特殊平行四边形中的常见辅助线

1、特殊平行四边形中的常见辅助线一、连结法1. （2014 陕西,第 9 题 3 分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6.若过2.（2015 安徽，第 9 题 4 分）如图，矩形 ABCD 中, AB=8 BC=4 点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD3.如图，在矩形 ABCC 中，AB=4, AD=6 M N 分别是 AB, CD 的中点，P 是 AD 上的点，且/PNB=ZCBN（1）求证：/ PNM=2CBN（2）求线段 AP 的长.点A作AE!E,则AE的长为（A. 4B1C D.5上，点 G H 在对角线 AC 上.若四边形EGFH 是菱形，贝 U AE 的长是（A.

2、 2 B.3 了C.5D.64.(2015山东德州,第20题8分)如图，在平面丿直角坐标系中，矩形OABC勺对角线OB AC相交于点D,且BE/ AC AE/ OB(1) 求证：四边形 AEBD 是菱形；(2) 如果 OA=3 OC=2 求出经过点 E 的反比例函数解析式.考点：反比例函数综合题.分析：(1)先证明四边形 AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得出DA-DB 即可证出四边形AEBD 是菱形;(2)连接 DE 交 AB 于 F ,由菱形的性质得出 AB 与 DE 互相垂直平分，求出 EF、AF,得出点 E 的坐标；设经过点 E 的反比例函数解析式为：y=，把点 E 坐标代入求出

3、k 的值即可.解答：(1)证明：TBE/ AC AE/ OB四边形 AEBD 是平行四边形， 四边形 OABC 是矩形，DA= .AC, DB= .OB AC=OB AB=OC=2DA=DB四边形 AEBD 是菱形；(2)解：连接 DE,交 AB 于 F ,如图所示: 四边形 AEBD 是菱形， AB 与 DE 互相垂直平分, / OA=3 OC=211C EF=DF= OA= , AF= AB=1, 3+ =,22 S 2点 E 坐标为：(_, 1),设经过点 E 的反比例函数解析式为：y=, 把点 E (, 1 )代入得：k=,22经过点E的反比例函数解析式为：巴:.点评：本题是反比例函数

4、综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性 质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果.考点：四边形综合题.分析：(1)由正方形的性质得出/ A=ZB=ZC=ZD=9C , AB=BC=CD=DA 证出 AH=BE=CF=D,G由 SAS 证明厶 AEHABFEACGFADHG 得出 EH=FE=GF=GHZ AEHMBFE 证出四边形 EFGH 是菱形，再证出/ HEF=90，即可得出结论；(2)连接 AC EQ 交点为 0;先证明 AOECOG 得出 OA=OC 证出 O 为对角线 AC BD

5、的交点,!卩 0 为正方形的中心;5.(2015 江苏泰州，第 25 题 12 分)如图，正方形BC CD DA 上的动点，且 AE=BF=CG=DH(1) 求证：四边形 EFGH 是正方形；(2) 判断直线 EG 是否经过一个定点，并说明理由；(3) 求四边形 EFGH 面积的最小值.ABCD 的边长为 8cm, E、F、G H 分别是 AB. 2 2(3)设四边形 EFGH 面积为 S, BE=xcm 贝 U BF= (8- x) cm,由勾股定理得出 S=x+ (8-x) =2 (x -4) +32, S 是 x 的二次函数，容易得出四边形EFGH 面积的最小值.解答：(1)证明：四边形

6、 ABCD 是正方形，/A=ZB=ZC=ZD=90,AB=BC=CD=DA/ AE=BF=CG=DHAH=BE=CF=DGfAB=BF=CG=DH在厶 AEH BFE CGF 和厶 DHG 中，*ZA二ZB二ZOZD,AH=BE=CF=DG AEHABFEACGFDHG( SAS,EH=FE=GFGH/AEHMBFE四边形 EFGH 是菱形，/BEF+/ BFE=90 ,/ BEF+/ AEH=90 ,/ HEF=90 ,四边形 EFGH 是正方形；(2)解：直线 EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心( AC BD 的交点)；理由如下:连接 AC EG 交点为 0;如图所示：四边形 AB

