五章相似理论与因次分析ppt课件

1、 流膂力学的研讨方法中实验研讨既是实际分析的根据，同时也是检验实际的准绳，具有很重要的作用。 本章将讨论其实际根底： 类似实际 因次分析 为使模型流动能表现出实型流动的主要景象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必需使两者在流动上类似，即两个互为类似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。 详细来说，两类似流动应几何类似 、运动类似、 动力类似 。两流动类似应满足两流动类似应满足的条件的条件 定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。 引入尺度比例系数 进而，面积比例系数 体积比例系数Cllkpml2lpmAkAAk3lpmVkVVk模型流动用下标模型流动用下标m m表示

2、表示原型流动用下标原型流动用下标p p表示表示 定义：两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例。 引入速度比例系数由于 因此 运动类似建立在几何类似根底上，那么运动类似只需确定时间比例系数 就可以了。运动类似也就被称之为时间类似。Cvvkpmvmmmtlv/ppptlv/tlppmmvkktltlktkpmtttk 如：如：kv=klkt-1 kv=klkt-1 ka=klkt-2 ka=klkt-2 k k=kt-1 =kt-1 k k=kl2kt-1 =kl2kt-1 kq=kl3kt-1 kq=kl3kt-1 的单位是m2/sq的单位是m3/t 定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。

3、引入力比例系数 也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合方式，如：力矩M 压强p功率N 动力粘度CFFkpmF2223)(vltllamFkkkkkkkkkk 23vlpmMkkkFlFlk 321vltMNkkkkkk 2vAFpmpkkkkppk vlkkkk 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需求两者在时空类似的条件下受力相似，需求两者在时空类似的条件下受力相似。似。 动力类似受力类似用类似准那么动力类似受力类似用类似准那么相相似准数的方式来表示，即：要使模型流似准数的方式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力类似，

4、需求这两个流动动和原型流动动力类似，需求这两个流动在时空类似的条件下各类似准那么都相等。在时空类似的条件下各类似准那么都相等。1 Strouhal 1 Strouhal 类似准数类似准数 Sr=l/vtSr=l/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况随时间变化的情况2 Froude 2 Froude 类似准数类似准数 Fr=v2/glFr=v2/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度的影响程度3 Euler 3 Euler 类似准数类似准数 Eu=p

5、/Eu=p/v2v2 表示压力和惯性力的比值表示压力和惯性力的比值4 Renolds 4 Renolds 类似准数类似准数 Re=vl/Re=vl/= = vl/vl/ 表示惯性力和粘性力之比表示惯性力和粘性力之比5 Mach 5 Mach 类似准数类似准数 Ma=v/cMa=v/c 表示弹性力和惯性力之比，表示弹性力和惯性力之比，c c为声速，反映了流动的为声速，反映了流动的紧缩程度紧缩程度 描画流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足类似条件就必需同时满足该方程，下面是模型流动和原型流动不可紧缩流动的运动微分方程在x方向上的分量方式: (1) (2) 一切的同类物理量均具有各自

6、的同一比例系数，有如下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf xmmmmxmmxmzmmxmymmxmxmmxmvxpfzvvyvvxvvtv1xppppxppxpzppxpyppxpxppxpvxpfzvvyvvxvvtv1从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、压力和摩擦力，质量力、压力和摩擦力，3 3式表示模型流动和原型流式表示模型流动和原型流动的力多边形类似。动的力多边形类似

7、。 用用3 3中的位变惯性力项除全式，得到中的位变惯性力项除全式，得到 4 4 4 4式表示模型流动和原型流动在满足动力类似时各比式表示模型流动和原型流动在满足动力类似时各比例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相似准那么似准那么22lvlpglvtvkkkkkkkkkkkvlvpvglvtlkkkkkkkkkkkk221 综上所述，动力类似可以用类似准数表示，假设原型和模型流动动力类似，各同名类似准数均相等，假设满足那么称为完全的动力类似。但是现实上，不是一切的类似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。假设一切的类似准数都相等

8、，意味着各比例系数均等于1，这实践上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者到达完全的动力类似，实践上办不到，我们寻求的是主要动力类似。 要到达主要动力类似就应该根据所研讨或所需处理的原型流动的性质来决议，如对于重力起支配作用的流动，选用Froude准数为主要类似准数决议性类似准数，满足Frm=Frp ，此外 管道流动，流体机械中的流动 ：Rem=Rep，Re数为决议性类似准数 非定常流动：Srm=Srp，Sr数为决议性类似准数 可紧缩流动：Mam=Map，Ma数为决议性类似准数 总之，根据流动的性质来选取决议性类似准数 决议性类似准数的定义

9、：决议性类似准数的定义：对该性质的流动以该决议性类似准数来判别能否对该性质的流动以该决议性类似准数来判别能否满足了主要动力类似。满足了主要动力类似。 只需满足了决议性类似准数相等后，就满足只需满足了决议性类似准数相等后，就满足了主要动力类似，抓住理处理问题的本质。了主要动力类似，抓住理处理问题的本质。留意：对于留意：对于EuEu准数而言，在其他类似准数作为准数而言，在其他类似准数作为决议性类似准数满足相等时，决议性类似准数满足相等时， EuEu准数同时可准数同时可以满足以满足1 1 模型流动设计模型流动设计 设计模型流动，要使之成为原型流动的类设计模型流动，要使之成为原型流动的类似流动，原那么

