拉普拉斯(Laplace)定理_第1页
拉普拉斯(Laplace)定理_第2页
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文档简介

1、§ 2-8拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9在一个n级行列式D中任意选定k行k列（k < n）,位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个 k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式.在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n - k级行列式M 称为k级子式M的余子式.从定义立刻看出,M也是M的余子式.所以M和M 可以称为D的一对互余的子式.例1在四级行列式-1中选定第一、三行，第二、四列得到2 4,M的余子式为 M '=0 20 10 113一个二级子式M : M例2在五级行列式a11a12a13a14a15

2、a21aa22aa23aa24a25aa51a52a53a54a55中,a12a13a15a22a23a25a42a43a45a31a51a34a54对互余的子式.定义10:设D级子式M在D中所在的行、列指标分别是（T）hl, ,ik； j2,，jk ,则M的余子式M 前面加上符号 称做M的代数余子式.因为M与M 位于行列式D中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D的任一个子式M与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都 是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了 k （1岂k乞n1）个行.由 这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.12140 _1 2 1 例3利用拉普拉斯定理计算行列式 D =10130131从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的这个定理主要是理论方面的应用.、行列式的乘积法则定理7两个n级行列式的乘积等于一个别与 D2的第 jC11G2C1nC21aC22sC2naCn1Cn2Cnnn级行列式C二，其中Cj是D1的第i行元素应元素乘积之和：311312 ambnb12b1n321322 a2n和D2 =b21b22b2na99a93n13n2annbn1bn 2bnnD1 =Cj-ai1b1 jai2b2j二 ' aikb

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