ sin0T _ cos20T|22T0该平稳过程具有数学期望各态历经性。

15、下面讨论相应函数的各态历经性。令Y(t) =X(t)X(t .)(固定.)由于 A A 与:.：相互独立，则有B(.1)=EY(t)Y(t.1)=EX(t)X(t)X(t1)X(t .J =E A4cos(0t亠处)cos( .0t p 处)cos(0t 0“ it)cos(0t 0空0. -)=EA4丄Ecos，0-cos(2pt0殳2”)cos p戈cos(20t201 心 一2”)4二E cos20. * bos(20t - 2址)cos2(，0t *R0亠述)1cos2(，0t，0亠为)cos2(，0t，0. ，01亠卩)21 ,co0 1co 2(2 pt0 0.12”)=EA1co

16、s,. 1cos2.0-1421202Rx( ) -mxd .sin0T cos20T2T2T1。)12该平稳过程不具备自相关函数各态经性EA4-(EA2)2COS2EA4-(EA2)2COS2S412T I、EA4门 1 EA(1)cos20 id. iT02T 8T 81、EA4 2TJ(1) cos2；：o：id. i1 EA41,2T12Tsin 2 .0|1cos2，0d “丄空严伽T_丄2；dsi门？肌JT 82矶4個0、0EA4sin 4 pT18,04T02T 2T(哥sinZcdoS|0 sin t1dt1)EA4sin4，0T0IL T1 12(2Tsin40Tcos24T

17、2202TL)EA4sin 4 o0Tsi n4 o0T1,十-COS4GJ0T2T 8T2，0EA44sin GO0T2T1 12COS4O0T +2)8T o08T o02EA4B(G-R；dT 2 2-(EA2)22cos，040444137 7.随机过程X(t) =Asint +Bcost,比ct亦其中 A A 和 B B 号均值为零不相关的随机变量，且EA2=EB2。试证明 X X (t t)具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。解：mX(t)二EX(t) = E As in Bcost二EA si nt EB cost = 0(常数)RX(t,t ) =EX(t)X(t)

18、 =E(ASint Bcost)(Asi n(tJ Bcos(t )=E A2si nt si n(t) AB si ntcos(t ) AB cost si n( t ) B2costcos(t)二EA2Sin tsin(t) EB2costcos(t ) E(AB)sin t cos(t) cossin(t)= =EA2cos(t-t) EA EBsin(tt)= =EA2COS二Rx()该随机过程是平稳随机过程。现证数学期望各态历经性14T221TL B cos +cos(2t + T) dt = B 2T co- sin(2t +1) |j二B22Tcos -sin(2T )】sin(

19、2T - ) IL 2 2丄A|2Tcost 1sin(2T1sin(2T巧+AB2 212T2T1 -2T2EA cos. )d .T2EA2 2TEAlsin.2T12T2TEA21T2T.cos dsin 2T (. sinsin d .)T I2Tbb/二匹sin 2T丄(si nTcosT |L2T i邑sin 2T -丄(cos2T -1)IL2 2TV丿=EA2 sinlsimrco ,IL T2 2 2T2 该平衡过程具有数学期望各态历经性：X(t)X(t .) glim 2T：X(t)X(t )dtTT2T二im丄T；-2T JT(Asint Bcost)Asin(t亠”)B

20、cos(t亠“)dt1T22=Jim 2丁JA sin t sin(t.) ABsintcos(t ) AB cost sin(t) B cost cos(t . )dt=丿邛迂详A21【cosit cos(2t + 0 +ABsin(2t + + B2cos(2t+i) +cos“ptim1TY-4T u:A2cos t cos(2t .) 2 AB sin(2t.) B2cos.cos(2t .) dtI A2coscos(2t )dt=A22Tcos+(2t1二A22Tcos . - (sin(2T) sin(2T -)221 1二A22TCOSsin(2TJ sin(2T -)T2AB

21、sin(2t)dt - -ABcos(2t )T|=ABcos(2t - )-cos(2T )二vX(t)X(t+巧x lim1T_.4T15cos(2t-.)_cos(2t .) B22TCOS. sin(2T .)sin(2T _ .)2 2A2A2sin(2T +T)A2sin(2T i) * AB cos(2T巧AB cos(2T+0iim cos，T_.o 28 T8 T4 T4 TB2B2si n2T ) B2si n?T -) cos28 T8 T即自相关函数无各态历经性正常数；而EX(t)=O，试问X(t)对数学期望 是否具存各态历经性。即平稳随机过程X(t)具有lim Rx(

