《二次根式》期末复习知识清单及典型例题

1、二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1:二次根式的定义：形如ja(a之0冲式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，ja才有意义.【例1】下列各式0)P5, (3)-Jx2+2, (4)jZ,(填序号).)A、后 B、J10 C、Ja + 1 D、,2 +17)ja2-2a+1其中是，二次根式的是变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是2、在而、Ja'b、Jx:1、1xx2,J3中是二次根式的个数有个【例2】若式子1有意义,则x的取值范围是x-3变式：1、使代数式三x二3有意义的x的取值范围是()A、x>3B、x>3C、x>4D、x>3且x/

2、42、如果代数式J3m有意义，那么，直角坐标系中点p(m,n)的位置在()、.mnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、使代数式Jx2+2x1有意义的x的取值范围是【例3】若y='-'x-5+v5-x+2009,则x+y=2变式：1、右Vx-1-V1-x=(x+y)，则xy的值为()A.1B.1C.2D.32、当a取什么值时，代数式42a+1+1取值最小，并求出这个最小值。【例4】已知a是J5整数部分，b是J5的小数部分，求a的值b2变式：1、若<3的整数部分是a,小数部分是b,则V3a-b=。212、若中17的整数部分为x,小数部分为y,求x2十一的值.y

3、知识点2:2、双重非负性：Va(a>0)是一个非负数.即a20；而203、平方的形式（双胞胎公式）：（1）（插2=aa至0）；（2）ja2=|a|=!a（a'0）-a（a:二0）2fa（a_0）,2公式Ja2Ta|=与（内）2=aa至0）的区别与联系：-a（a:二0）（1） JF表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.（2） （<'a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.（3） v1a2和（的2的运算结果都是非负的.【例5】若a-2+Jb-3+(c42=0则a-b+c=变式：若ab+1与<a+2b+4互为相反数，则（abf°17

4、=。【例6】化简：a-1+（Ja3）2的结果为（）A、42aB、0C、2a4D、4变式：1、在实数范围内分解因式：x23=；m44m2+4=【例7】已知x<2,则化简Jx2_4x+4的结果是（）A、 x 2 B、 x +2C、 x - 2D 2 - x变式：1、根式 J(3)2 的值是()A . -3 B . 3 或-3 C . 3 D . 92、已知 a<0,那么 I Va2-2a 可化简为()A. 一 a B . a C . - 3a3、若 2 <a <3,则 2 - a ) _ a _ 3 )等于()a. 5 2a b. 1 2a C.D . 3a2a-5 d.

5、2a-14、当a<l且aw。时，化简.a2 -a 12a -a【例8】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简()A . 2b B . 2b C . - 2a D . 2aa- b + J(a + b)2的结果等于««>bao【例9】化简1x-Jx2-8x+16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1<x<4（C）x>1（D）x<1变式：若代数式J（2a）2+J（a4）2的值是常数2,则a的取值范围是（）d. a = 2或a = 4a.a>4b.a<2c.2<a<4【例1

6、0】如果a +da2 -2a +1 =1，那么a的取值范围是（)A. a=0 B. a=1 C.a=0或 a=1 D. a < 1变式：如果a7a之一6a+9=3成立，那么实数a的取值范围是（a 2 【例 11】化简一次根式 a _一的结果是()a.J a2 B. _ J_a _2 C. Ja 2 D. 7a 2a变式：1、把二次根式 a -化简，正确的结果是()A. 二 b.二 C. -TaD. jaab -2、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，bJX=； (a-i)x知识点3:4、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的

7、数或因式；分母中不含根号.5、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例12】在根式1) 42 +b2；2)；3) Jx2 -xy;4) J27abc ,最简二次根式是()A . 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)变式：1、<45a, 730, F1, V40b2 ,5,J，7(a2 +b2)中的最简二次根式是 。2、下列根式中，不息.最简二次根式的是()A. J7 B . J3CA3、下列根式不是最简二次根式的是()A. a2 - 1 B. 2x 1【例1

8、3】下列根式中能与 J3是合并的是()A. 庭 B. v 27C.2r 2bC.4D0.1y、5D.2变式：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是()a、石和718b、V3和£C、Ja2b和Jab2d、Ja+1和Ja-12、在二次根式：乐;523；2-;J27中，能与J3合并的二次根式-3知识点4:6、分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用JaJa=a来确定，如：Ja与Ja,Ja+bWJa+b,da-b与Ma-b等分别互为有理化

9、因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+Jb与a-,b,、,a+vb'与.a-.b,a-.x,b,.y与a-、x-b、.,y分别互为有理化因式。分母有理化的方法与步骤:先将分子、分母化成最简二次根式;将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例14】把下列各式分母有理化（1）1,48-4 3(2) 一二3 7(3)与2-1(4),53变式:1、把下列各式分母有理化(1)2x8x3y(2)变式:2、已知x2-32 ,，3y =21乂3 ,求下列各式的值：（2- ；3x y ，221) (2) x -3xy + yx -y知识点7

10、、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。Uab' = /a 配(a> 0, b>0)8、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。近 bb = Tab . ( a>0, b>0)9、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根aa ,=(a> 0, b>0)bb10、二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。李=a (a" b>0)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式

11、的左边，同时还要考虑字母的取值范围,【例15】化简最后把运算结果化成最简二次根式.,.52.15(3)变式：计算（1）?(3)(4)诉A、x2【例16】能使等式成立的的x的取值范围是（"38k256?(2)、x之0c、0<x<2d、无解知识点6:（即同类二次根式） 的系数相加减,二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式被开方数不变。1【例17】计算（1）-V32-/75+270.5-3227；（2）“西5,（_34a3b/3尚；aaa（3）1 Jx2y（3、分母有理化法4、分子有理化法5、倒数法6、媒介传递法2一一（4）（d72+Qyf37v162.3知识点八：根式比较大小1、根式变形法当a0,bA0时，如果ab,则jajb；如果acb,则JacJb。22.22.2、平万法当a>0,b>0时，如果a>b，则a>b；如果a<b，则a<b。通过分母有