7、CD 是正方形，AB/ CD /OAEMOCGZ0AE二Z0CG在厶 AOE 和厶 COG 中，*ZA0E二ZCOG, AOEACO( AAS ,AE二CGOA=O,即 O 为 AC 的中点，正方形的对角线互相平分， O为对角线 AC BD 的交点，即 O 为正方形的中心；(3)解：设四边形 EFGH 面积为 S,设 BE=xcn,贝 U BF= ( 8 -x) cm,2 2 2 2 2根据勾股定理得： EF=BE+BF=x+( 8-x),229 S=x + (8 - x) =2 (x- 4) +32,/2 0,S有最小值，当 x=4 时，S 的最小值=32,四边形 EFGH 面积的最小值为

8、32cm2.点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)(3)中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.6.(12 分)(2015 内蒙古赤峰 25, 12 分)如图，四边形 ABCD 是边长为 2, 一个锐角等于 60的菱 形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB BA (或它们的延长线)于点 E、F,ZEDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小 芳同学得出的结论是 DE=DF(1

9、)继续旋转三角形纸片，当C 字 AF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不 成立，请说明理由；(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F 分别在 CB BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系；(3) 连 EF,若厶 DEF 的面积为 y, CE=x,求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值， 最小值是多少？BC分析：(1)如答图 1,连接 BD.根据题干条件首先证明/ ADF=/ BDE然后证明厶 ADFBDE(ASA ，得 DF=DE(2) 如答图 2,连接 BD.根据题干条件首先证明/ ADF=/ BDE 然后证明厶ADFB

10、DE( ASA),得 DF=DE(3) 根据(2)中的 ADFBABDE 得到：SAADF=SABDEAF=BE 所以 DEF的面积转化为：y=SABEF+SAABD据此列出目关于 X 的二次函数，通过求二次函数的最值来求目的最小值.解答： 解：(1) DF=DE 理由如下：如答图 1，连接 BD.四边形 ABCD 是菱形， AD=A B又/ A=60 , ABD 是等边三角形，AD=BDZ ADB=60 ,/ DBE=/ A=60/ EDF=60 ,rZADF=ZBDE/ ADF=/ BDE 在 ADF 与厶 BDE 中，AD二BDZA=ZDBEADFA BDE( ASA ,DF=DE(2)

11、 DF=DE 理由如下：如答图 2，连接 BD. v 四边形 ABCD 是菱形，AD=AB又/ A=60 ,考点:几何变换综合题.答图1 ABD 是等边三角形，AD=BDZADB=60,/DBEdA=60/EDF=60 ,/ADF=/ BDErZADF=ZBDE在 ADF与厶BDE 中，烛烦ZA=ZDBE ADFABDE( ASA, DF=DE(3) 由(2)知， ADFABDE 贝 USAADF=SABDE,AF=BE=x依题意得：y=SBEF+SABD=(2+x)xsin6020,4该抛物线的开口方向向上,已知角（未知边转化为已知边）是关键。当 x=0 即点 E、B 重合时， y最小值=2

12、本题考查了几何变换综合题,点评:解题过程中,利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为x2X2sin60(x+1)(x+1)2+ .即4二、中心对称法（倍长法）1. （2014 山东临沂，第 25 题 11 分）【问题情境】如图 1 四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点，AE 平分/ DAM【探究展示】(1) 证明：AM=AD+MC(2) AM=DE+B 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如

13、图2,探究展示(1 )、( 2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.图1图2考点：四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质专题：综合题；探究型.分析：(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC 交于点 N,如图 1 (1)，易证 ADEANCE 从而有 AD=CN 只需证明 AM=NM 卩可.(2) 作 FA!AE 交 CB 的延长线于点 F,易证 AM=FM 只需证明 FB=DE 即可；要证 FB=DE 只需证明 它们所在的两个三角形全等即可.(3)在图 2 (1 )中，仿照(1)中的证明思路即可证到 AM=AD+M 仍然