22、 )二mX平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性。9 9设X(t)和Y(t)是相互独立的平稳随机过程，证明Z(t) =X(t)Y(t)也是平稳随机过程。证明：mZ(t)二EZ(t)二EX(t)Y(t)二EX(t) EY(t)二mXmY(常数)Rz(t,t)=EZ(t)Z(t)=EX(t)Y(t)X(t)Y(t )=EX(t)X(t .)Y(t)Y(t.)二EX(t)X(t ) EY(t)Y(t ) =RX( )RY()与t无关随机过程Z(t) =X(t)Y(t)也是平稳随机过程。1010设平稳过程X(t)和Y(t)相互独立。令Z(tZ(t) Y(t)，试求Z(t)的自相关函数。解：RZ(t,t

23、)二EZ(t)Z(t .)二EX(t) Y(t)Z(t J Y(t )=EX(t)X(t ) X(t)Y(t Y(t)X(t J Y(t)Y(t J=EX(t)X(t ) EX(t) EY(t ) EY(t) EX(t ) EY(t)Y(t )/ X(t),Y(t)都是平稳过程- EX(t)=mx(常数)，EY(t)=mY(常数)EX (t)Y(t ) = Rx( ), EY(t)Y(t ) = RY()RZ(t,t) =Rx( ) RY( ) 2mx叫1111 平稳过程X(t),：:t：；的相关函数为Rx() =4ecos二cos度求均方值i2cos. =EA(利用均方极限的性质 4 4)&

24、amp; &设平稳过程?X(t),-：: :的相关函数RX()=A(1 a | . |)ea|j，其中 A A， a a 都是解:A(1 a |.|)ea| 12=0 =(EX(t)(L(L hospitalhospital 法则)A22Iim RX()162EX (t)17解：根据平稳过程自相关函数的性质有EX2（t） =RX（0） =51313设有随机过程X （t） = Acos（，t亠），一:t :其中 A,A,是相互独立随机变量，而 A A 的均值为 2 2，旗为 4 4;述在（-二，二）上服从均匀分 布；.在（-5-5，5 5）上服从均匀分布，试求X（t）的自相关函数，并问X

25、（t）是否平稳以及是否 具有各态历经性。解：mX(t) = EX t = EAcos( t ) = EA E cos( t亠:;)=EA Ecos cos -sin，t sin = 2E cos t E cos - Esin t E sin 51二151=2 cos t dL i cos dsi ntd s 10-二2二r 10Rx(t,t) = EX(t)X(t.)= EAc o s(t ) Aco s(t亠)1=EA2E cos(；：t ) cos(；-：t亠心亠)=8 Ecos、cos(2：亠c亠2 J2=4 E cos E cos(2 t亠八亠2 )= 4Ecos，4Ecos(2t )

26、 cos2 -sin(2t )，sin2 5151二1.=4 cos d 4 cos(2t ) d cos2:d:T0-510_二2二51二1-4 sin(2t.)，dsin 2 d10-二2二0sin5“4sin5“ - Rx()105该随机过程具有平稳性。又 Rx（ ）4如工=0:-.5 该平稳过程关于数学期望具有各态历经性。1T又：X（t）X（t ）=円二亓vX（t）X（t .）dt二丿计二*jAcosC）Acos（7：沁：）dti i1 1sin d:L-n2兀511sin甲巴一0 (cos)10 2兀JL、7d H0(常数)81sin -10= 2fsin tji匚2二18A 1Tl

27、imcos（2 t：2 ） cos（ ）dtT 2T 2工=丿邛乂彩盘sin（2価+2）Lr+cos时E2TT19A sin(2coT+ 祖+2) sin( 2T+ 眈 +2) Alim-p cos -.T8 TT2Acos、Rx()2 该随机过程不具有相关函数各态历经性。1414:设有随机过程Z(t)二VX(t)Y(t),-： :：:t :其中平稳过程X(t)和Y(t)仅随机变量 V V 三者相互独立，且mx=0,my=0RX( ) = 2e : cos0.,RY( )=9 e,又 EV=2EV=2，DVDV =9=9试求 Z Z(t t)的数学期望，和相关函数。解：Rx( ) =2e日：c

