平面向量的概念及线性运算练习题

1、 5.1 平面向量的概念及线性运算、选择题1.已知两个非零向量 a, b 满足|a+b|=|a b|，则下面结论正确的是（）A.a/ bB.a 丄 bC.0,1,3D.a+b=a b【解析一】由|尹血匸冷-乩 平方可得“冋所以江鬲故选E.【解析二】根据向壘加袪、诚法的几何意丈可知|刊|与|叶川分知対以向量&b为邻边励 平行四边形的两条对角线的长，因为二|L乩 所以康平行四边形甘拒形，所以4瓦 故选B.答案 B2对于非零向量 a, b, “ a+ b= 0”是“ a /b”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若 a+ b= 0,则 a= b

2、. a / b；若 a / b,贝 U a=Xb, a+ b= 0 不一定成立.答案 A3.设 P 是厶 ABC 所在平面内的一点，BC+ BA= 2BP,则（）.B.PC+ PA= 0D.PA+PBTPC=0答案 B4.已知向量 a=(X, 2) ,b= (3，- 1)，若(a+ b) / (a 2b)，则实数 x 的值为()A. 3 B . 2C . 4D. 6A.PA+Pfe= 0C.PB+PC=0解析 如图，根据向量加法的几何意义,BC+ BA 匕 2BP? P 是 AC 的中点,解析因为(a+ b) / (a 2b) , a+ b= (x + 3,1) , a 2b= (x 6,4)

3、, 4(x + 3) (x 6) 0, x= 6.答案 D5. 在四边形 ABC中，AB=a+ 2b,BC=-4a b,Ct-5a 3b,则四边形 ABCD的形状是().A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析 由已知 At= AB+ BC+CD= 8a 2b = 2( 4a b) = 2BC At/ BC,又 AB 与 Ctf 平行，四边形 ABCD 是梯形.答案 C6. 已知 ABC 和点 M 满足族祜呢 0,若存在实数 m 使得 AB+ 屆 mX成立，则 ().A. 2B . 3C . 4D . 5解析Tlt+ MBMC= 0,A点皿是厶 ABC 的重心,二 AB+ AC= 3A

4、 二 m= 3.答案 B7.已知点 OABC 外接圆的圆心，且OA+OB+CO=0,则厶 ABC 的内角 A等于()A. 30.60D. 120解析：由OA+OB+CO= 0 得OA+OB=OCC. 90， 由 0 为厶 ABC 外接圆的圆心, 结合向量加法的几何意义知四边形 OACB菱形，且/ CA360.答案：A、填空题8.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C,若OA解析：由OA 3BA二2CB，于是国二2-OB+ 20C= 0,得答案：29.给出下列命题:1向量AB的长度与向量sA 的长度相等；2向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；3两个有共同起点而且相等的

5、向量，其终点必相同；4两个有公共终点的向量，一定是共线向量；5向量 AB 与向量 Ct是共线向量，则点AB C D 必在同一条直线上.其中不正确的个数为_.解析中，向量AE 与 BA 为相反向量， 它们的长度相等，此命题正确.2中若 a 或 b 为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一定相同或相反，此命题错误.3由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相 同，.该命题正确.4由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，.该命题错误.5共线向量是方向相同或相反的向量，.若 AB 与 CD1 共线向量，则 A，B，C, D 四点不一定在一条

6、直线上，二该命题错误.答案 310. 已知向量a,b夹角为45，且a l/tJ10；则_.”丄 |一 =丽 0(2一斎=10 0 4+1* 行 cm 亦=100=3 迈 解析I 丨答案3J23i11.若 MABC 内一点，且满足 AU 4AB+ AC,则厶 ABC 的面积之比为_.解析 由题知 B M C 三点共线，设 BU 入 BC 贝 U： AM-AB=入(AC-AB， AM=（1-入）AB+入 ACSAABM1SAABC4答案 14入14,112若点 0 是 ABC 所在平面内的一点，且满足|OB-OC= |霽OC-2OA，则 ABC 的形状为_.解析 (等价转化法)0并OC- 2OA=

7、OB- OA 0C-百AAB+ AC,OB- 0C= CB= AB- AC,/. | Afe+ AC=| AB- AC|.故 A, B, C 为矩形的三个顶点， ABC 为直角三角形.答案直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将 ABC 的三个顶点转化到相应矩形中， 从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题13如图所示， ABC 中, AA|AB, DE/ BC 交 AC 于 E, AM 是 BC 边上的中线，交 DE 于 N 设 AB= a , AC= b,用 a, b 分别表示向量O O O OAM AN221解析=|b,=b-a,走|(b-a), DN= |(

8、b-a),14设 a, b 是两个不共线的非零向量，若 a 与 b 起点相同，t R, t 为何值时,1a, tb, |(a+ b)三向量的终点在一条直线上？1解析 设 a t bXa | a + b (X R),2 1化简整理得|X- 1 a+ t |Xb 0, a 与 b 不共线，.由平面向量基本定理有233 入-1 ，入2,12.1 1故 t = 2 时，a, t b, 3(a+ b)的终点在一条直线上.15.如图所示，在厶 ABC 中, D、F 分别是 BC AC 的中点,=3AD,AB= a,AC用 a, b 表示向量AD、AE、AF、BE、BF; 求证：B、E、F 三点共线.解析：

9、延长 AD 到 G,使AD=1AG,连结 BG CG 得到？ABGC所以AG a+ b,AD1AGAE2ADAC-为，二 2(a+b),二 3(a+ b)，BEAEAB1(a+ b) a 3(b 2a),BF=AF-TB=2b-a2(b2a). 证明：由可知BE2BF,所以 B、E、F 三点共线.16.已知 O, A, B 三点不共线，且 OP mid+ nOB (m, n F).若 m+ n1,求证：A, P, B 三点共线；若 A, P, B 三点共线，求证：n 1.证明m n R,且仲 n= 1, OP=m6/Vn6B= mO/V（1n）OB,即 OP OB= n（OA O,.mA 而 BA 子 0,且 m R.故 BP 与 BA 共线，又BP, BA 有公共点 B. A, P, B 三点共线. 若 A, P, B 三点共线，