14、成立；在图 2 (2)中，采用 反证法，并仿照(2 )中的证明思路即可证到 AM=DE+B 不成立.解答：(1)证明：延长 AE、BC 交于点 N,如图 1 (1),四边形 ABCD 是正方形, AD/ BC / DAEdENC/ AE 平分/ DAM/DAEdMAE/ENCdMAEMA=MN在厶 ADE 和厶 NCE 中，rZDAE=ZCNE“ ZABD=ZNECDECE ADEANCE( AAS.AD=NCMA=MN=NC+MC=AD+MC(2) AM=DE+B 成立.证明：过点 A 作 AF 丄 AE 交 CB 的延长线于点 F,如图 1四边形 ABCD 是正方形， /BADdD=ZAB

15、C=90,AB=AD AB/ DC/ AF 丄 AE dFAE=90. dFAB=90-dBAEdDAE在厶 ABF 和AADE 中,rZFAB=ZEADAB二AD,ZABF=ZD=90 ABFAADE( ASA.BF=DEdF=dAED/ AB/ DC dAEDdBAEvdFAB=dEADdEAM所示.图1(2)/AEDdBAEKBAM：+ EAM =ZBAM：+ FAB=ZFAM/F=ZFAMAM=FMAM=FB+BM=DE+BM(3)结论 AM=AD+M 仍然成立.证明：延长 AE BC 交于点 P,如图 2 (1),四边形 ABCD 是矩形，AD/ BC/DAEKEPC/ AE 平分/

16、 DAM /DAEKMAE /EPCKMAEMA=MP在厶 ADE 和厶 PCE 中，/DAE二Z CPE ZAED=ZPEC,DE=CE ADEAPCE( AASAD=PC MA=MP=PC+MC=AD+MC结论 AM=DE+BI 不成立. 证明：假设 AM=DE+B 成立.过点 A 作 AQLAE 交 CB 的延长线于点 Q 如图 2 (2)所示.四边形 ABCD 是矩形，/BADdD=ZABC=90,AB/ DC/ AQL AE:丄QAE=90 ./ QAB=90 -Z BAE=d DAE/ Q=90 -Z QAB=90-ZDAE=ZAED/ AB/ DC ZAEDZBAEvZQABZE

17、ADZEAM ZAEDZBAEZBAMZEAM=ZBAMZQAB=ZQAM ZQ=ZQAM AM=QMAM=QB+BM/ AM=DE+BMQB=DE在厶 ABQ 和厶 ADE 中，rZQAB=ZEADZABQ=ZD=90BQ=DE ABQAADE( AAS.AB=AD与条件ABAD矛盾，故假设不成立. AM=DE+B 不成立.2.(2014 黑龙江绥化,第 26 题 9 分)在菱形ABC和正三角形BGF中，/ABC60。，P是DF的中点，连接PG PC.(1)如图 1,当点G在BC边上时，易证：P(=二PC如图 2,当点F在AB的延长线上时，线段PC PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与

18、证明；(3) 如图 3,当点F在CB的延长线上时，线段PC PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不 必证明).考点：四边形综合题.分析： (1)延长GF交DC于点E,利用PEDAPGF得出PE=PG DE=FG得到CE=CG CP是EG的中垂线，在RTACPG,ZPCG60。，所以PG=PC.(2) 延长GP交DA于点E,连接EC GC先证明DPEAFPG再证得CDEACBG利用在RTACPG中 , /PCG60。，所以PG：讥PC.(3) 延长GP到H,使PH=PG连接CH DH作ME/ DC先证GFPAHDP再证得HDQAGBC在在RlCPG, /PCG60。，所以PG=TPC.解答：

19、(1)提示：如图 1:延长GP交DC于点E,利用PEDAPGF得出PE=PG DE=FG CE=CG CP是EG的中垂线,在RT CPG, /PCG60。, P(=_PC.(2)如图 2,延长GP交DA于点E,连接EC GC,/ AB(=60,BGF正三角形 GF/ BC/ AD/ ED肚/GFP在厶DPEm FPG中rZEDP=ZGFP彳ffi=FP,ZDPEZFPGDPEA FPG( ASAPE=PG DE=FG=BG/ CDECBG60。，CD=CB在厶CDEm CBG,rCD=CBZCDEHBG二6.CD-CBCDEA CBG( SASCE=CG/DCE/BCG/ ECG/ DCB12

