塑性变形力学计算

1、杆件的塑性变形15. 1概 述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但 有些问题确须考虑塑性变形。15.2金属材料的塑性性质图15. 1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系 是非线性的有图15.1低碳钢拉伸的应力-应变曲线 = 6 +弹性范用内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和 应变不再是单值对应的关系(如图15.2)。图15.2弹塑性应力-应变(15. 1)下面是儿种常见的塑性材料模型。550,-(7图图图有时也把应力-应变关系近似地表为幕函数，幕强化材料的应力-应变关系曲线如图15. 7所示。b = cH15.3拉伸和

2、压缩杆系的塑性分析现以图15. 8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析,肖载荷P逐渐增加时，杆件两端的反力是1a + bfR2=Paa +b(a)P力作用点的位移是-R、a Pab EAEA(a +b)如ba则尺忌。随着P的增加,AC段的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为片,载荷作用点的位移为由( )、3)两式求得片=Aas(a + b)载荷达到人后，整个杆件都已进入塑性变形。例18.1在图15.9所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同 为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷片、极限载荷Pp。山平衡方程可知R2= P- Abs载荷作用点C的位移为EA(c)(d)C

3、B段也进入塑性阶段时，忌=人6山(c)式求岀相应的载荷为图A = 2Abs解：以M和M分别表AC和AD杆的轴力，弘表曲杆的轴力。令广乓，当载荷逐渐增加时，A3杆的应力首先达到 6,这时的载荷即为A。由（e ）式 的第二式得N：= Acrs=-1 + 2cos3a由此解出A = Acrs（l + 2cosa）载荷继续增加，中间杆的轴力M保持为人耳，两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧 的杆件的轴力M也达到人6,相应的载荷即为极限载荷Pp。这时由节点A的平 衡方程知lcrs（2cosa +1）加载过程中，载荷P与A点位移的关系已表示于图15. 9方中。15.4圆轴的塑性扭转圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿

4、半径按线性规律分布，即.TP(a)图随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限入(图15.10)。若相应的扭矩为A ,由(“)式知r2(b)极限扭矩7V,其值为%十W取dA = 2np dp代入上式后完成积分，得Tv= Z 兀忙T3(15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例18.2设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11所示，并可近似 地表为rm= B/式中m和B皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3 4中的（。）式，求得横截 面上任意点处的剪应变为式中药是扭转角沿轴线的变化率，Q 为横截面上一点到圆心的

5、距离，汗即为该 点剪应变。（d）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.14）。由）、 （ ）两式求出(e)或者写成(f)横截面上的扭矩应为YP= Pd(t)lx(d)取dA = 2pdpy并以（f）式代入上式,从（/）和（g）两式中消去I“X 丿,得剪应力的计算公式T3/n + lfpVTP= -r-m(h)令P =r.得最大剪应力为图3m-rl3加 +1(g)这就是公式(3. 17)o15.5塑性弯曲和塑性铉15. 5. 1纯弯曲根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为_ T3/72+ _Tr 3 m+ 1 fx 2兀广m IpAm当7 = 1时，材料变为线弹性

6、的，上式变为Tr由()式知故有业=益=丄“3?+ i fdx Br Br I?4m丿积分求得相距为/的两个横截面的相对扭转为1Tr 3m+1 YI- ,-B、/p4mJr(i)当m = l,B = G时,上式化为P(a)丄式中。是曲线的曲率。静力方程:JbdA = 0Iyer cl A =M在线弹性阶段，有Myb =I（d）若以Mi表示开始出现塑性变形时的弯距，由（“）式知y max载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为 6 （图10. 12）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时,无论在拉应力区或压应力区，都有如以儿和人2分别表示中性轴两侧拉应力

7、区和压应力区的面积，则静力方程（方） 化为fadA= fasdA - asdA = as-A2) = 0 J AJA| J A?A = A?若整个横截面面积为A,则应有Aj + A2= AA, =一2(c)故有(15. 5)极限情况下的弯矩即为极限弯矩“卩，曲静力方程）得L+WA卜込歹2 + A“2 )| 2 )式中耳和冃分别是人和仏的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）乂可把上%Mp=J ya/A = crsJ A式写成【例13.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变Mp=了人込（旺+y2）(15. 6)形时的弯矩Mi和极限弯距M%解：对矩形截面梁(图15.13),