28、os0, RY( ) =9 e-EX2二RX(0) =2 EY2= 9 1=10DX -EX2-(EX)2=EX2-mX-2DY二EY2_(EY)2二EY2_mY=10mz二EZ(t)二EVX(t)丫二EV EX(t)EY(t) = 2 0 0 = 0DZ (t)= D(VX(t)Y(t)二EV2X2(t)Y2(t)EX(t)Y(t)V2二EV2EX2EY= EV220DV =EV2-(EV)2EV2=13DZ(t)=13 20 = 260RZ(t,t) =EZ(t)Z(t )=EVX(t)Y(t) VX(t )Y(t )二EV2X(t)X(t)Y(t)Y(t )二EV2EX(t)X(t )

29、EY(t)Y(t )= 13Rx( )RY( ) =26e*coso(9 e“)1515：设 X X (t t)是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为aX(t- r),a：1,1是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声，记为N N(t t),于是接收机收到的全信号为Y(t) =aX(t - J N(t)假定 X X (t t)和 N N(t t)平稳相关。(1 1)求互相函数RXY( )；X X (t t)相互独立，求RXY()。(2(2)若 N N (t t)的数学期望为零，且与20该随机过程是平稳随机过程又因为RX()在.=0点不连续，根据定理x(t)不均匀连续。解：(1 1 )先求互相关函数

30、RXYC)RXY()二EX(t)Y(t .)二EX(t)aX(t .一.J N(t )= EaX(t)X(t - .J X(t)N(t )二aRx( - J EX(t)N(t .)二aRx( -1) RXN()(2 2)T X X(t t)与 N N(t t)相互独立，且EN(t)=0二RXY()二aRX(一J EX(t) EN(t) =aRX( - J1616:设有两个平稳过程X t二acos0t亠，Y t二bsin0t亠处，一10：t：:其中a,b,0为常数，而是在(0 0, 2 2n )上均匀分布的随机变量，试求RXY-与RYX-解：RXY()二EX(t)Y(t )二Eabcos(0t亠

31、)sin(0t亠)11=ab E s i n20t+国0E+ 26) + s i n肛】2ab2二1-0ab1si n2J0t +0i +2 + si n0i =absi n0T222RX( ) = EY(t)X(t )二E absi n (0t亠述)co s(0t0亠住)1ab2 E si n2；yt-02) -si nab21 , ab .ab .f si n2；0t +co0i +2甲)d甲一si n0T=一一202二2 2si n0.1717设：X(t),：:：t 0T0 使得Rx(T) =Rx(0)，则对固定的 t t 有22丄j1 DXX(t T)=X(t),as(提示：P.X-E

32、X2)z证明：根据概率论中的契比雪夫不等式有PX(t .) X(t) EX(t .) X(t)lDX(t J X1z/X(t)是平稳过程故EX(t .)-X(t)l - 0D X(t +n) X(t)】=E|X(t+兀)一X(t)|2E|X(t+T)_X(t)|二2底(0)-Rx(T)】存在 T0T0,使得RX(T) = RX(0)，则对上式 T0.T0.PX(t T) X(t)=0X(t T)=X(t), a.S 证毕 (2)若X(t)可导，则EX(t)X (t)二Rx(0)RX()证明：X(t)是平稳过程，故mx(t)=mx(常数)，Rx(t,t JnRxC)二mx(t)=0(常数)又-R

33、x(t,t ) =EX (t)X (t )X(t+3JX(t)X(t+At2)X(t+i)=E l.j.m- l.i.m-PX(t T) X(T) - J乞(0)(3)若X(t)可导，则X (t)是平稳过程，且它的相关函数EX (t)23lim limRxM +加2- Ab) -Rx(w -也tj - RxG+加2)+Rx(w) -110理：0.1|Rx( -也1 + At2) -Rx(三-也ti)Rx(2+At?)Rx(l)=lim lim -2-At2At21919 设fX(t),：:t八；：二和Y(t),：:t 1；是平稳相关随机过程。若X(t)和Y(t)满足微分方程Y (t) aY(t