20、0,/ PE=PGCPL PG/PCG./ECG60。P(=v PC.(3)猜想：PG=PC.证明：如图 3,延长GP到H,使PH=PG连接CH CG DH作ME/ DC P是线段DF的中点, FP=DR/GPI=ZHPDGFPAHDPGF=HD/GFf=ZHDP/GFF+ZPFE=120, ZPFE=ZPDC/CDH/HDP/PDC120。，四边形ABCD!菱形，CD=CB/ADC/ABC60。，点 AB、G又在一条直线上,/GBC120。，四边形BEF侥菱形，GF=GB H=GBHDCAGBCCH=CG/DCH/BCG/DCH/HCB/BCG/HCB120。，即/HCG120。CH=CG

21、PH=PGPGL PC/GCP/HCP60 ,P(=“.PC.点评：本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正 确的构建出相关的全等三角形是解题的关键.3.如图，在口ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E,连接ME.(1)若AM=2AE=4/BCE=30 ,求口ABC啲面积;(2)若BC=2AB求证：/EMD=/MEA.解：(1)TM为AD的中点，AM=2AE=4 AD=2AM=8 .在中,BC=CD=8,又CHL DEBEC=90,上BCE=30，二BE=BC=4 AB=6 CE=,. .(2)延长EM,CD交于点N,连接CM.在中

22、,AEMMN,三、旋转法1. (2014 浙江绍兴，第 23 题 6 分)(1)如图，正方形ABC呼，点E,F分别在边BC, CD,/EAf=45，延长CD到点G,使DGFBE连结EF, AG求证：EF=FG(2)如图，等腰直角三角形ABC中,ZBA(=90,AB=AC点M N在边BC上，且/MAN45。，若BM=1,CN3,求MN的长.考点：全等三角形的判定与性质;G正方形的性质.1. (2014 浙江绍兴，第 23 题 6 分)(1)如图，正方形ABC呼，点E,F分别在边BC, CD,分析：(1)证厶ADWAABEFAEAGAF根据全等三角形的性质求出即可;(2)过点C作CE1BC垂足为点

23、C,截取CE使CE=BM连接AE EN通过证明厶ABIWAACE(SAS推知全等三角形的对应边AM=AE对应角ZBAMZCAE然后由等腰直角三角形的性质和ZMAN45得到ZMANZEAN=45,所以MAWEAN( SAS，故全等三角形的对应边M忡EN最后由勾股定理得到EN=EC+NC即MN=BM+NC.解答： （1）证明：在正方形ABCD中,ZABE=ZADG AD=AB在ABE和ADG中fAD=ABZABEZADGLDG=BE ABEAADG（ SAS, ZBAE=ZDAG AE=AG ZEAG90。，在尸人已和厶GAF中,专题:证明题.BAE二AGZEAF二，,AF=AFFAEAGAF(

24、SAS, EF=FG(2)解：如图 2,过点C作CEL BC垂足为点C,截取CE使CE=BM连接AE EN/ AB=AC/BA(=90,AZB=ZC=45.CEL BCACE：/B=45.在厶ABMm ACE中,rAB=ACZBZACEbBir=CEABM2AACE(SAS.AMAE/BAM/CAE/BA(=90/MAN45,./BAM/CAN45.于是，由/BAM/CAE得/MANZ EAN=45.在厶MANm EAN中,M-AE，ZMANZEAN,AN=ANMANAEAN( SAS.MNEN在RtAENC中，由勾股定理，得EN=EC+NC.MN=BM+NC./BM1,CN=3,MN=12+

25、32,MN 点评：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股 定理的综合应用.2. （2015 湖北十堰，第 10 题 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6,点 E、F 分别在 AB, AD 上，若CE=3 徒，且/ ECF=45，则 CF 的长为（）A. 2 B.3 7C；D.全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.AF=x,利用 GF=EF 解得 X,利用勾股定理可得 CF.解答： 解：如图，延长 FD 到 G,使 DG=BE 连接 CG EF;四边形 ABCD 为正方形，在厶 BCE 与厶 DCG 中,CB=CD* ZCBE=ZCDG,BE=DGBCEADCG( SAS, CG=CE/DCGWBCE/GCF=45,在厶 GCF 与厶 ECF 中，fGC=EC分析：首先延长 FD 到 G 使 DG=BE 利用正方形的性质得/ B=ZCDFMCDG=90 , CB=CD 利用考点:SAS 定理