10、上要满足几何类似、运动类似流动，原那么上要满足几何类似、运动类似和主要动力类似。详细设计时，首先要思似和主要动力类似。详细设计时，首先要思索该流动性质选择决议性类似准数，此外还索该流动性质选择决议性类似准数，此外还要思索实验规模和实验室的条件以及实验时要思索实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体能否与原型流动中的流体一样所采用的流体能否与原型流动中的流体一样且能否同一温度等要素。且能否同一温度等要素。2 2 数据换算数据换算 从模型流动实验中测定的各个数据不能直从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需求用到数据换算。接用到原型流动中去，需求用到数据换算。由模型流动中已确

11、定的一些比例系数以及物由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等于模这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。型流动中的相应数据除以对应的比例系数。 例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟经过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。知该风洞系低速全尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞实验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度一样，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？ 解： 首先根据流动

12、性质确定决议性类似准数，这里选取Re作为决议性类似准数，Rem=Rep，即kvkl/k=1， 再根据决议型类似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3，那么kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 例2 在例1中，经过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？ 解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在一样的流体

13、和一样的温度时，流体密度比例系数k=1，那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 一 因次分析的根本概念二 因次调和性原理三 布金汉Buckingham定理 1 因次因次 是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲长度量

14、纲，用长度量纲，用L表示。表示。2 根本因次根本因次 导出因次导出因次 根本因次是具有独立性的因次，在流膂力学领域中有根本因次是具有独立性的因次，在流膂力学领域中有三个根本因次：长度因次三个根本因次：长度因次L 时间因次时间因次T 质量因次质量因次M 导出因次由根本因次组合表示，如导出因次由根本因次组合表示，如 加速度的因次加速度的因次 a=LT-2 力的因次力的因次 F=ma=MLT-2 任何物理量任何物理量B的因次可写成的因次可写成B=MLT用 表示物理量的量纲，用 表示物理量的单位3 根本量根本量 导出量导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成根本物理量根本一个物理问题中诸多的物理量分成根

15、本物理量根本量和其他物理量导出量，后者可由前者经过某种量和其他物理量导出量，后者可由前者经过某种关系到除，前者互为独立的物理量。根本量个数取根本关系到除，前者互为独立的物理量。根本量个数取根本因次个数，所取定的根本量必需包括三个根本因因次个数，所取定的根本量必需包括三个根本因次在内，次在内，这就是选取根本量的原那么。这就是选取根本量的原那么。 如如、v 、l可以构成一组根本量，包含了可以构成一组根本量，包含了L 、M 、T这三个根本量纲，而这三个根本量纲，而a 、v 、l就不能构成根本量，由于不就不能构成根本量，由于不包含根本因次包含根本因次M4 无因次量无因次量 指该物理量的因次为指该物理量

16、的因次为1，用，用L0M0T0表示，实践是一表示，实践是一个个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的类似准数综合物理量，如前面讲过的类似准数 1Re121TLLLTvl11TLTLvtlSr 因次调和性原理又被称为因次一致性原理，也叫因次齐次性原理，指一个物理景象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的因次应该是调和的、一致的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，以能量方程为例 方程左边各项的因次从左到右依次为 、 Cgvgpz22LLLTMLTML2321LLTTL222 对于某个物

17、理景象或过程，假设存在有对于某个物理景象或过程，假设存在有n n个变量互为个变量互为函数关系，函数关系， f(a1,a2, an)=0 f(a1,a2, an)=0而这些变量含有而这些变量含有m m个根本因次，可把这个根本因次，可把这n n个变量转换成为个变量转换成为有有(n-m)=i(n-m)=i个无因次量的函数关系式个无因次量的函数关系式 F( F(1,1,2, 2, n-m)=0n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程中的变量数减少了中的变量数减少了m m个，更为概括集中表示物理过程或个，更为概括集中表示物理过程或物理景

18、象的内在关系。物理景象的内在关系。 例 经初步分析知道，在程度等直径圆管道内流体流动的压降p与以下要素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达方式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的根本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出根本物理量3个，如取、d、v，而 其他物理量用根本物理量的幂次乘积方式表示 1=l1v 1d 1 2=2v 2d

19、2 3=3v 3d 3 4= p4v 4d 4将上述表达式写成量纲方式将上述表达式写成量纲方式 1=L(ML-3) 1(LT-1) 1L 1=M0L0T 1 2=L(ML-3) 2(LT-1) 2L 2=M0L0T0 2 3=ML-1T-1(ML-3) 3(LT-1) 3L 3=M0L0T0 3 4=ML-1T-2 (ML-3) 4(LT-1) 4L 4=M0L0T0 (4 求解方程求解方程1 M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+ 1+1=0 1= -1所以所以 1=l/d求解方程求解方程2 M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+ 2=0 2= -1所以所以 2= /d求解方程求解方程3 M: 1+3=0 3= -1 T: -1-3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1所以所以 3=/vd=1/Re求解方程求解方程4 M: 1+4=0 4= -1 T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0所以所以 4= p / v2因此，所