34、) = X(t)其中 a a 是非零常数，则它们的数学期望满足：1mYmxa证明：两边同时取数学期望有：E丫aY(t)二EX(t)即EY (t) aY(t) = EX (t)m 丫 (t) am 丫 (t) = mx(t)因为X (t)，Y(t)是平衡随机过程，则mX(t)二 mX(常数)，mY(t) = mY(常数)10 anv(t)二 mx(t)即mYmxa2020设1x(t),：:t：门是平稳过程，且EX(t)=1, RC)=1e引，试求随机变量1S 二 x(t) dt的数学期望和方差 01 1 1解：ES 二 E x(t)dt EX (t)dt 1dt =1/ 1 1 1DS二ES2-

35、(ES)2二E .0X(t)dt -1二E.0X(t)dt.0XC)d、-11 1 1 10.0EX(t)X( )dtd-仁.0.0R、.(-t)dtd、-1=1 11 eTdtd、-1 二1外Tdtd、二e召Tdtd亠iieJMdtd0 0 0 0 - D1D2=fevdv j2tdt +e七冷+/edt =1e2t+；约(一丄疋亠；dv20 02 dRx()ddRx()d=d2Rx(i)24Z(t) = ei(t J，-: : t：；3其中门是在(0,2二)上均匀分布的随机变量，而0常数，试求Z(t)的相关函数，并讨论其平稳性。解：mz(tr EZ(tr Ee(0t1e(0t)d，10te

36、d02兀2兀0=eJW0t1)eJ；：2】ew0te力-1= =1 eiw0tcos2二- i sin 2二-1 = 0(常数)2二i2二i2二iRz(t,tJ二EZ(t)Z(t J二Ee叫)_d(w0t W0) =eW0,RX( )随机过程Z(t) = ei(w0t2-：t：-是平稳过程。22222设 X X (t t)是数学期望为零的平稳正态过程，又Y(t) = X (t)，求证RYC)二 RX(0) 2RX()证明：显然EY(t)H EX2(t) =RX(0)=：；2FY(t,t -)= EY(t)Y(t -)= EX2(t )X2(t)寸1 e2)2121 设复随机过程11e2d. -

37、 id.-o2 o丄,012 21414丄丄2 2 2251 亠云匚/y exp12；(1 -r2)(x22_2rxy y )dxdy其中r =RX()RX(0)12=2J - r2心2亠_2-= 2x e - dx . exp(r -rx)22二2(1 -r2)dyu2x2e2/dx (rx二1-r2u)2e2duq3 q?dx12二；2 2 2匚(1 _ r )xe26求X(t)的均方值2_ 42r匚1 _r -V2n:crx4eJ Q4/26X= 2r4二4= 2RXC)RX(O) = RY()上面的证明同时也说明Y(t) = X2(t)是平稳随机过程。证毕23.( 1 1)下列函数哪些

38、是功率谱密度，哪些不是？为什么?293( )22(仙+4)(国+1)S3C H /43解：根据功率谱密度的性质,功率谱密度是实的，非负的偶函数，所以S1()，SB( ),S4()不是功率谱密度，而S2()是功率谱密度。(2(2)对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值解：TS2 (；：；)-2+1(22)( 23)自相关函数为RX(J=F&壬F=2F2丁31 12+(73)2 2也22 1呼2( 2)22、2而均方值为EX2(t)二RX(O)12“2-2| J12、 224.已知平均过程X(t)的功率谱密度为2Sx()=卢2721咼卄EX (t) = EX(t)X(t) =

39、Rx(0) = RxK)= Sx(co)eXd严和2 31 -cdS( )d，丄a(a-.2)d-.丄仏2二025试说明下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。解：如果自相关函数Rx( )在.=0=0 连续，则它必在 T T 上连续，但在该题中自相关函数Rx()在.=0=0 连续，但它并不在(心,+ + R)上连续。故该图所示的函数不可能是某个平 稳过程的自相关函数。2626已知下列平稳过程X(t)的自相关函数，试求X(t)的功率谱密度。(1)Rx( ) He1cos0(a 0)ecos(；：0) d1e cos(0) d：a解:2a33二解:Sx( J =FRx(.) =Fe*cos0

