第十七章定积分的应用ppt课件

1、第五章 定 积 分 的 应 用(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容 利用“微元法推导了平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长的公式以及利用“微元法解决了变力做功、引力、质量和液体压力等物理方面的问题。二、重点和难点二、重点和难点“微元法的思想及其应用是本章重点也是本章的难点。三、对学习的建议三、对学习的建议 在本章所有讨论的问题中，积分式的建立都依赖于“微元法这种数学思想，对于非均匀变化问题，这是求整体量的普遍方法。 在几何方面的应用，已经利用“微元法”推导出一些公式，只需

2、正确地使用公式即可，不需要再从“微元法”做起。要注意的是这类题目一定要先画出正确的草图，以便确定积分变量取 还是取 ，或是图形是否需要进行分割。xy 对于物理问题的应用，就必须从“微元法”做起。问题是多种多样的，但一般步骤都是相同的。(1) 画出正确的草图，建立适当的坐标系以确定积分变量。,(2) 确定积分变量变化区间，在其中任取一子区间 。a bx xdx,( )(3) 应用“以直代曲”、“以不变代变”的思想求出对应于 子区间的待求整体量的微元 。x xdxf x dx( )(4) 写出积分式 ，解之。baf x dx四、本章关键词四、本章关键词微元法( (二二) ) 常见问题分类及解法常见

3、问题分类及解法一、求平面图形面积的方法一、求平面图形面积的方法 到目前为止，已经利用定积分的几何意义和定积分的微元法求得如下面积公式。1、在直角坐标系下( )0()(1) 连续曲线 ，及 轴所围图形面积为yf xxaxb abx( )baAf x dx (17-1)2121( )( )( )( )()(2) 由上、下两条连续曲线 ，及，所围成的图形的面积为yfxyf xfxf xxaxb ab21( )( )baAfxf x dx (17-2)1221( )( ) ( )( )()(3) 由左、右两条连续曲线 ， 及，所围成的图形面积为xg yxgygyg yycyd cd21( )( )dc

4、Agyg y dy (17-3)( )( )(4) 一般而言，当曲边梯形的曲边由参数方程 xx tyy t( ) ( )Ay t x t dt给出时，则梯形的面积为 (17-4)( )0( )( ).其中， 与 分别是由曲边左端点和右端点所对应的参数值。即 y txx2、在极坐标系下( )( ) 若曲线方程由极坐标给出：，则由曲线，半直线 ，半直线 所围成的曲边扇形面积为rrrr21 ( )2Ard (17-5) 在具体面积的求解中，可直接利用以上公式，而没有必要再重复“微元法的过程，这样可以简化求解过程。24(0)2400 求由抛物线 ， ，与直线 及 所围成的平面图形的面积。yxyxyy例

5、例1 1 解解22124240(1,2)0,2( )44( )2yxxyyyyxg yyxgy如图17-1所示，求曲线 与直线 的交点为，取 为积分变量较简便，利用公式(17-3)可得所求面积为2210( )( )Agyg y dy220424yydy22302412yyy7.3y422O240 xy(1,2)24yxx图 17-1 例 1 示意22(0, 4) 求抛物线 与其过点 的切线所围成的平面 图形的面积。yxxA例例2 2 解解00000(0, 4)22(,)(22)()(0, 4)( 2,8)(2,0)6424 2,2AyxxyyyxxxABCABACyxyxxx 如图17-2所示

6、，先求出过点与抛物线相切的切线方程。由于 ，所以过抛物线上的点的切线方程为，因该切线过点，代入该方程可求得两个交点，。这时切线与的方程分别为 与 。根据题意，取 为积分变量较为简便，。OCBAxy图17-2 例 2 示意12若记所求的面积为 的话，则 ，利用公式(17-2)，因此可得AAAA2211 2,0( )2( )64在区间上，取上曲线 ，下曲线，所对应的面积记为 。yfxxxyf xxA 22120,2( )2( )24在区间上，取上曲线 ，下曲线，所对应的面积记为 。yfxxxyf xxA12AAA022220(2 )( 64)(2 )(24)xxxdxxxxdx 022220(44

7、)(44)xxdxxxdx0232322011242433xxxxxx16.3二、求旋转体的体积的方法二、求旋转体的体积的方法 在第十七章，已经利用微元法建立了求旋转体体积的公式如下：( )()1、由曲线 ，直线 ，及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为yf xxaxb abxx22( ) (5-6)bbaaVy dxfx dx( )()2、由曲线 ，直线 ，与 轴所围成曲边梯形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为xyycyd cdyy22( ) (5-7)ddccVx dyy dy在具体计算时，可直接利用以上公式求解旋转体的体积。22221 求椭圆 绕 轴旋转所得的旋转体

8、的体积。xyxab例例3 3 解解设所求体积为，xV22221由方程，xyab22221解得 ，xyba2222241.3于是有 aaxaaxVy dxbdxaba22222413(类似可求椭圆绕 轴旋转所得的旋转体的体积，)bbybbyyVx dyadya bbyabOx图 17-3 例 3 示意xba22222211( )( )xybayxybayyayayy 显然，此环状体的体积等于由右半圆周和左半圆周分别与直线 ，及 轴所成的曲边梯形绕 轴旋转所产生的旋转体之差(见图17-4)，因此所求的环状体(0)() 求圆心在 ， ，半径为 的圆绕 轴旋转而成 的环状体的体积。ba bay例例4

