多面体与球的内切和外接常见类型归纳

1、1多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系， 是培养学生的立体感， 空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何 体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教 学中有关这方面的习题加以总结和归类如下:一正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为 a, r 为内切球 的半径，R为外接球的半径。则高 SE=2a,斜 3高 SD= ,3a , OE=r=SE-SO ,又 V4SD=BD,BD=SE-0E,贝 U 在直角OEBK OE2EB2二BD2二(SE- OE)2raoR=SO=OBa124特征分析:1 .由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球

2、与外接球的球心为同一个。2.R=3r. r=aR=a。此结论可以记忆。124例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球2DC面上，则此球的表面积为()分析：借助结论，R= 6a=6. 2=3,所以 S=4 二R2=3 二。44232、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积 之比是()分析：借助 R=3r，答案为 9: 1。二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。SA_面ABC,ABC为直角三角形，BC_ABS-因为 SA 丄 AC，SB 丄 BC，球心落在 SC力CA _ zB即正方体的 8 个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD 为正方体 的体对角的中

3、点处。所以 R=C。2三正方体与球。1.正方体的外接球2. 正方体的内切球。(1)与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。则 AB= . 2 a, BD=2R , AD=a ,4DC面。设正方体的边长为 a,5R=AB=CD=a ,R= a。23. 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征 是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把 三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是 24,它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是_解析：显然，球是正方体的外接球，a=2,则R=I23，S=12 二。22 .一个球与棱长为 1 的正方体的

4、 12 条棱都相切，则球的体积_ 解析：如果明确了上面的结论， 问题很容易解决。R=，仁二2 2V血V=-33.将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为_解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的(2)与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆6DC俄各面都相切。R=V=4二。234._P、A、B、C、是球 0 面上的四个点，PA、PB、PC 两两垂 直，且 PA=PB=PC=1，贝 V 球的体积是_解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正7方体的外接球，所以R=F，V=f 二四、正棱柱与球1.正三棱柱外接球。如图所示：过 A 点作 A

5、D 垂直 BC,D 为三角形 ABC 的中心，Di同样得 到。则球心 0 必落在 DD1的中点上。利用三角形 OAD 为直角三角形，OA=R,可求出 R.2正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定 理求得。例题：1。已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_解析：如上图，0A=,21,0D=-，AD=3a，23可求 a= 6, V=543.2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最_值，为_解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对 角面 OD=R，设 AD=a，底面正方形的边长为 b，则有 DC=,2b ,贝UR2= ( a/2)2+ (2b/2)2,8S=4ba 2 a22b2=4、2R2。五、长方体与球1.长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体 的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是