40、.二：eJ-bee，cos0cosd口cos0ed = e1cos0cos d=2bee J cos(二亠心0)cos(-；-；0) doe cos( 20v) doe* cos(0) de cos(0)d1 !Ljcos(0) de-31+a0)0，e sin(；： ： ；.-:0).(；. ：:0)d -110-1- 0)( )0a _asin(八；：；0) de丄+亠中亦(汕a a20-( 一0)0e“ cos(； ： :0)- F)2 1+L28咼a_ecos(心亠心0)d .a+ (灼+co0):Lj _gecos(；.-;；.-;0).d.=飞1a2cos T -121_cos T

41、二0 TT -(3)Rx()=4ecos二cos3:解：SX( ) =FRX( ) = F4e_ cos，亠cos3二=4Fe cos二Fcos3二d亠、（3二）丄心 （心亠3:） ）2(4)(4)RxC)乂2e川(cosbi -ab-1sinb计) 其中a00解：Sx()=FRX(i) = Fcr2e同丈(cosbiab_s in bi)=F=F2e cosbi oabe-9 sin bE*2Fe绍cosb -；2ab4Fe;sinbh|c2a2r -b)2a2：b)2U/sin b-be斑而Fea|sinb| |p . .e sinb e d二-be0esinb cos d同理2-（；：0

42、）Sx( ) = a+2 20)（2）Rxd1丄1T0-T其它解：SxCH FRx(.) =RxC)ed.二T .=2 0 1 -丁 cos血d2ToSinTrL_eJd : TT)d sin，TLsinTdi2TJ 0(1-.JT0sind29=j e - si n(b). sin (b - ) d .ax1axoeaxsin bxd = 2eax(asin bx -bcosbx) cr；ae sirb( = ).d.=二2(b w)a +(b+w)解：Rx = F4SX丄亠SXe7d解：论SY()=e sin(b ) d .b ba2(b=)2Sx()a2|a(=b)2ab2b2|a(b

43、w)27:已知下列平稳过程X(t)的功率谱密度，试分别求X(t)的自相关函数1(1)SX)=0| | -0其它解:(2)11： ：i1RX() = F SX( )SX( )eid2 - -1 SX&屮户2010丿阿乞10解:0,其它RSx打.SXe1de空dB = si nBo2 -0二.1 -：86何JedB|*O110+ f 20 1一二cos砂dB =7：010* 1 -(3) Sx何)=0%0,其它b+Ba2(b = )2301则RY仆尹1cos d2sin(4)SX()1(1 )231Rx( ) = FJSy( ) Sy( )= Ry( )* Ry(.)二RY( )RY(.一

44、)d=1 e4|e4d4 3当._0时Rx(.)=0e4|ek_| - -eeUd4匸：4o=1e e-怙1e_eJ-怙1 ed=1(ee)4士4o4 .4、/由于 Rx()是偶函数1二Rx=-e +1E| e“-血 I c论4,其中 a0,k =1,2, ,nk 4w bk2- g斑I：+ - ej癒=L_sj raw+si i2a可2二j2a2二ia-28：记随机过程Y(t) = X(t)cos(ot )，-： ： t :其中x(t)是平稳过程，G 为区间(0, 2n)上均匀分布的随机变量，0为常数, 且x(t)和门是相互独立的，论x(t)的自相关函数为 Rx()，功率谱密度为 Sx()1

45、试证：(1)Y(t)是平稳过程且它的自相关函数RYC)= RXC)COSo.2Sx()”2、2(1 )=SY(：-7) $ = Sy(3 ) Sy()n(5) Sx(w)八解：Rx( )*Sx = F；akJ 2心+bk21 n=11kTakFn=zk 1ak_nk| |2bk心2bk(6)Sx(w)二b20a |口2a其它解：；Rx()/ 1二F Sx( )Sxeid2二b2e%BaJIT32、1(2)Y(t)的功率谱密度为SY(P) = Sx(3 3 ) Sx(=0)4证明：(1)先证Y(t)是平衡过程口丫二 EY(t)二X(t)cos( t 亠尬)= EX(t) Ecos(。亠)2：1二