9、4 解解圆的方程为222()xbyaOaa( ,0)bxy图17-4 例4示意的体积2221( )( )aaaaVy dyy dy222222()() aabaybaydy2208abay dy222.a b22201.4注： 由几何意义知其值为aay dya在求一般旋转体的体积时，应注意掌握以下规律和求解方法：22( )( ).(1) 明确旋转轴是 轴或是 轴，若是 轴，则被积表达式为 ；若是 轴，则被积表达式为 xyxfx dxyy dy.(2) 画出草图，以帮助明确积分区间.(3) 在求解时，注意利用对称性，以简化求解过程三、求平面曲线弧长的方法三、求平面曲线弧长的方法( ) , 前面已

10、经利用“微元法”求得平面光滑曲线 在相应区间上的弧长为yf xa b221()1 ( )bbaalydxfxdx (17-8)( )( )若平面光滑曲线是由参数方程 ，给出，xttyt 22( )( )lttdt则所求的弧长为 (17-9)12( )()若平面光滑曲线是由极坐标 ， 给出，rr2122 ( ) ( )lrrd则所求弧长为 (17-10)322(0)3 求曲线 上相应从 到 的一段弧长。yxabab例例5 5 解解12取 为积分变量，并且 ，利用公式(17-8)，xyx 则所求平面曲线弧长为21 ()balydx1baxdx322(1)3bax33222(1)(1) 3ba(1

11、cos ) 求心形线 的周长。ra例例6 6 解解( )sinra 取 为积分变量，且，利用公式(17-10)及对称性(见图17-5)所求周长为Oxy2a图17-5 例 6 示意2202 ( ) ( )lrrd2202(1cos )( sin )ad 0222cosad 022 cos2ad022cos2ad08sin2a8 . a一般讲，求平面曲线弧长应注意以下两点： 由曲线方程的形式，确定积分变量、积分区间及相应的求弧长公式。 注意利用对称性以简化求解过程。四、求变力做功的方法四、求变力做功的方法 例例7 7 一条长一条长 50m50m，质量为，质量为30kg30kg的均匀链条悬挂于一建筑

12、物的均匀链条悬挂于一建筑物 顶部，问把这链条全部拉上建筑物顶端，需做多少功？顶部，问把这链条全部拉上建筑物顶端，需做多少功？ 解解 用定积分的微元法来计算.0,50.x(1) 选变量，定区间 如图17-6所示，取链条向上拉动的距离 为积分变量，它的变化区间是 ,().(2) 取近似，定微元 任取一微小区间，与之对应的一小段链条的质量为5.88 ，而将该小段拉上建筑物顶所做的功，即功微元为 5.88x xdxdxNdWxdx5050200(3) 求积分，算整量 所做的功为5.88 5.887350.4().2WxdxxWOxxdxx图17-6 例7示意五、求液体的侧压力的方法五、求液体的侧压力的

13、方法 一个边长为 的正三角形薄板垂直地沉没在水中，它的一个边与水面平齐，求薄板一侧所受的压力 (水的相对密度为 )。a例例8 8 解解用定积分的微元法.Oxxy0,2aAxdx3,02Ba图17-7 例 8 示意32330,2ABayxxa(1) 选变量，定区间 建立如图17-7所示的直角坐标系，并画出草图，写出的直线方程 ，取 为积分变量，为积分区间；230,2 ,2 323(2) 取近似，定微元 在 的变化区间内任取一微小的区间 ，将竖直放置的细条 (见图17-7中阴影部分)近似看作水平放置，即得到压力微元为 ；xax xdxdFxdAxydxaxxdx33222332002 312 31

14、3298(3) 求积分，算整量 所求的压力为 (压力单位) .aaFaxxdxaxxa六、引力的求法六、引力的求法 设有一长度为 、线密度为 的均匀细杆，在杆的中垂线上，并且距杆 个单位长度处有一个质量为 的质点。求细杆对质点的引力。lamM例例9 9 解解用定积分的微元法.,2 2yyll(1) 取变量，定区间 取杆的中心为原点，杆位于 轴上，建立如图17-8所示的坐标系，取 为积分变量，积分区间为 ；Oxyy2l2lydyMar图17-8 例 9 示意2222,2 2 ,(2) 取近似，定微元 在 的变化区间内，视任一小区间对应的一小段细杆为一个质点，其质量为 ，与相距，因此可求出这一小段

15、细杆对质点的引力的大小为 llyy ydydyMrayMFm dyFkay3222()于是在水平方向的分力的近似值，即微小细杆对质点的引力在水平方向的分力微元为 xxFFMam dydFkay 2322222224()(3) 求积分，算整量 求积分得引力在水平方向的分力为 llxam dykm lFkaalay 0.另外，由对称性知道，引力在铅直方向的分力为yF (三) 思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、定积分的几何应用有哪些？3、求旋转体体积时，应注意及掌握哪些规律及方法？4、请简要说明利用定积分微元法解决物理问题的步骤. 21212 ?、在直角坐标系下由上，下两条连续曲线，及， 所围成的图形的面积的计算公式是什么yfxyfxfxfxxaxbabA(四) 课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 2 1 4 06 .、设一物体作直线运动，求物体从开始运动到任一时刻所经过的路以度程速ttV ttt2 ln1 .、求由曲线，所围曲边梯形的面积yxxxeS233 1 .、求曲，轴及所围图形绕旋转一周得到的旋转体的体积yxyxyxxV24 1 .、写出求平面光滑曲线在相应区间 0,1 上的弧长的公式yxxL返返 回回1、求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线弧长等.返返 回回 212.、baAfxfxdx返返 回回3 、首先应先明确是绕轴还