8、III (0)式得开始出现塑性变形的弯矩“I为由公式(15.13)求得极限弯矩“卩为Mp =丄As(牙+ %) =丄肋4 - + -U 卩2SV, ?2/2(44丿4Mi和Mp之比为K=1-5所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%o对圆截面梁，/crsnr=crS从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。15. 5.2横力弯曲横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图13.14中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并 将坐标为的横截面上的MP= A(y.2 4r 4r+ 一-!-3 兀3龙图应力分布悄况放大成图15.14。在这一截面的塑性区yb

9、 = bs 内，b = bs；弹性区内，5。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为还可山载荷及反力算岀这一横截面上的弯矩为令以上两式相等，得(f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为，在（/）h=式中，令x = a ,2 ,得山此求得塑性区的长度为/ 1-max 7式中Pl(15. 7)bs s加y+2=JyadArW2=2LT随着载荷的增加，跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值Mpo15.6梁的塑性分析M上对图13.14中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为ma 4。当max达到极限弯矩必卩时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性狡。这就是梁的极限状态

10、,也就是极限载荷Pp。Mp =-乐若梁的截面为矩形，4于是极限载荷为对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。以图15. 15所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。根据塑性狡上的力偶矩为旳卩，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图15.所示极限状态为例，由BC段的平衡方程工叫=,得再曲整条梁的平衡方程工叫,得这时的载荷把心的值代入上式后，解出xtilllTnTrniTTTrP例15. 4在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16所示。试求载荷9的极限值彳P。解：梁的极限状态一般是跨度或跨度BC变成机构。现将上述两种情况 分别进行讨论。要使跨变成机构，除人、3两截面形成塑性狡外，还

11、必须在跨度内的某 一截面D上形成塑性狡（图13.16）。由于对称的原因，塑性铁D 定在跨度R=R= qi中点，且AB_TO再由AD部分的平衡方程工=,得将RA代入上式，解出16Mp这是使43跨达到极限状态时的均布载荷。现在讨论跨度BC。要使它变成机构，除支座截面B要成为塑性较外，还要在跨度内的某一截面E上形成塑性狡。设截面E到支座C的距离为 J 这样可把BC跨分成图15. 16中的BE和EC两部分。对这两部分分别列岀以下平衡方程:工=0，叭-纸22 XmB=0,2MP-(Z-)2=02(b)从以上两式中消去MP,得a2+2al-l2=0a = (-1 2)1显然应取J前的正号，即n = (V2

12、-l)I将的值代入(b)式的第一式，即这是使BC跨达到极限状态时的均布载荷。比较(&)、(c)两式，可见整个静不 定梁的极限载荷是?P=ll“Mp/2。15.7残余应力的概念载荷作用下的构件， 当其某些局部的应力超过屈服极限时， 这些部位将出现 塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形 的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相 互作用的应力，这种应力称为残余应力。例15. 6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应 力。设材料是理想弹塑性的。解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15. 14

13、o根据公式2Mp(V2-1)2/2= 11.6MP/2(c)(15.7),截面上的弯矩为这时梁内的最大应力为云。卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且 它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为曲正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15. 18 所示。15.8塑性条件和塑性曲面受力构件一点处的应力状态，山它的三个主应力来表示。按照第三强度理论，如对主应力的记号采取5勺6的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式(15.2)o如对主应力的记号不采取的规定, 即502,6中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件(15.2)应写成I _6| =内02_6| = 6在二向应力状态下，6=0,以上条件变为塑性条件（b）在 66 平面中是一个六角形，如图15.19所示。在三向应力的情 况下，塑性条件（a）在应力空间中是六个平面。这就是特雷斯卡塑性条件的儿 何表示。如图15.20所示。柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱 面上的点代表进入塑性形变的应力状态。这样的柱面称为塑性曲面。按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3）,即（5 -6F-bJ + &-T,）2=2穴（c）在二向应力状态下，6=0,以上塑性条件化为(d)