46、mXco s(0t ，)d即=0(常数)02兀RX(t,t ) =EY(t)Y(t ) = EX(t)X(t )cos(0t t)cos(0t =0” 亠氓)1= EX(t)X(t .) ECOS( 2t股：t 2：)cos(0.)212 -1=-RXco甥0E+ COS2珂0t +B0E+2)，厂d1RX()COS0= RY()21二 丫(t) =X(t)cos0t +)是平稳随机过程，且RY(E)=-RxdcosB*2(2)&(环)十只丫(刖=F RX(i)e+e如叮/2?FRx( )eiRX( Je。=丄$RxOe，0FRxC)e。4441 SX( -0) SX(0)(利用 Fo

47、urier 变换的性质)429：如下图所示系统中，若输入的平稳过程，输出为Y(t) =X(t) X(t -)，试求Y(t)的谱功率为 SY( )=2SX( )(1COST)解 RY(t,t )二 EY(t)Y(t )二 E(X(t) X(t T)(X(t ) X(t T)-EX(t)X (t ) EX(t)X(t -T) EX(t一T)X(t ) EX(t T)X(t T)二 RX( ) Rx( -T) Rx(T) Rx()= 2Rx( ) Rx( -T)Rx( T)二 RY( JSY(w)二 FRY( ) =2FRx( ) FRx( -T) FRx(T)33= =2SX(= ) SX(= )

48、e亠SX(= )eiT= 2SX(u )1 coswT( (利用 FourierFourier 变换的性质) )30：设平稳过程为X (t)二a co s.(t亠处)其中 a a 是常数，G 是在(0 0, 2 2 n)均匀分布的随机变量，Q是具有分布密度f (x)为偶函数的随机变量，且 G 与 Q相互独立，试证X(t)的功率谱密度为：SX( )=a2：f()证明：根据相关函数的定义有：Rx( ) =EX(t)X(t ) =Ea2cost G)cos(iqt)：町？-.2 -1=o a2cos( t亠)cos( tr):-2o a cos ( )dSX( ) =FRX( ) = _j._a2c

49、osf( Jed1d2+Bi)fdBi)dB1=-|- f(B) + f(卫)=a2f )3131 :若二个随机过程X(t) = A(t) co st,Y(t)=B(t)sin t,-： ：其中 A A (t t)和 B B (t t)是相互独立数字期望为零的平稳过程，且有相同的自相应函数。试证：Z(tX(t) Y(t)是平稳过程，而X(t)和Y(t)都不是平稳过程证明：EX(t)二E A(t)cos=t二EA(t) cost = 0EY(t) = EB(t)sin t =sin t EB(t) = 0Rx(t,t)二EA(t)cos t A(t )cos t 二cos t cos( t)RA

50、()与t有关，.X(t)不是平稳过程同理可证Y(t)也不是平稳过程。理证Z(tH X(t) Y(t)是平稳过程。因为mz(t) =EZ(t) =EX(t) Y(t)二EX(t) EY(t) =0(常数)2a34Rx(t,t)二EZ(t)Z(t )二E(X(t)丫(t)(X(t)丫(t )= =EX(t)X(t .) EX(t)Y(t .) EY(t)X(t ) EY(t)Y(t )= =RA( ) cos tcos( t亠心)RB( ) sin t sin( t亠心”)= =RA( )cos .二RA( ) cos，.(与 t t 无关) Z(tX(t) Y(t)是平稳随机过程。3232.设平

51、稳过程X(t)和Y(t)是平稳相关的，试证：ReSXY( 1) =ReSYXC )ImSxY() =1mSYX()证明：RXYC)二RYX()SXY()=:=(訣丫*(7(7 归1 1=JRYXe妁dSx)ReSXY( J =Re SYX(),ImSXY() _ ImSYXC )33.设X (t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，数字期望分别为mx,叫都不为零，定义Z(t) =X(t) Y(t)，试求互谱密度SXY()和SYZ( )。解：RXY()二EX(t)Y(t )二EX(t)EY(t )二mxmYSXY()二FRXY( ) = FmxmY1 = mXmYF1 = 2二、()mxmY向RX

52、Z()二EX(t)Y(t )二EX(t)X(t ) Y(t )= =Rx() RXY()-SXZ()二FRXZ( ) =FRx( ) RXY( )HFRXO FRXY()= =SxC ) 2 - c )mx3434设复随机过程X(t)是平稳的，试证：(1 1 )自相关函数满足Rx(_.)二RXC)。(2 2)X(t)的谱功率是实函数。35证明：Rx()二EX(t)X(t -)36二RX(-)二EX(t)X(t - )二EX(t)X(t - )二EX(t -)X(t)二Rx().( 1 1)式成立。又Sx( ) =FRx(J =RX( )eJd.j亠i-：i v= =Rx(-)ed.=Rx(-)

53、e d.二Rx(v)e八dv= =SxC )即Sx( J = Sx( J.SxC )是实函数。35如果一个均值为零的平稳过程X(t)(- -att00)的线性滤波器，试证明它的输出功率谱密度为SY(J = /畀12eTcos，T e*：TSx()a解：根据平稳过程的输入谱密度和输出谱密度之间的关系有 &(豹)=SX(co)H(ico)T -其中H (ico) = JJXtje1仙dt = foae心edtTe：d)tdte)tT=訂丁eT0i心亠很0亠：誥_ -r )-T=22(cos T isin T)1a +o字(eTcos T 1)ieTsin Ta +co= 一0(8(6曲co

54、scoT 1) +acoeQ sincoTa+coi2e：Tsin T叱e(e：Tcos T 1)8 a2w2=(1_2/cosoT + a2+co2h(t)门:e-OEtET0其它-137.H(g)22f产) SY(B)=Sx)H(d)eSx()。383636.将自相关函数为RxCxC)二So()的白噪声电压X(t)输入到如下图所示的二级 R-CR-C 电路 系统。(1 1)求系统的脉冲响应函数。(2 2 )求输出电压的均方值。解：(1 1)由电学知识可知输出电压所满足的微分方程为：XguyMO + RG響dty1(ty(tR2C2dy.dt2 X(t) = y(t) R2C2-dyR1C1

55、-dyC1R2C2d ydt dtdt两边取双边拉普拉氏变换有：X(P)=丫(p)1 + (R2C2+ RG) p + R R2C1C2P2Y(p)1(R2C2+RCJP + RRC1C2P2X(p)传递函数H(p)满足:H(p)二11+两2+ RCJ p + R R2C1C2p2_1_ _ 361(411)p41p2=36 20p p283 63 48H(p)91LJ 4 p 182 p 4 p 2 p 1839-h(t) =LH(p) =9(e?e e8t)当 t t0 04(2 2)根据定义有：22814t 36t20t9EY2(t)二RY(0) = jS0h2(t)dt(e e；-2e

56、 )dt= =S0- 16 1037.在如下图所示的 R-CR-C 电路系统中，如果输入电压为X(t) = X0cos(2 1其中X。在(0 0, 1 1)区间上服从均匀分布，二在(0 0, 2 2 n)上服从均匀分布，且X。与相互独立。试分别同时间域法和频率域法求输出电压Y(t)的自相关函数。解：waylwayl :采用时间域法。因为该问题的输出电压y(t)满足的微分方程为1令贝y有RC在上面的方程两边取双边LaplaceLaplace 变换有:-Y(p)y(pX(p)Ct则Y(p)X(p)a- H(p)二p +而脉冲响应函数为再求X(t)二X- cos(2二t T)的自相关函数。 RX()

57、二EX(t)X(t ) =E(X0cos(2：t R)(X0cosgt 2)=EX2EX0Ecos(2-t 2二巧EX0Ecos(2“：t旳h(t)4(e?0-eJ8t)t _0其它Rcdx(i)dty(t) =x(t)1 dy(t)2dty(t) =x(t)h(t) =LH(p)jae-j-t -02 040Eco s2C：t =)co $2：t 2二J4121= =EX00 0 Ecos(4二t 2亠2v ) cos2二.211 1= =DX0(EX0) cos 2二.= =cos 2 r:.23 2RYC)二0l0RX(，2 1：)h( 1)h(，2)d1d2打-f01+1cos2兀(入2-入- )2e甌e曲d人d九232/e1许、d2 .0 .0 cos2-：(2- -2e32丄二d21 := -一32-釦Bee矗d丸山為二1+3J cos2二.2 :24：2(当 0时)由于RYC）为偶函数，故对任意的有I ,、1 a2cos2恥RY(Rway2:way2:采用频域法求解1111Sx( ) =FRx( ) =Fcos2二.F1 Fcos2二.3 2321=_2二、（， ）3一2二）丄我（,亠2二）而H(ico)- SYCJ=Sx